4 – Suites

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A venir : Marwane
Définition : On appelle suite numérique, une fonction de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{R}\), qui a un entier naturel \(n\) associe le réel noté \({u_n}\). Le nombre \({u_n}\) est appelé terme général d’indice \(n\) et la suite est notée \({\left( {{u_n}} \right)_{n \ge 0}}\).

Remarque : Si la suite est définie à partir d’un certain entier naturel \({n_0}\), on la note \({\left( {{u_n}} \right)_{n \ge {n_0}}}\). Dans la suite du cours, on considère que les suites sont définies sur \(\mathbb{N}\) et on note\({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\).

I- SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES.

1°) Suites arithmétiques.

Définition : On dit qu’une suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) est une suite arithmétique, s’il existe un réel \(r\) tel que, pour tout entier naturel \(n\), \({u_{n + 1}} = {u_n} + r\). Le nombre réel \(r\) est appelé la raison de la suite\({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\).

Théorème 1 : Si \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) une suite arithmétique de raison \(r\) et de premier terme \({u_0}\) donné alors pour tout entier naturel \(n\), \({u_n} = {u_0} + nr\). (La réciproque est vraie.)

Remarques :

  • \({u_n}\) est une fonction affine de \(n\).
  • Si \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) est une suite arithmétique vérifiant et pour tout entier naturel \(n\) \({u_n} = an + b\) alors \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) est une suite arithmétique de raison \(A\).
  • La représentation graphique d’une suite arithmétique sont les points isolés de coordonnées \(\left( {n;{u_n}} \right)\) d’abscisses entières, situés sur la droite d’équation \(y = ax + b\).

Exemple : On considère la suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) définie par \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_0} = 1}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + 1,{\rm{ pour }}n \ge 0}\end{array}} \right.\). On a \({u_{n + 1}} – {u_n} = 1\) et le réel 1 est indépendant de \(n\), donc la suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) est une suite arithmétique de raison \(r = 1\) et de premier terme \({u_0} = 1\), d’où pour tout entier naturel \(n\) : \({\rm{ }}{u_n} = n + 1\). La représentation graphique de la suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) sont les points d’abscisses entières, situés sur la droite d’équation \(y = x + 1\).

Théorème 2 : Soit \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) une suite arithmétique de raison \(r\). Pour tout entiers naturels \(m\) et \(p\), \({u_m} = {u_p} + \left( {m – p} \right)r\).

Exemple : Soit \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) une suite arithmétique de raison \(r\) avec \({u_7} = 6\) et \({u_5} = 2\). Calculer \(r\) puis \({u_0}\). Prenons \(m = 7\) et \(p = 5\). D’après le théorème, \({u_7} – {u_5} = \left( {7 – 5} \right) \times r\)\( \Leftrightarrow r = \frac{{6 – 2}}{2} = 2\). Prenons à présent \(m = 0\) et \(p = 5\). D’après le théorème, \({u_0} = {u_5} + \left( {0 – 5} \right) \times \left( 2 \right) = 2 – 10 = – 8\). Donc \({u_0} = – 8\).

Théorème 3 : Soit \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) une suite arithmétique de premier terme \({u_0}\) donné. On note \({S_n}\) la somme définie pour tout entier naturel \(n \ge 0\), par :\({S_n} = \sum\limits_{k = 0}^n {{u_k} = {u_0} + {u_1} + \cdots + {u_n}} \). Alors, pour tout entier naturel \(n \ge 0\), \({S_n} = \left( {n + 1} \right) \times \frac{{{u_0} + {u_n}}}{2}\).

Lemme : La somme des \(n\) premiers entiers naturels vaut \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\).

Démonstration du lemme :
Posons \(S = 1 + 2 + 3 + \cdots + \left( {n – 1} \right) + n\). On peut aussi écrire cela, \(S = n + \left( {n – 1} \right) + \left( {n – 2} \right) + \cdots + 3 + 2 + 1\).
Ajoutons ces deux expressions :
\(\begin{array}{*{20}{c}}S& = &1& + &2& + &3& + & \cdots & + &{\left( {n – 1} \right)}& + &n\\S& = &n& + &{\left( {n – 1} \right)}& + &{\left( {n – 2} \right)}& + & \cdots & + &2& + &1\end{array}\). Par addition, \(\begin{array}{*{20}{c}}{2S}& = \end{array}{\rm{ }}\underbrace {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {n + 1} \right)}&{{\rm{ }} + }&{{\rm{ }}\left( {n + 1} \right)}&{{\rm{ }} + }&{{\rm{ }}\left( {n + 1} \right)}&{{\rm{ }} + {\rm{ }}}& \cdots &{{\rm{ }} + }&{{\rm{ }}\left( {n + 1} \right)}&{{\rm{ }} + }&{\left( {n + 1} \right)}\end{array}}_{n{\rm{ termes}}}\) d’ où \(S = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\), pour tout entier naturel \(n \ge 1\).

Démonstration du théorème :
Considérons une suite arithmétique de premier terme \({u_0}\) et de raison \(r\).
On a \({u_1} = {u_0} + r\)
\({u_2} = {u_0} + 2r\)
………….
\({u_n} = {u_0} + nr\), pour \(n \ge 0\). Par addition de ces \(n\) lignes, on a \({u_1} + {u_2} + \cdots {u_n} = n{u_0} + r\left( {1 + 2 + 3 + \cdots n} \right)\).
D’après le lemme, \(1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\) donc \({u_1} + {u_2} + \cdots {u_n} = n{u_0} + r\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
On a alors pour \(n \ge 0\) : \({S_n} = {u_0} + n{u_0} + r\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = \left( {n + 1} \right){u_0} + r\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = \frac{{n + 1}}{2}\left[ {2{u_0} + nr} \right] = \frac{{n + 1}}{2}\left[ {{u_0} + {u_0} + nr} \right] = \frac{{n + 1}}{2}\left( {{u_0} + {u_n}} \right)\).

Remarque : On retient la somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique sous la forme :
S = \(\) nb de termes \( \times \) \(\frac{{premier{\rm{ }}terme + dernier{\rm{ }}terme}}{2}\).

Exemple : \(S = 3 + 7 + 11 + \cdots + 47\).

  • D’abord est-ce que S représente la somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique ?
    On observe que l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant 4.
  • Calcul de la somme :\(S = 12 \times \frac{{3 + 47}}{2} = 300\).

2°) Suites géométriques.

Définition : On dit qu’une suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) est une suite géométrique, s’il existe un réel \(q\) tel que, pour tout entier naturel n, \({u_{n + 1}} = q{u_n}\). Le nombre réel \(q\) est appelé la raison de la suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\).

Exemple 1 : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_0} = 2}\\{{u_{n + 1}} = \frac{1}{2}{u_n}}\end{array}} \right.\)

Exemple 2 : Soit \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) une suite numérique de terme général, pour tout \(n \ge 0\), \({u_n} = {7^n}\). Montrer que \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

  • 1ère façon : Soit \(n \in \mathbb{N}\), \({u_{n + 1}} = {7^{n + 1}} = {7^1} \times {7^n} = 7{u_n}\). Donc il existe un réel \(q = 7\) indépendant de \(n\) tel que \({u_{n + 1}} = 7{u_n}\). Ainsi, \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) est une suite géométrique de raison \(q = 7\).
  • 2ème façon : Comme pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \({u_n} \ne 0\), on a \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{7^{n + 1}}}}{{{7^n}}} = 7\) qui est un réel indépendant de \(n\).
    Ainsi, \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in IN}}\) est une suite géométrique de raison \(q = 7\).

Théorème 1 : Si \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in IN}}\) une suite géométrique des raison \(q > 0\) et de premier terme \({u_0}\) donné non nul alors, pour tout entier naturel \(n\), \({u_n} = {u_0} \times {q^n}\).

Remarques :

  • La réciproque du théorème est vraie. Si \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in IN}}\) est une suite dont le terme général vérifie pour tout entier naturel \(n\), \({u_n} = {u_0} \times {q^n}\)alors \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) est une suite géométrique.
  • Dans la pratique, on rencontrera \(q > 0\), \(q \ne 1\) et \({u_0} \ne 0\).
  • La représentation graphique d’une suite géométrique sont les points d’abscisses entières situés sur l’une des courbes de la forme : q>1 0<q 1, on parle de croissance exponentielle.

Théorème 2 : Si \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) une suite géométrique de raison \(q > 0\) alors, pour tout entiers naturels \(m\) et \(p\), \({u_m} = {q^{m – p}} \times {u_p}\).

Exemple : Soit \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) une suite géométrique de raison \(q = \frac{1}{{10}}\) avec \({u_{10}} = 5\). Calculer \({U_{50}}\) . Prenons \(m = 10\) et \(p = 5\). D’après le théorème, \({u_{50}} = {\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^{50 – 10}} \times 5 = \frac{5}{{{{10}^{40}}}}\)

Théorème 3 : Soit \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) une suite géométrique de premier terme \({u_0}\)et de raison \(q\). Posons pour tout entier naturel \(n \ge 0\) : \({S_n} = \sum\limits_{k = 0}^n {{u_k} = {u_0} + {u_1} + \cdots + {u_n}} \). On a :

  1. Si \(q \ne 1\), \({S_n} = {u_0}\frac{{1 – {q^{n + 1}}}}{{1 – q}}\),
  2. Si \(q = 1\), \({S_n} = {u_0}\left( {n + 1} \right)\).

Remarque : On retient cette formule sous la forme : \({S_n} = \left( {{\rm{premier terme}}} \right) \times \frac{{1 – {\rm{raiso}}{{\rm{n}}^{nombre\det ermes}}}}{{1 – {\rm{raison}}}}\).

Exemple : \(S = {3^2} + {3^3} + \cdots + {3^{10}}\).

  • S est bien la somme des termes d’une suite géométrique car on passe d’un terme au suivant en multipliant par 3.
  • Si on démarrait à \(n = 0\), on aurait \(\underbrace {\underbrace {{3^0} + {3^1}}_{2{\rm{ termes}}} + {3^2} + \cdots + {3^{10}}}_{11{\rm{ termes}}}\) donc S contient 9 termes. Ainsi \(S = {3^2} \times \frac{{1 – {3^9}}}{{1 – 3}} = \frac{9}{2}\left( {{3^9} – 1} \right)\).

3°) Sens de variation d’une suite géométrique.

Pour étudier le sens de variation d’une suite, on forme la différence \({u_{n + 1}} – {u_n}\). Pour une suite géométrique \({\left( {{u_n}} \right)_{n \ge 0}}\) de premier terme \({U_0}\) et de raison \(q\), on a vu que \({u_n} = {u_0} \times {q^n}\). Ainsi, pour tout entier naturel \(n \ge 0\) : \({u_{n + 1}} – {u_n} = {u_0}\left( {{q^{n + 1}} – {q^n}} \right) = {u_0}{q^n}\left( {q – 1} \right)\) ce qui permet d’étudier le signe de \({u_{n + 1}} – {u_n}\) en fonction du signe de \({u_0}\) et de la position de \(q\) par rapport à 0 et 1 suivant la parité de l’entier naturel \(n\). On a donc le tableau des résultats suivant :

Mettre tableau

Remarque : Ces résultats sont à prendre à titre de théorème (démonstration en exercice).

4°) Représentation graphique d’une suite géométrique.

On considère une suite géométrique de raison \(q > 0\) (avec \(q \ne 1\) pour éviter la suite constante et \({u_0} \ne 0\) pour éviter la suite constante nulle). La représentation graphique d’une suite géométrique dans un repère orthonormé \(\left( {O;\mathop i\limits^ \to ;\mathop j\limits^ \to } \right)\) sont les points isolés d’abscisses entières \(\left( {n;{u_n}} \right)\) situés sur l’une des deux courbes de la forme :

Mettre les graphiques

Remarque : Lorsque \(q > 1\) on parle de croissance exponentielle.

II- RAISONNEMENT PAR RECURRENCE.

Soit \({P_n}\) une propriété dépendant de l’entier naturel \(n\). Cette propriété peut être vraie pour tous les entiers naturels \(n\), ou vraie pour certains entiers seulement.

Axiome : Soit \({n_0}\) un entier naturel et \({P_n}\) une propriété dépendant de l’entier naturel \(n\). Pour prouver que \({P_n}\) est vraie pour tout entier \(n \ge {n_0}\), on procède en deux étapes.

  1. On vérifie que la propriété est vraie au rang \(n = {n_0}\), c’est à dire que \({P_{{n_0}}}\) est vraie.
  2. On suppose que la propriété \({P_n}\) est vraie pour un entier naturel \(n\) fixé avec \(n \ge {n_0}\). Si \({P_n}\) vraie implique \({P_{n + 1}}\) vraie, alors la propriété \({P_n}\) est vraie pour tout entier naturel \(n\) tel que \(n \ge {n_0}\).

Exemple : Montrer que pour tout entier naturel \(n \ge 1\), \(\sum\limits_{k = 1}^n k = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\).

  • Pour \(n = 1\), on a \(\sum\limits_{k = 1}^1 k = 1\) et \(\frac{{1 \times \left( {1 + 1} \right)}}{2} = 1\) donc la propriété est vraie au rang \(n = 1\).
  • Supposons que pour un entier naturel \(n\) non nul fixé, la propriété \(\sum\limits_{k = 1}^n k = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\) est vraie et montrons là au rang \(n + 1\) c’est à dire que \(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} k = \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2}\) est vraie.
    On a \(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} k = \sum\limits_{k = 1}^n k + \sum\limits_{k = n + 1}^{n + 1} k = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} + n + 1 = \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2}\). La propriété est vraie au rang \(n + 1\) et d’après le principe de récurrence est vraie pour tout entier naturel \(n\) non nul.

Exemple 2 : On considère la suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) définie par \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_0} = 1}\\{{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n} + 12} }\end{array}} \right.\).
1°) Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 < {u_n} \le 4\).
Pour \(n = 0\), on a \({u_0} = 1\) et \(0 < 1 \le 4\) donc \(0 < {u_0} \le 4\) et la propriété est vraie au rang \(n = 0\).
Supposons que pour un entier naturel \(n\) fixé, la propriété \(0 < {u_n} \le 3\) est vraie, et montrons là au rang \(n + 1\).
On a, par hypothèse de récurrence, que \(0 < {u_n} \le 3\) donc que \(12 < {u_n} + 12 \le 16\). Comme la fonction \(x \mapsto \sqrt x \) est strictement croissante sur \({\mathbb{R}_ + }\), on en déduit que \(0 < {u_{n + 1}} \le 4\). Ce qui prouve la relation au rang \(n + 1\) et d’après le principe de récurrence est vraie pour tout entier naturel \(n\).

III- COMPORTEMENT GLOBAL D’UNE SUITE.

1°) Suites monotones.

Définition : Soit \(\left( {{u_n}} \right)\) une suite numérique définie à partir de l’entier \(n \ge 0\). On dit que la suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \ge 0}}\) est :

  1. croissante si pour tout entier naturel \(n\), \({u_{n + 1}} – {u_n} \ge 0\),
  2. décroissante si pour tout entier naturel \(n\), \({u_{n + 1}} – {u_n} \le 0\),
  3. stationnaire s’il existe un entier naturel \(p\), tel que pour tout entier naturel \(n \ge p\), \({u_{n + 1}} = {u_n}\),
  4. constante si pour tout entier naturel \(n\), \({u_{n + 1}} = {u_n}\)=\({u_0}\).

Remarque : Lorsque dans la définition précédente, les inégalités de i) et ii) sont prises au sens strict, c’est à dire \({u_{n + 1}} – {u_n} > 0\) (respectivement \({u_{n + 1}} – {u_n} < 0\)) on dit que la suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \ge 0}}\) est strictement croissante (respectivement strictement décroissante). Définition. On dit qu’une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante (respectivement strictement croissante, strictement décroissante).

Remarque : On dispose de trois méthodes pour étudier la monotonie d’une suite :

  • Les techniques algébriques :
  • Etudier le signe de \({u_{n + 1}} – {u_n}\),
  • Si \(\forall n \in \mathbb{N}\), \({u_n} > 0\) étudier la position du quotient \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) par rapport à 1.
  • La technique fonctionnelle : lorsque \({U_n}\) est défini sous la forme \({u_n} = f\left( n \right)\), on étudie la fonction \(f\) sur \(\left[ {0; + \infty } \right[\). La suite \(\left( {{u_n}} \right)\) a le même sens de variation que la fonction \(f\).
  • Le raisonnement par récurrence.

Exemples : 

  • Soit \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) une suite à termes positifs définie par \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_0} = 0}\\{{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n} + 6} }\end{array}} \right.\). Etudier la monotonie de la suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\).
    Soit \(n \in \mathbb{N}\), \({u_{n + 1}} – {u_n} = \sqrt {{u_n} + 6} – {u_n} = \frac{{ – u_n^2 + {u_n} + 6}}{{\sqrt {{u_n} + 6} + {u_n}}} = – \frac{{\left( {{u_n} + 2} \right)\left( {{u_n} – 3} \right)}}{{\sqrt {{u_n} + 6} + {u_n}}}\).
  • Si \({u_n} \in \left[ { – 2;3} \right]\) on a \({u_{n + 1}} \ge {u_n}\) et donc la suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) est croissante.
  • Si \({u_n} \in \left[ {3; + \infty } \right[\) on a \({u_{n + 1}} \le {u_n}\) et donc la suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) est décroissante.

Par récurrence.
On a \({u_0} = 1\) et \({u_1} = \sqrt {13} \) or \(1 \le \sqrt {13} \) donc \({u_0} \le {u_1}\) ce qui prouve la propriété au rang \(n = 0\) .
Supposons que pour un entier \(n\) fixé dans \(\mathbb{N}\) , la propriété \({u_n} \le {u_{n + 1}}\) est vraie, et montrons là au rang \(n + 1\) .
De l’hypothèse de récurrence, \({u_n} \le {u_{n + 1}}\) il vient \({u_n} + 12 \le {u_{n + 1}} + 12\) et comme la fonction \(x \mapsto \sqrt x \) est strictement croissante sur \({\mathbb{R}_ + }\), (on rappelle que \({u_n} > 0\)) on a \(\sqrt {{u_n} + 12} \le \sqrt {{u_{n + 1}} + 12} \) soit \({u_{n + 1}} \le {u_{n + 2}}\) ce qui montre la propriété au rang \(n + 1\).
D’après le principe de récurrence, on en déduit que pour tout entier naturel \(n\), \({u_n} \le {u_{n + 1}}\) ce qui prouve la croissance de la suite \({U_n}\) .

Soit \(n \in \mathbb{N}\). On définit factorielle \(n\), noté \(n!\) par : \(n! = n \times \left( {n – 1} \right) \times \left( {n – 2} \right) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1\) avec par convention \(0! = 1\).
Ainsi, \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\), \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\).

Exercice : On pose pour \(n \in \mathbb{N}\) :\({u_n} = n!\) et \({v_n} = {2^n}\).
1°) Calculer les six premiers termes des suites \(\left( {{u_n}} \right)\) et \(\left( {{v_n}} \right)\).
2°) Montrer par récurrence sur l’entier naturel n que :\(\forall n \in \mathbb{N}\) avec \(n \ge 4\) :\({u_n} \ge {v_n}\).

\(n\) 0 1 2 3 4 5
\({u_n}\) 1 1 2 6 24 120
\({v_n}\) 1 2 4 8 16 32
1°) On dresse un tableau :
2°) Les premiers termes de la suite laisseraient à penser que \({u_n} \le {v_n}\) et pourtant cette tendance s’inverse dés que \(n \ge 4\). Ceci prouve que pour comparer deux suites, il ne suffit pas de regarder la différence sur deux termes particuliers comme \({u_1} \le {v_1}\) ou \({u_2} \le {v_2}\) etc mais bien sur les termes généraux.

Effectuons un raisonnement par récurrence.
Supposons que pour un rang \(n\) fixé dans \(\mathbb{N}\) avec \(n \ge 4\), on a \(n! \ge {2^n}\), et montrons la propriété au rang \(n + 1\) c’est à dire que : \((n + 1)! \ge {2^{n + 1}}\)
On a \(\left( {n + 1} \right){\rm{ }}! = \left( {n + 1} \right) \times n!\) or d’après l’hypothèse de récurrence, \(n! \ge {2^n}\) donc \(\left( {n + 1} \right){\rm{ }}! \ge \left( {n + 1} \right) \times {2^n}\). Par ailleurs, \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) : \(n + 1 \ge 2\) donc \(\left( {n + 1} \right){\rm{ }}! \ge 2 \times {2^n} = {2^{n + 1}}\).
Comme la propriété est vraie au rang \(n + 1\), d’après le principe de récurrence, on en déduit que :\(\forall n \in \mathbb{N}\) avec \(n \ge 4\) :\({u_n} \ge {v_n}\).

On donne la suite définie par \({u_n} = \frac{{{2^n}}}{{n!}}\) avec \(n \ge 2\).
On a pour tout \(n \ge 2\), que \({u_n} > 0\) donc \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{\left( {n + 1} \right)!}} \times \frac{{n!}}{{{2^n}}} = \frac{2}{{n + 1}}\). Comme \(n \ge 2\), on a \(n + 1 \ge 3\) et donc pour \(n \ge 2\), \(\frac{2}{{n + 1}} \le \frac{2}{3} < 1\) ce qui montre que la suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \ge 2}}\) est décroissante.

2°) Suites majorées, minorées, bornées.

Définition :  Soit \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) une suite de nombres réels. On dit que :

  1. La suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) est majorée, s’il existe un réel \(m\) tel que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \({u_n} \le M\),
  2. La suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) est minorée, s’il existe un réel \(m\) tel que, pour tout\(n \in \mathbb{N}\), \({u_n} \ge M\),
  3. La suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) est majorée si elle est à la fois minorée et majorée.

Remarques :

  • On fera attention à la formulation, les réels \(m\) et \(m\) ne dépendent pas de l’entier \(n\).
  • Les techniques précédentes s’appliquent :
  • Si \({u_n} = f\left( n \right)\) et f majorée (resp. minorée) sur \(\left[ {0; + \infty } \right[\) alors la suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) aussi.
  • Si \({u_{n + 1}} = f\left( {{u_n}} \right)\) on procède par récurrence.
  • Penser au signe de la différence, \({u_n} – M\) ou \({u_n} – m\).

Exemple : Montrer que la suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) définie par \({u_n} = \cos n + \frac{1}{n}\) est bornée.
On a \(\forall n \in \mathbb{N}*\), \( – 1 \le \cos n \le 1\) et \(0 \le \frac{1}{n} \le 1\) d’où par addition membre à membre, \(\forall n \in \mathbb{N}*\) :\( – 1 \le {u_n} \le 2\), ce qui prouve que la suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in {\mathbb{N}^*}}}\) est minorée par /(-1/) et majorée par /(2/).

IV- LIMITE D’UNE SUITE.

1°) Limite réelle.

Définition : Soit \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) une suite numérique et \(l\) un nombre réel. On dit que la suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) admet le nombre \(l\) pour limite, si tout intervalle ouvert de centre \(l\) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Dessin

Notation : Lorsque \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) admet pour limite le nombre \(l\), on note \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = l\) et on dit que la suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) est convergente.

Question : Une suite convergente à termes strictement positifs a-t-elle forcément une limite strictement positive ?
Proposition : La limite d’une suite lorsqu’elle existe est unique.
Démonstration :  Raisonnons par l’absurde, en supposant que la suite convergente \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) admette deux limites distinctes \({l_1}\) et \({l_2}\) avec \({l_1} < {l_2}\). Soit \(\varepsilon \) un réel strictement positif et prenons \(\varepsilon = \frac{{{l_2} – {l_1}}}{2}\).
Considérons alors les deux intervalles \({I_1} = \left] {{l_1} – \varepsilon ;{l_1} + \varepsilon } \right[\) puis \({I_2} = \left] {{l_2} – \varepsilon ;{l_2} + \varepsilon } \right[\). On a \({l_1} + \varepsilon = {l_1} + \frac{{{l_2} – {l_1}}}{2} = \frac{{{l_1} + {l_2}}}{2} = {l_2} – \varepsilon \). Les deux intervalles \({I_1}\)et \({I_2}\) sont donc disjoints (puisque ouverts). Or, à partir d’un certain rang \({n_1}\) tous les termes de la suite sont dans \({I_1}\) (car de limite \({l_1}\)), \({n_2}\) tous les termes de la suite sont dans \({l_2}\) (car de limite \({l_2}\)), Donc à partir d’un rang \({n_0} = \max \left( {{n_1};{n_2}} \right)\) tous les termes sont à la fois dans \({I_1}\) et dans \({l_2}\) c’est à dire dans \({I_1} \cap {I_2}\), ce qui est absurde car ces deux intervalles sont disjoints et donc ces deux limites sont égales.

Proposition : Les suites de termes généraux \(\frac{1}{n}\), \(\frac{1}{{{n^2}}}\), \(\frac{1}{{{n^3}}}\), \(\frac{1}{{\sqrt n }}\) et plus généralement \(\frac{1}{{{n^\alpha }}}\) avec \(\alpha \in \mathbb{R}_ + ^*\) ont pour limite 0 en \( + \infty \) .

2°) Limite infinie.

Définition : On dit qu’une suite numérique \(\left( {{u_n}} \right)\) admet pour limite \( + \infty \) si tout intervalle de la forme \(\left[ {A; + \infty } \right[\), où \(A\) est un réel quelconque, contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \).

Remarques :

  • On adapte cette définition au cas où \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = – \infty \),
  • Une suite est dite divergente si sa limite est infinie ou n’existe pas (cas de \({\left( { – 1} \right)^n}\)).

Proposition : Les suites de termes général \({n^\alpha }\), avec \(\alpha \in \mathbb{R}_ + ^*\) admettent une limite infinie.

Exercices : Exercice 3 page 103 du transmath.

On considère la suite \(\left( {{u_n}} \right)\) de terme général, \(\forall n \in \mathbb{N}\) :\({u_n} = \frac{{3n – 1}}{{n + 1}}\). Déterminer un entier \({n_0}\) tel que, lorsque \(n > {n_0}\), \({u_n} \in \left] {2,99;3,01} \right[\).
\({u_n} \in \left] {2,99;3,01} \right[ \Leftrightarrow 2,99 < \frac{{3n – 1}}{{n + 1}} < 3,01 \Leftrightarrow – 0.01 < \frac{{3n – 1}}{{n + 1}} – 3 < 0,01 \Leftrightarrow – 0,01 < – \frac{4}{{n + 1}} < 0,01\) \( \Leftrightarrow – \frac{1}{{100}} < \frac{4}{{n + 1}} < \frac{1}{{100}} \Leftrightarrow – \frac{1}{{400}} < \frac{1}{{n + 1}} < \frac{1}{{400}} \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 1}} < \frac{1}{{400}}\) soit \(n > 399\).
On prend alors \({n_0} = 399\) et pour tout \(n > {n_0}\) c’est à dire pour \(n \ge 400\), on a \(\left| {{u_n} – 3} \right| < 0,01\).

3°) Théorèmes sur les limites.

a) Suites du type\[{u_n} = f\left( n \right)\]

Théorème : Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(\left[ {A; + \infty } \right[\), avec \(A \in \mathbb{R}\) et \(\left( {{u_n}} \right)\) une suite définie par un=f(n). Soit \(l \in \mathbb{R} \cup \left\{ { – \infty ; + \infty } \right\}\). Si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = l\) alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = l\).

Remarque : La réciproque est fausse, à ce titre considérons la suite \(\left( {{u_n}} \right)\) définie par \({u_n} = \sin \left( {\pi n} \right)\).

  • Si \(n\) est pair, il existe un entier naturel \(p\) tel que \({u_{2p}} = \sin \left( {2\pi p} \right) = 0\), quel que soit \(p \in \mathbb{N}\).
  • Si \(n\) est impair, il existe un entier naturel \(p\) tel que \({u_{2p + 1}} = \sin \left( {2\pi p + \pi } \right) = 0\), quel que soit\(p \in \mathbb{N}\). donc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\) et pourtant \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sin \left( {\pi x} \right)\) n’existe pas.

b) Suites du type \[{u_n} = f\left( {{v_n}} \right)\]

Théorème : Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et \(\left( {{v_n}} \right)\) une suite dont tous les termes sont dans \(I\) et considérons la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \({u_n} = f\left( {{v_n}} \right)\). Soit \(\left( {l,l’} \right) \in {\left( {\mathbb{R} \cup \left\{ { – \infty ; + \infty } \right\}} \right)^2}\). Si \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = l’\) et si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to l’} f\left( x \right) = l\) alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = l\).

Exemple :  Soit \(\left( {{u_n}} \right)\) la suite définie par \({u_n} = \sqrt {\frac{{3n + 2}}{{n + 1}}} \). Posons \({v_n} = \frac{{3n + 2}}{{n + 1}}\) et \(f:x \mapsto \sqrt x \). On a \({D_f} = \left[ {0; + \infty } \right[\) et \(\forall \in \mathbb{N}\), \({v_n} \ge 0\) donc \(\forall n \in \mathbb{N}\), \({v_n} \in \left[ {0; + \infty } \right[\). Or \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 3\) et f est continue en 3 avec \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt x = \sqrt 3 \) donc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \sqrt 3 \).

c) Suites du type \({u_{n + 1}} = f\left( {{u_n}} \right)\)

Corollaire : Dans le cas particulier ou la suite \(\left( {{u_n}} \right)\)est définie sous la forme \({u_{n + 1}} = f\left( {{u_n}} \right)\) et converge vers \(l\), point en lequel la fonction \(f\) est continue, alors \(l\) est solution de l’équation \(l = f\left( l \right)\).

Démonstration : La suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) étant convergente, soit \(l\) sa limite alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = l\) et \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_{n + 1}} = l\). Comme \(f\) est continue sur \(I\) alors \(f\) est continue en \(I\) d’où \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{u_n}} \right) = f\left( l \right)\) mais \({u_{n + 1}} = f\left( {{u_n}} \right)\) donc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_{n + 1}} = f\left( l \right)\). On en déduit que la limite de la suite \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) satisfait l’équation \(l = f\left( l \right)\).

4°) Opérations sur les limites.  

Soient \(\left( {{u_n}} \right)\) et \(\left( {{v_n}} \right)\) deux suites vérifiant : \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = l\) et \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = l{\rm{ ‘}}\) avec \(\left( {l;l{\rm{ ‘}}} \right) \in {\left( {\mathbb{R} \cup \left\{ { – \infty ; + \infty } \right\}} \right)^2}\). On a alors les résultats suivants sur la limite de la somme, du produit et du quotient dans les cas suivants :

a- Sur la somme.   Mettre les tableaux
b- Sur le produit.
c- Sur le quotient.

Remarque : Les points d’interrogation correspondent aux formes \(\infty – \infty \), \(0 \times \infty \), \(\frac{0}{0}\) et \(\frac{\infty }{\infty }\) qui sont appelées formes indéterminées (en abrégé F.I.). Le symbole sgn correspond au signe du nombre mis entre parenthèse.

5°) Théorèmes de comparaison.

Théorème 1 : Soit \(\left( {{u_n}} \right)\) et \(\left( {{v_n}} \right)\) deux suites réelles et \({n_0} \in \mathbb{N}\).

  1. Si pour tout entier naturel \(n \ge {n_0}\), \({u_n} \le {v_n}\)et si\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \) alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = + \infty \),
  2. Si pour tout entier naturel\(n \ge {n_0}\) \({u_n} \le {v_n}\) et si\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = – \infty \) alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = – \infty \).

Démonstration :  Soit \(A \in \mathbb{R}\) et considérons l’intervalle \([A; + \infty [\) On a \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \) donc, il existe un rang \({n_1}\) tel que pour tout \(n > {n_1}\) , \({u_n} \in \left[ {A; + \infty } \right[\).
De plus, il existe un entier \({n_0}\) tel que, pour tout \(n \ge {n_0}\), \({u_n} \le {v_n}\)
Notons \({n_2} = \max ({n_0},{n_2})\), pour tout \(n > {n_2}\), \({v_n} \ge {u_n} \ge A\)donc\({v_n} \in \left[ {A; + \infty } \right[\)ce qui montre que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = + \infty \).

Exemple : (exercice 8 page 104 du transmath).
On considère la suite \(\left( {{u_n}} \right)\) définie par : \({u_n} = n + 1 – \cos n\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(n \le {u_n} \le n + 2\) puis en déduire la limite de la suite \(\left( {{u_n}} \right)\).
Pour tout entier naturel n, \( – 1 \le \cos n \le 1\) donc \(n \le n + 1 – \cos n \le n + 2\).
On a \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n = + \infty \) donc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \).

Exercices 9 page 104.

Théorème 2 (des gendarmes) : Soit \(\left( {{u_n}} \right)\), \(\left( {{v_n}} \right)\) et \(\left( {{w_n}} \right)\) trois suites réelles et \({n_0} \in \mathbb{N}\). Si

  1. \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(n \ge {n_0}\), \({u_n} \le {v_n} \le {w_n}\),
  2. les suites \(\left( {{u_n}} \right)\) et \(\left( {{w_n}} \right)\) sont convergentes de même limite finie \(l\),
    alors :
    i- la suite \(\left( {{v_n}} \right)\) est convergente,
    ii- \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = l\).

Démonstration : 
Soit \(I\) un intervalle ouvert contenant \(l\). Puisque les suites \(\left( {{u_n}} \right)\) et \(\left( {{w_n}} \right)\) sont convergentes de même limite \(l\),

  •  il existe un rang \({n_1}\) tel que, pour tout entier naturel \(n > {n_1},\)\({u_n} \in I\).
  •  il existe un rang \({n_2}\) tel que, pour tout entier naturel \(n > {n_2}\),\({w_n} \in I\).

Soit alors \({n_0} = \max \left( {{n_1},{n_2}} \right)\). Pour tout entier naturel \(n\) tel que \(n > {n_0}\), on a \({u_n} \in I\) et \({v_n} \in I\) c’est à dire que pour \(n > {n_0}\) tous les termes des suites \(\left( {{u_n}} \right)\) et \(\left( {{w_n}} \right)\) sont dans \(I\).
De plus, d’après i), tous les termes de la suite \(\left( {{v_n}} \right)\) sont dans \(I\) à partir d’un certain rang \({n_0} = \max \left( {{n_1};{n_2}} \right)\) ce qui prouve que la suite \(\left( {{v_n}} \right)\) est convergente de limite \(l\).

Théorème 3 :  Soit \(\left( {{u_n}} \right)\) et \(\left( {{v_n}} \right)\) deux suites réelles avec \({n_0} \in \mathbb{N}\) et \(l \in \mathbb{R}\). Si :

  1. pour \(n \ge {n_0}\), on a \(\left| {{u_n} – l} \right| \le {v_n}\),
  2. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 0\),

alors la suite \(\left( {{u_n}} \right)\) est convergente de limite \(l\).

Démonstration : 
Supposons \(\left| {{u_n} – l} \right| \le {v_n}\) et \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 0\).
Pour \(n \ge {n_0}\), \(\left| {{u_n} – l} \right| \le {v_n}\)  \(l – {v_n} \le {u_n} \le l + {v_n}\). Or \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 0\) donc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {l – {v_n}} \right) = l\) et \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {l + {v_n}} \right) = l\). Ainsi les suites \(\left( {l – {v_n}} \right)\) et \(\left( {l + {v_n}} \right)\) sont convergentes de même limite \(l\). On peut appliquer le théorème des gendarmes ce qui entraîne que la suite \(\left( {{u_n}} \right)\) est convergente de limite \(l\).

Exemple 1 : Soit \(\left( {{u_n}} \right)\) la suite de terme général \({u_n} = \frac{{\sin n}}{{n + 1}}\).
\(\forall n \in \mathbb{N}\) : \( – 1 \le {u_n} \le 1 \Rightarrow – \frac{1}{{n + 1}} \le {u_n} \le \frac{1}{{n + 1}}\) or \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ – 1}}{{n + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{n + 1}} = 0\) donc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\).

Exemple 2 : Avec \({u_n} = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}}}{n}\).

Théorème 4 : passage à la limite dans les inégalités.
Soit \(\left( {{u_n}} \right)\) et \(\left( {{v_n}} \right)\) deux suites réelles telles que à partir d’un certain rang :\({u_n} \le {v_n}\). Si \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = l\) et \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = l’\) alors \(l \le l’\).

Remarque : Le passage à la limite dans une inégalité stricte rend les inégalités large.

Exemple : Exercice 10 page 104 du transmath.

6°) Comportement asymptotique de \({q^n}\) avec \(q \in \mathbb{R}\) .

Théorème :  Soit \(q \in \mathbb{R}\). Considérons la suite \(\left( {{u_n}} \right)\) définie par \(\forall n \in \mathbb{N}\) : \({u_n} = {q^n}\).

  1. Si\(q > 1\), alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = + \infty \),
  2. Si\(q = 1\) alors \({\left( {{q^n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) est constante et a pour limite 1,
  3. Si \(\left| q \right| < 1\) alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\),
  4. Si \(q \le – 1\) alors la suite est divergente et n’a pas de limite.

Lemme : inégalité de Bernoulli. Pour tout entier naturel \(n\) et pour tout réel /(x/) strictement positif, \({\left( {1 + x} \right)^n} \ge 1 + nx\)

Démonstration : Soit /(x/) un nombre réel strictement positif.
Montrons la propriété au rang n=0. On a \({\left( {1 + x} \right)^0} = 1\) et \(1 + 0 \times x = 1\) or 1=1 donc \({\left( {1 + x} \right)^0} = 1 + 0 \times x\)ce qui prouve la propriété au rang \(n = 0\)
Supposons que, pour un rang \(n\) fixé dans \(\mathbb{N}\) , la propriété \({\left( {1 + x} \right)^n} \ge 1 + nx\)est vraie et, montrons qu’elle reste vraie au rang \(n + 1\) . On a \({\left( {1 + x} \right)^{n + 1}} = \left( {1 + x} \right){\left( {1 + x} \right)^n}\) or, par hypothèse de récurrence, \({\left( {1 + x} \right)^n} \ge 1 + nx\) et comme \(x > 0\) alors \(1 + x > 0\) donc \({\left( {1 + x} \right)^{n + 1}} \ge \left( {1 + x} \right)\left( {1 + nx} \right)\)
D’où \({\left( {1 + x} \right)^{n + 1}} = 1 + \left( {n + 1} \right)x + n{x^2}\) et comme \(n{x^2} \ge 0\) on a alors \({\left( {1 + x} \right)^{n + 1}} \ge 1 + \left( {n + 1} \right)x\)ce qui prouve la propriété au rang \(n + 1\).
D’après le principe de récurrence, on en déduit que : \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(\forall x \in \mathbb{R}_ + ^*\),\({\left( {1 + x} \right)^n} \ge 1 + nx\).

Démonstration du théorème : 

  1. Si \(q = 0\), pour \(n \in {\mathbb{N}^*}\) :\({0^n} = 0\) et donc \(\left( {{q^n}} \right)\) est la suite nulle de limite nulle.
  2. Si \(q > 1\), on pose \(q = 1 + x\) ou \(x > 0\). Alors d’après l’inégalité de Bernoulli, pour \(n \in \mathbb{N}\) : \({q^n} = {\left( {1 + x} \right)^n} \ge 1 + nx\) et comme \(x > 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + nx} \right) = + \infty \) et d’après le théorème 1, on a \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = + \infty \).
  3. Si \(q = 1\) alors \(\forall n \in \mathbb{N}\) \({q^n} = 1\) et donc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 1\).
  4. Si \( – 1 < q < 1\), posons \(q = \frac{1}{{\left| x \right|}}\) avec \(\left| x \right| > 1\). On a \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left| x \right|^n} = + \infty \) d’où \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{{\left| x \right|}^n}}} = 0\) ce qui entraîne \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\).
  5. Si \(q \le – 1\) alors \(q = \left( { – 1} \right)x\) avec \(x > 1\) donc \({q^n} = {\left( { – 1} \right)^n}{x^n}\). Or \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x^n} = + \infty \) et \({\left( { – 1} \right)^n}\) n’admet pas de limite en \( + \infty \) ; donc \({q^n}\) non plus.

Exemple : Etudier la limite de la suite \({\left( {{S_n}} \right)_{n \in IN}}\) définie par : \({S_n}\left( x \right) = 1 + x + \cdots + {x^n}\) où \(\left| x \right| < 1\).
On a\(\forall n \in \mathbb{N}\) : \({S_n}\left( x \right) = \frac{{1 – {x^{n + 1}}}}{{1 – x}}\). Or \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x^{n + 1}} = 0\) car \(\left| x \right| < 1\) donc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n}\left( x \right) = \frac{1}{{1 – x}}\).

Exercice 9 page 104 du transmath et attirer leur attention sur le fait que \(q\) est un réel indépendant de l’entier naturel \(n\).

V- CONVERGENCE DES SUITES MONOTONES.

1°) Suites monotones non bornées.

Théorème : Si \(\left( {{u_n}} \right)\) est une suite croissante et non majorée alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \), ii- Si \(\left( {{u_n}} \right)\) est une suite décroissante et non minorée alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = – \infty \).

Démonstration : On le fait pour i). Soit \(\left( {{u_n}} \right)\) une suite non majorée. Pour tout réel \(m\), il existe un entier naturel \(n\) tel que \({u_N} > M\).
La suite est de plus croissante donc pour tout entier naturel \(n\) tel que \(n > N\) on a \({u_n} > {u_N}\).
Ce qui signifie que tous les termes \({u_N},{u_{N + 1}},{u_{N + 2}}, \cdots \) sont situés dans l’intervalle ouvert \(\left] {M; + \infty } \right[\) ce qui traduit (d’après la définition) que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \).

Remarques :

  1. Ne pas penser qu’une suite non majorée tend vers \( + \infty \) .
    Il suffit qu’une infinité de termes deviennent infiniment grands, mais qu’une autre infinité de termes restent petits : \(\left( {{u_n}} \right)\) définie par \({u_{2n}} = n\) et \({u_{2n + 1}} = 0\).
  2. Ne pas penser qu’une suite qui tend vers \( + \infty \) est nécessairement majorée.
    Il suffit de donner à \({U_n}\) des valeurs qui « grandissent » mais de ne pas les ranger dans l’ordre croissant. \(\left( {{u_n}} \right)\) définie par \({u_{2n}} = {3^{2n + 2}}\) et \({u_{2n + 1}} = {3^{2n + 1}}\).

2°) Théorème de convergence monotone.

Théorème :

  1. Si \(\left( {{u_n}} \right)\) est une suite croissante et majorée alors \(\left( {{u_n}} \right)\) est convergente,
  2. Si \(\left( {{u_n}} \right)\) est une suite décroissante et minorée alors\(\left( {{u_n}} \right)\) est convergente.

Démonstration : Soit \(\left( {{u_n}} \right)\) une suite croissante et majorée par un réel \(m\) ; alors il existe un majorant \(A\) plus petit que tous les autres majorants.
Soit \(\alpha > 0\), tout intervalle de la forme \(\left] {A – \alpha ;A + \alpha } \right[\) contient au moins un terme \({u_p}\) de la suite.
(S’il n’en contient pas, tous les \({u_n}\) sont à gauche de \(A – \alpha \) donc \(A – \alpha \) est un majorant de \(\left( {{u_n}} \right)\) ce qui est exclu car \(A\) est le plus petit d’entre eux).
Comme \(\left( {{u_n}} \right)\) est croissante et que tous les \({u_n}\) sont inférieurs à \(A\), alors à partir d’un certain rang \(p\), tous les termes de la suite sont dans \(\left] {A – \alpha ;A + \alpha } \right[\), ce qui est vrai \(\forall \alpha \in \mathbb{R}_ + ^*\), donc pour tout intervalle centré en \(A\), donc la suite est convergente de limite \(A\).

Exemple : Le nombre d’Erdös (mathématicien Hongrois du 20ème siècle).
On pose \({u_1} = 0,2\), \({u_2} = 0,23\), \({u_3} = 0,235\), \({u_4} = 0.2357\), \({u_5} = 0,235711\) etc, en juxtaposant les n nombres premiers.
\(\left( {{u_n}} \right)\) est une suite croissante et majorée par 1 donc est convergente.

VI- SUITES ADJACENTES.

1°) Un exemple : les approximations décimales de \(\pi \).

Soit \(n \ge 1\), on désigne respectivement par \({d_n}\) et \({e_n}\) les approximations à \(n\) décimales du nombre \(\pi \), respectivement par défaut et par excès.
Comme \(\pi \approx 3,141{\rm{ }}592{\rm{ }}653{\rm{ }}5 \cdots \), on a :

Mettre le tableau

  1. La suite \({\left( {{d_n}} \right)_{n \in {\mathbb{N}^*}}}\) est croissante,
  2. La suite \({\left( {{e_n}} \right)_{n \in {\mathbb{N}^*}}}\) est décroissante,
  3. Pour \(n \in {\mathbb{N}^*}\), \({e_n} – {d_n} = {10^{ – n}}\) donc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{e_n} – {d_n}} \right) = 0\)

On a \(\pi \in \left[ {{d_n};{e_n}} \right]\) ceci \(\forall n \in \mathbb{N}\) on dit que ces suites \({\left( {{e_n}} \right)_{n \in I{N^*}}}\) et \({\left( {{d_n}} \right)_{n \in I{N^*}}}\) sont adjacentes et convergent vers \(\pi \).

2°) Aspect théorique.

Définition :  On dit que deux suites \(\left( {{u_n}} \right)\) et \(\left( {{v_n}} \right)\) sont adjacentes lorsque :

  1. la suite \(\left( {{u_n}} \right)\) est croissante,
  2. la suite \(\left( {{v_n}} \right)\) est décroissante,
  3. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} – {v_n}} \right) = 0\).

Remarques :

  • Cette notion permet d’encadre finement une grandeur L par des grandeurs connues. Au départ : \({u_0} \le L \le {v_0}\), à l’étape suivante \({u_0} \le {u_1} \le L \le {v_1} \le {v_0}\) et ainsi de suite.
  • L’écart entre deux termes de même rang est de plus en plus petit.
    On notera que les segments \(\left[ {{u_i};{v_i}} \right]\) pour \(i \in \left[ {1;n} \right]\) sont emboîtés.

Exemple : Les suites définies par \({u_n} = – \frac{1}{n}\) et \({v_n} = \frac{1}{n}\) sont adjacentes.

Théorème : Si deux suites \(\left( {{u_n}} \right)\) et \(\left( {{v_n}} \right)\) sont adjacentes alors :

  1. Elles sont toutes deux convergentes,
  2. Elles ont même limite.

Démonstration :

Lemme : montrons que sous les hypothèses du théorème, \(\forall n \in \mathbb{N}\) :\({u_n} \le {v_n}\).
Comme \(\left( {{u_n}} \right)\) est croissante, \(\forall n \in \mathbb{N}\) :\({u_{n + 1}} – {u_n} \ge 0\),
Comme \(\left( {{v_n}} \right)\) est décroissante, \(\forall n \in \mathbb{N}\) : \({v_{n + 1}} – {v_n} \le 0\).
Donc \(\left( {{v_{n + 1}} – {u_{n + 1}}} \right) – \left( {{v_n} – {u_n}} \right) = \left( {{v_{n + 1}} – {v_n}} \right) – \left( {{u_{n + 1}} – {u_n}} \right) \le 0\), ce qui prouve que la suite \({\left( {{v_n} – {u_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}\) est décroissante. Mais par ailleurs, comme ces suites sont adjacentes, elles vérifient \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} – {v_n}} \right) = 0\).
On conclut que la suite \({\left( {{v_n} – {u_n}} \right)_{n \in IN}}\) est décroissante de limite nulle donc \(\forall n \in \mathbb{N}\) :\({u_n} \le {v_n}\).

Pour le théorème :
Soit \(\left( {{u_n}} \right)\) et \(\left( {{v_n}} \right)\) deux suites adjacentes.
Comme \(\left( {{u_n}} \right)\) est croissante, d’après le lemme, \(\forall n \in \mathbb{N}\) : \({u_n} \le {v_0}\) donc la suite \(\left( {{u_n}} \right)\) est majorée par \({v_0}\) ce qui en fait une suite convergente. Notons \(l\) sa limite.
Comme \(\left( {{v_n}} \right)\) est décroissante, d’après le lemme, \(\forall n \in \mathbb{N}\) : \({u_0} \le {v_n}\) donc la suite \(\left( {{u_n}} \right)\) est minorée par \({u_0}\) ce qui en fait une suite convergente. Notons /(l’/) sa limite.
Comme \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} – {v_n}} \right) = 0\), on a \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} – {v_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} – \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = l – l’\)=0 \( \Leftrightarrow l = l’\).
Exercice Deux suites d’approximation de e.

La méthode qui suit a été imaginée par Leonhard D’Euler 1707-1783) qui prouva ainsi l’irrationalité de e.
Un siècle plus tard, en 1873, Charles Hermite montra que e est transcendant, c’est à dire qu’il n’est racine d’aucun polynôme à coefficients entiers.

Partie A : Etude de deux suites.
On considère les deux suites \(\left( {{u_n}} \right)\) et \(\left( {{v_n}} \right)\) définies pour tout entier naturel \(n\) non nul par,
\({u_n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{1}{{k{\rm{ }}!}}} \) et \({v_n} = {u_n} + \frac{1}{{n \times n{\rm{ }}!}}\).
1°) Vérifier que \({u_1} = 2\), \({v_1} = 3\)puis calculer \({u_2}\), \({u_3}\), \({v_2}\)et \({v_3}\).
2°) Etudier la monotonie des suites \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in {\mathbb{N}^*}}}\)et \({\left( {{v_n}} \right)_{n \in {\mathbb{N}^*}}}\).
3°) Calculer \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{n \cdot n{\rm{ }}!}}\) puis, en déduire que les suites \({\left( {{u_n}} \right)_{n \in {\mathbb{N}^*}}}\)et \({\left( {{v_n}} \right)_{n \in {\mathbb{N}^*}}}\)sont adjacentes.
4°) On note \(l\) leur limite commune. Déterminer un encadrement de \(l\) d’amplitude inférieure à \({10^{ – 3}}\). Peut-on conjecturer la valeur exacte de \(l\).

Partie B : Calcul exact de l.
Soit \(n\) un entier naturel non nul fixé. On pose, pour \(x \in \left[ {0;1} \right]\) :
\(f\left( x \right) = \left( {1 + \frac{x}{{1{\rm{ }}!}} + \frac{{{x^2}}}{{2{\rm{ }}!}} + \cdots + \frac{{{x^n}}}{{n{\rm{ }}!}}} \right) \times {e^{ – x}}\).
1°)
a- Calculer \(f\left( 0 \right)\)et vérifier que \(f\left( 1 \right) = {u_n} \times {e^{ – 1}}\).
b- Montrer que f est dérivable sur \(\left[ {0;1} \right]\) et que, pour tout réel \(x \in \left[ {0;1} \right]\), \(f’\left( x \right) = – \frac{{{x^n}}}{{n{\rm{ }}!}} \times {e^{ – x}}\). En déduire que \({u_n} \le e\).
2°) On pose, pour \(x \in \left[ {0;1} \right]\), \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + \frac{x}{{n{\rm{ }}!}}\).
a- Calculer \(g’\left( x \right)\)et montrer que g est croissante sur \(\left[ {0;1} \right]\).
b- En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, \(e – \frac{e}{{n{\rm{ }}!}} \le {u_n}\).
3°) Déduire de des questions 1°) et 2°) la valeur exacte de \(l\).

Partie C : Irrationalité du nombre e.
On suppose que le nombre e est rationnel c’est à dire, qu’il existe deux entiers naturels p et q avec q non nul premiers entre eux tels que \(e = \frac{p}{q}\).
1°) Justifier l’encadrement \({u_q} < \frac{p}{q} < {v_q}\). En déduire que, l’entier \(N = p \times q{\rm{ }}!{\rm{ }} – q \times q{\rm{ }}!{\rm{ }} \times {u_q}\)vérifie \(0 < N < 1\). 2°) Conclure que e est un nombre irrationnel.

Partie A : Etude de deux suites.

1°) On a \({u_1} = \sum\limits_{k = 0}^1 {\frac{1}{{k{\rm{ }}!}}} = 1 + \frac{1}{{1!}} = 2\) et \({v_1} = {u_1} + \frac{1}{{1 \times 1{\rm{ }}!}} = 2 + 1 = 3\). \({u_2} = \sum\limits_{k = 0}^2 {\frac{1}{{k{\rm{ }}!}}} = {u_1} + \frac{1}{{2{\rm{ }}!}} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\). \({u_3} = \sum\limits_{k = 0}^3 {\frac{1}{{k{\rm{ }}!}}} = {u_2} + \frac{1}{{3{\rm{ }}!}} = \frac{5}{2} + \frac{1}{6} = \frac{8}{3}\). \({v_2} = {u_2} + \frac{1}{{2 \times 2{\rm{ }}!}} = \frac{5}{2} + \frac{1}{4} = \frac{{11}}{4}\). \({v_3} = {u_3} + \frac{1}{{3 \times 3{\rm{ }}!}} = \frac{8}{3} + \frac{1}{{18}} = \frac{{49}}{{18}}\).
2°) i- Monotonie de la suite \(\left( {{u_n}} \right)\). Soit \(n \in {\mathbb{N}^*}\), \({u_{n + 1}} – {u_n} = \sum\limits_{k = 0}^{n + 1} {\frac{1}{{k!}} – \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{1}{{k!}}} = \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)!}} > 0} \) donc la suite \(\left( {{u_n}} \right)\) est strictement croissante.

ii- Monotonie de la suite \(\left( {{v_n}} \right)\).
Soit\(n \in {\mathbb{N}^*}\), \({v_{n + 1}} – {v_n} = \left[ {{u_{n + 1}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right) \cdot \left( {n + 1} \right)!}}} \right] – \left[ {{u_n} + \frac{1}{{n \cdot n!}}} \right] = \left( {{u_{n + 1}} – {u_n}} \right) + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right) \cdot \left( {n + 1} \right)!}} – \frac{1}{{n \cdot n!}}\)
= \(\frac{1}{{\left( {n + 1} \right)!}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right) \cdot \left( {n + 1} \right)!}} – \frac{1}{{n \cdot n!}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) + 1 – {{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\left( {n + 1} \right) \cdot \left( {n + 1} \right)!}} = – \frac{{{n^2} + n – 1}}{{\left( {n + 1} \right) \cdot \left( {n + 1} \right)}}\).
Ce qui prouve que la suite \(\left( {{v_n}} \right)\) est décroissante.

3°) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0\)et \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{n{\rm{ }}!}} = 0\). D’après le théorème sur le produit des limites, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{n \cdot n{\rm{ }}!}} = 0\).
Par ailleurs,\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), on a \({v_n} – {u_n} = \frac{1}{{n \cdot n!}}\) et \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{n \cdot n!}} = 0\)  \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{v_n} – {u_n}} \right) = 0\).
On en déduit que les suites \(\left( {{u_n}} \right)\) et \(\left( {{v_n}} \right)\) sont adjacentes et donc convergentes de même limite.

4°) Soit \(l\) la limite commune de ces deux suites. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a \({u_n} < l < {v_n}\).
L’amplitude de cet encadrement est alors \({v_n} – {u_n} = \frac{1}{{n \cdot n!}}\).
Pour que \(\frac{1}{{n \cdot n{\rm{ }}!}} < {10^{ – 3}}\)il suffit que \(n \cdot n{\rm{ }}! > {10^3}\), soit \(n \ge 6\).
Donc, \({u_6} < l < {v_6}\) soit 2,718<l<2,719.
Si on connaît \(e \approx 2,71828\), on conjecture que \[l = e\] .

Remarque : Comme ces deux suites sont à termes strictement positifs, on en déduit que cette limite est elle aussi strictement positives. On montre qu’il s’agit du nombre e.

Partie C : Irrationalité du nombre e.
Supposons que e est rationnel. Il existe alors deux entiers naturels non nuls p et q premiers entre eux tels que \(e = \frac{p}{q}\).
1°) Puisque d’après Partie A, pour tout entier naturel n non nul, \({u_n} < l < {v_n}\), en posant n=q, on obtient \({u_q} < \frac{p}{q} < {v_q}\).
En multipliant les deux membres de la double inégalité par \(q \times q{\rm{ }}!\), il vient \(q \times q{\rm{ }}!{\rm{ }} \times {u_q} < p \times q{\rm{ }}! < {v_q} \times q \times q{\rm{ !}}\). Mais, \({v_q} = {u_q} + \frac{1}{{q \times q{\rm{ }}!}}\)donc \(q \times q{\rm{ ! }} \times {v_q} = q \times q{\rm{ ! }} \times {u_q} + 1\) d’où,
\(q \times q{\rm{ }}!{\rm{ }} \times {u_q} < p \times q{\rm{ }}! < q \times q{\rm{ ! }} \times {u_q} + 1\).
De plus, \(p \times q{\rm{ !}}\)est un entier et \(q \times q{\rm{ }}!{\rm{ }} \times {u_q}\)aussi car :
\(q \times q{\rm{ }}!{\rm{ }} \times {u_q}\)=\(q \times q{\rm{ }}!{\rm{ }} \times \)\(\sum\limits_{k = 0}^q {\frac{1}{{k{\rm{ }}!}}} \)=\(q \times q{\rm{ }}!{\rm{ }} \times \left( {1 + \frac{1}{{1{\rm{ }}!}} + \frac{1}{{2{\rm{ }}!}} + \cdots + \frac{1}{{q{\rm{ }}!}}} \right)\)
= \(q \times (q{\rm{ !}} + \frac{{q{\rm{ }}!}}{1} + \frac{{q \times \left( {q – 1} \right) \times \cdots 2 \times 1}}{{2{\rm{ }}!}} + \frac{{q \times \left( {q – 1} \right) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1}}{{3{\rm{ }}!}}\)
+\( \cdots + \)\(\frac{{q \times \left( {q – 1} \right) \times \cdots 2 \times 1}}{{\left( {q – 1} \right){\rm{ }}!}} + \frac{{q \times \left( {q – 1} \right) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1}}{{q{\rm{ }}!}}\))
donc \(N = p \times q{\rm{ }}!{\rm{ }} – q \times q{\rm{ ! }} \times {u_q}\)est différence de deux entiers donc est un entier (naturel).
La double inégalité \(q \times q{\rm{ }}!{\rm{ }} \times {u_q} < p \times q{\rm{ }}! < q \times q{\rm{ ! }} \times {u_q} + 1\) s’écrit alors \(0 < p \times q{\rm{ }}!{\rm{ }} – q \times q{\rm{ }}! \times {u_q} < 1\) c’est à dire \(0 < N < 1\)avec \(n\) entier naturel, ce qui est absurde, d’où /(e/) est irrationnel.