15 – Produit scalaire dans l’espace

PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE (/!\EN COURS)

I – PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN : RAPPELS

1°) Les quatre expressions du produit scalaire

Définition et théorème : Dans le plan, une unité de longueur étant choisie, le produit scalaire des vecteurs \(\overrightarrow u \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) tous deux non nuls est le réel noté \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to  \) défini par :

  1. Si \(\mathop {v’}\limits^ \to \) est le projeté orthogonal du vecteur \(\mathop v\limits^ \to  \) sur le vecteur \(\mathop u\limits^ \to  \) : \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = \mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop {v’}\limits^ \to  \)..
  2. \(\mathop u\limits^ \to \cdot \mathop v\limits^ \to   = \left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\| \times \left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\| \times \cos \left( {\mathop u\limits^ \to  ;\mathop v\limits^ \to  } \right)\)
  3. \(\mathop u\limits^ \to \cdot \mathop v\limits^ \to   = \frac{1}{2}\left( {{{\left\| {\mathop u\limits^ \to   + \mathop v\limits^ \to  } \right\|}^2} – {{\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|}^2} – {{\left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\|}^2}} \right)\)
  4. Si dans un repère orthonormal \(\mathop u\limits^ \to  \left( {x;y} \right)\) et \(\mathop v\limits^ \to  \left( {x’;y’} \right)\) : \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = xx’ + yy’\)

Remarque 1 : Le i) est la définition exacte du produit scalaire dans et est illustrée par la figure ci-contre.
Elle s’utilise surtout pour les démonstrations et dans les exercices de géométrie pure où longueurs, angles et coordonnées ne sont pas connues.
Les trois autres se démontrent à partir de i).

Remarque 2 :

  • Si l’un des vecteurs \(\mathop u\limits^ \to \) ou \(\mathop v\limits^ \to  \) est le vecteur nul alors\(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = 0\). Toutefois la réciproque n’est pas forcément vraie si les deux vecteurs ne sont pas le vecteur nul.
  • Dans le cas où\(\mathop u\limits^ \to \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) ne sont pas des représentants du vecteur nul, on a : \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = 0\) si et seulement si \(\mathop u\limits^ \to  \) est orthogonal à \(\mathop v\limits^ \to  \).

Propriétés :  Pour tous vecteurs \(\mathop u\limits^ \to  \), \(\mathop v\limits^ \to  \) et \(\mathop w\limits^ \to  \) :

i-                    \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop u\limits^ \to   = \mathop {{u^2}}\limits^ \to  \)=\({\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|^2}\). \(\mathop u\limits^ \to  {{\rm{ }}^2}\) est appelé le carré scalaire de \(\mathop u\limits^ \to  \) et donc \(\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\| = \sqrt {\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop u\limits^ \to  } \).
ii-                  \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = \mathop v\limits^ \to   \cdot \mathop u\limits^ \to  \) ; le produit scalaire est commutatif.
iii-                Pour tout réel a, \(\left( {\alpha  \times \mathop u\limits^ \to  } \right) \cdot \mathop v\limits^ \to   = \alpha  \times \left( {\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to  } \right)\)
iv-                \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \left( {\mathop v\limits^ \to   + \mathop w\limits^ \to  } \right) = \mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   + \mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop w\limits^ \to  \).
v-                  \({\left\| {\mathop u\limits^ \to   + \mathop v\limits^ \to  } \right\|^2} = {\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|^2} + 2\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   + {\left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\|^2}\) et \({\left\| {\mathop u\limits^ \to   – \mathop v\limits^ \to  } \right\|^2} = {\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|^2} – 2\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   + {\left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\|^2}\)
vi-                \(\left( {\mathop u\limits^ \to   + \mathop v\limits^ \to  } \right) \cdot \left( {\mathop u\limits^ \to   – \mathop v\limits^ \to  } \right) = {\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|^2} – {\left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\|^2}\)

Démonstration : Montrons la propriété v.
Soit \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \)deux vecteurs. On a : \({\left\| {\mathop u\limits^ \to   + \mathop v\limits^ \to  } \right\|^2} = \left( {\mathop u\limits^ \to   + \mathop v\limits^ \to  } \right) \cdot \left( {\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop { + v}\limits^ \to  } \right) = \mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop u\limits^ \to   + \mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   + \mathop v\limits^ \to   \cdot \mathop u\limits^ \to   + \mathop v\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = {\mathop u\limits^ \to  ^{{\rm{ }}2}} + 2\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   + {\mathop v\limits^ \to  ^{{\rm{ }}2}}\)
\( = {\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|^2} + 2\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   + {\left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\|^2}\)
La deuxième relation se démontrant de la même façon.

Montrons vi.
Soit \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \)deux vecteurs. On a :
\(\left( {\mathop u\limits^ \to   + \mathop v\limits^ \to  } \right) \cdot \left( {\mathop u\limits^ \to   – \mathop v\limits^ \to  } \right) = \mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop u\limits^ \to   – \mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   + \mathop v\limits^ \to   \cdot \mathop u\limits^ \to   – \mathop v\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = {\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|^2} – {\left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\|^2}\).

Applications : Savoir retrouver les formules d’Al Kashi, le théorème de la médiane (c.f. cours de première).
Soit A et B deux points distincts du plan, pour tout point M du plan, si on pose \(\mathop u\limits^ \to   = \overrightarrow {MA} \) et \(\mathop v\limits^ \to   = \overrightarrow {MB} \), on obtient le théorème suivant :

Théorème de la médiane : Soit A et B deux points distincts du plan et I le milieu de \(\left( {AB} \right)\) ; alors pour tout point M du plan, on a :

i-                    \(\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MB}  = M{I^2} – \frac{{A{B^2}}}{4}\),
ii-                  \(\),
iii-                \(M{A^2} – M{B^2} = 2{\rm{ }}\overrightarrow {IM}  \cdot \overrightarrow {AB} \).


Démonstration :
 
Soit A et B deux points distincts du plan.
Remarquons d’abord que comme I est le milieu de \(\left( {AB} \right)\), on a \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \) et que \(IA = IB = \frac{{AB}}{2}\). Pour tout point M du plan :

  1. \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB}  = \left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right) = {\overrightarrow {MI} ^2} + \overrightarrow {MI}  \cdot \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \overrightarrow {IA}  \cdot \overrightarrow {IB} \)
    =\({\overrightarrow {MI} ^2} + \overrightarrow {MI}  \cdot \overrightarrow 0  + \left( { – \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right) = M{I^2} – \frac{{A{B^2}}}{4}\).
    ii et  iii) \(M{A^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {IA}  – \overrightarrow {IM} } \right)^2} = {\overrightarrow {IA} ^2} – 2\overrightarrow {IA}  \cdot \overrightarrow {IM}  + {\overrightarrow {IM} ^2}\)\( = \frac{{A{B^2}}}{4} – 2\overrightarrow {IA}  \cdot \overrightarrow {IM}  + I{M^2}\)
    \(M{B^2} = {\overrightarrow {MB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {IB}  – \overrightarrow {IM} } \right)^2}\)\( = {\overrightarrow {IB} ^2} – 2\overrightarrow {IB}  \cdot \overrightarrow {IM}  + {\overrightarrow {IM} ^2}\)\( = \frac{{A{B^2}}}{4} – 2\overrightarrow {IB}  \cdot \overrightarrow {IM}  + I{M^2}\)
    Par addition, on a \(M{A^2} + M{B^2} = 2 \times \frac{{A{B^2}}}{4} – 2\overrightarrow {IM}  \cdot \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) + 2I{M^2}\)=\(2M{I^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}\)
    Par soustraction,   \(M{A^2} – M{B^2} = 2\overrightarrow {IM}  \cdot \left( {\overrightarrow {IB}  – \overrightarrow {IA} } \right) = 2\overrightarrow {IM}  \cdot \overrightarrow {AB} \).

Théorème  formules d’Al Kashi :           Soit ABC un triangle quelconque non aplati. En notant \(AB = c\), \(BC = a\) et \(CA = b\), on a :

i-                    \({a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos \hat A\),

ii-                  \({b^2} = {a^2} + {c^2} – 2ac\cos \hat B\),

iii-                \({c^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab\cos \hat C\).

Démonstration : \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {AB} \) d’où
\({\overrightarrow {BC} ^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {AB} ^2} – 2\overline {AC}  \cdot \overrightarrow {AB} \cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)\)
= \(A{C^2} + A{B^2} – 2\left\| {\overrightarrow {AB} } \right\|\left\| {\overrightarrow {AC} } \right\|\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)\)
=\({b^2} + {c^2} – 2bc\cos \hat A\).
Les deux autres formules se déduisent par permutation circulaire sur les lettres a, b et c.

Remarque : Ces relations sont à connaître par cœur ainsi que leur démonstration.

2°) Orthogonalité et distance.

Théorème : Pour tous vecteurs \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \).
\(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = 0\) si et seulement si \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) sont orthogonaux.
Si le plan est muni d’un repère othonormal \(\left( {O;\mathop i\limits^ \to  ;\mathop j\limits^ \to  } \right)\) avec \(\mathop u\limits^ \to  \left( {x;y} \right)\) et \(\mathop v\limits^ \to  \left( {x’;y’} \right)\), \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) sont orthogonaux si et seulement si \(xx’ + yy’ = 0\). 

Démonstration de ii) : \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = \left( {x\mathop i\limits^ \to   + y\mathop j\limits^ \to  } \right) \cdot \left( {x’\mathop i\limits^ \to   + y\mathop j\limits^ \to  } \right) = xx'{\mathop i\limits^ \to  ^2} + 2\left( {xy’ + x’y} \right)\mathop i\limits^ \to   \cdot \mathop j\limits^ \to   + yy'{\mathop j\limits^ \to  ^2}\).
Mais, \({\mathop i\limits^ \to  ^2} = {\mathop j\limits^ \to  ^2} = 1\) et \(\mathop i\limits^ \to   \cdot \mathop j\limits^ \to   = 0\) donc \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = xx’ + yy’\) et d’après i) \(xx’ + yy’ = 0\).

Remarque : Soit \(\mathop u\limits^ \to  \), \(\mathop v\limits^ \to  \) et \(\mathop w\limits^ \to  \) trois vecteurs tels que : \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = \mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop w\limits^ \to  \). Cela entraîne t-il \(\mathop v\limits^ \to   = \mathop w\limits^ \to  \) ? NON !
\(\left( {\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = \mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop w\limits^ \to  } \right) \Leftrightarrow \left( {\mathop u\limits^ \to   \cdot \left( {\mathop v\limits^ \to   – \mathop w\limits^ \to  } \right) = 0} \right) \Leftrightarrow \left( {\mathop u\limits^ \to   \bot \left( {\mathop v\limits^ \to   – \mathop w\limits^ \to  } \right)} \right)\)

3°) Distance d’un point à une droite.

Proposition : Dans un repère orthonormal, la distance du point \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) à la droite (D) d’équation cartésienne \(ax + by + c = 0\)où \(\left( {a,b,c} \right) \in I{R^3}\)avec\(\left( {a;b} \right) \ne \left( {0,0} \right)\) est \(d\left( {A,D} \right) = \frac{{\left| {a{x_A} + b{x_A} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^b}} }}\).

Démonstration : La droite (D) d’équation cartésienne \(ax + by + c = 0\) admet le vecteur \(\mathop n\limits^ \to  \left( {a;b} \right)\) pour vecteur normal avec \(\left( {a;b} \right) \ne \left( {0;0} \right)\).
Soit \(A’\left( {{x_{A’}};{y_{A’}}} \right)\) le projeté orthogonal de A sur (D) ; la distance cherchée est AA’. Comme les vecteurs \(\overrightarrow {AA’} \) et \(\mathop n\limits^ \to  \) sont colinéaires, on a :
\(\left| {\overrightarrow {AA’}  \cdot \mathop n\limits^ \to  } \right| = \left\| {\overrightarrow {AA’} } \right\| \times \left\| {\mathop n\limits^ \to  } \right\| = AA’ \times \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
De plus, \(\overrightarrow {AA’} \left( {{x_{A’}} – {x_A};{y_{A’}} – {y_A}} \right)\) d’où \(\left| {\overrightarrow {AA’}  \cdot \mathop n\limits^ \to  } \right| = \left| {a\left( {{x_{A’}} – {x_A}} \right) + b\left( {{y_{A’}} – {y_A}} \right)} \right|\)
= \(\left| {a{x_{A’}} + b{y_{A’}} – \left( {a{x_A} + b{y_A}} \right)} \right|\), mais A’Î(D)
= \(\left| { – \left( {a{x_A} + b{y_A} + c} \right)} \right|\)
= \(\left| {a{x_A} + b{y_A} + c} \right|\)
ce qui donne \(AA’ \times \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \)\(\left| {a{x_A} + b{y_A} + c} \right|\) soit \(AA’ = \frac{{\left| {a{x_A} + b{y_A} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Exercice : Soit ABC un triangle rectangle en A. M est le milieu de (BC) et H le pied de la hauteur issue de A. H se projette en K sur (AB) et en L sur (AC).
Démontrer que les droites (AM) et (KL) sont perpendiculaires.

Il s’agit de prouver que \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {KL}  = 0\).
Comme M est le milieu de (BC), on a : \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\) d’où
\(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {KL}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {KL}  + \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {KL} } \right)\)
Or \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {KL}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {KA}  = \underbrace {\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {KH} }_0 + \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {HA} \)
\(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {KL}  = \overrightarrow {AC}  \cdot \left( {\overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {AL} } \right) = \underbrace {\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {KA} }_0 + \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AL}  = \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AH} \)
d’où \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {KL}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AH} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AH}  = 0\)

II- Produit scalaire dans l’espace

1°) La définition du produit scalaire dans l’espace

Définition : Dans l’espace, une unité de longueur étant choisie, le produit scalaire des vecteurs \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) est le réel défini par : \(\mathop u\limits^ \to   \bullet \mathop v\limits^ \to   = \frac{1}{2}\left( {{{\left\| {\mathop u\limits^ \to   + \mathop v\limits^ \to  } \right\|}^2} – {{\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|}^2} – {{\left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\|}^2}} \right)\).

Remarque : Les expressions du produit scalaire établies dans le plan, restent valables dans n’importe quel plan de l’espace.

 Exercice : ABCD est un tétraèdre régulier d’arête a (chaque face est un triangle équilatéral de côté a).
Calculer les expressions \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD} \) et \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD} \).

Mettre en jeu I – 1°) ii) de la définition – théorème.
D’après la relation de Chasles, \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD} \)Par définition, \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = AB \times AC \times \cos B\hat AC = {a^2}\cos \frac{\pi }{3} = \frac{{{a^2}}}{2}\). De même, \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = \frac{{{a^2}}}{2}\).
\(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  =  – \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = 0\) ce qui montre que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

2°) Expression analytique du produit scalaire.

Théorème : Si dans un repère orthonormal \(\left( {O;\mathop i\limits^ \to  ,\mathop j\limits^ \to  ,\mathop k\limits^ \to  } \right)\) de l’espace les vecteurs \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) ont pour coordonnées respectives \(\) et \(\left( {x’,y’,z’} \right)\) alors \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = xx’ + yy’ + zz’\).

Démonstration : \({\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|^2} = \mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop u\limits^ \to   = {x^2} + {y^2} + {z^2}\) et \({\left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\|^2} = \mathop v\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = {x’^2} + {y’^2} + {z’^2}\). De plus,
\({\left\| {\mathop u\limits^ \to   + \mathop v\limits^ \to  } \right\|^2} = {\left( {x + x’} \right)^2} + {\left( {y + y’} \right)^2} + {\left( {z + z’} \right)^2}\)\( = {x^2} + {y^2} + {z^2} + \)\({x’^2} + {y’^2} + {z’^2} + 2xx’ + 2yy’ + 2zz’\)
Or \(\mathop u\limits^ \to   \bullet \mathop v\limits^ \to   = \frac{1}{2}\left( {{{\left\| {\mathop u\limits^ \to   + \mathop v\limits^ \to  } \right\|}^2} – {{\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|}^2} – {{\left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\|}^2}} \right)\) d’où …\(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = xx’ + yy’ + zz’\).

3°) Règles de calculs.

Elles sont les mêmes que dans le plan.

Exercice : On considère dans un repère orthonormal \(\left( {O;\mathop i\limits^ \to  ,\mathop j\limits^ \to  ,\mathop k\limits^ \to  } \right)\) de l’espace les points \(A\left( {1,0,0} \right)\), \(B\left( {0,1,0} \right)\), \(C\left( {0,0,1} \right)\), \(D\left( {0,2,0} \right)\) et \(E\left( {1,1,1} \right)\). Soit M le milieu du segment [AB].
Calculer \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {AE}  \cdot \overrightarrow {AD} \) et \(\overrightarrow {OE}  \cdot \overrightarrow {CM} \). Que déduire du dernier résultat ?
Déterminer l’angle \(B\hat AC\).

On a :  \(\overrightarrow {AB} \left( { – 1;1;0} \right)\) et \(\overrightarrow {AC} \left( { – 1;0;1} \right)\) d’où \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 1 + 0 + 0 = 1\).
\(\overrightarrow {AE} \left( {0;1;1} \right)\) et \(\overrightarrow {AD} \left( { – 1;2;0} \right)\) d’où \(\overrightarrow {AE}  \cdot \overrightarrow {AD}  = 0 + 2 + 0 = 2\).
Le point M a pour coordonnées \(\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};0} \right)\), ainsi \(\overrightarrow {OE} \left( {1;1;1} \right)\) et \(\overrightarrow {CM} \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};1} \right)\) ce qui donne \(\overrightarrow {OE}  \cdot \overrightarrow {CM}  = 0\). On en déduit que les droites (OE) et (CM) sont orthogonales.
Par définition du produit scalaire, \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = AB \times AC \times \cos B\hat AC\) d’où \(\cos B\hat AC = \frac{1}{{\sqrt 2  \times \sqrt 2 }} = \frac{1}{2}\) et donc \(B\hat AC = \frac{\pi }{3}\).

 

III- Orthogonalité dans l’espace

1°) Vecteurs orthogonaux.

Définition : On dit que deux vecteurs non nuls \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) de l’espace sont orthogonaux si pour \(\mathop u\limits^ \to   = \overrightarrow {AB} \) et \(\mathop v\limits^ \to   = \overrightarrow {CD} \), les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

Théorème : Pour tous vecteurs \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) distincts du vecteur nul de l’espace.
\(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = 0\) si et seulement si \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) sont orthogonaux.
Si l’espace est muni d’un repère othonormal \(\left( {O;\mathop i\limits^ \to  ;\mathop j\limits^ \to  ,\mathop k\limits^ \to  } \right)\) avec \(\mathop u\limits^ \to  \left( {x;y;z} \right)\) et \(\mathop v\limits^ \to  \left( {x’;y’;z’} \right)\),
\(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) sont orthogonaux si et seulement si \(xx’ + yy’ + zz’ = 0\).

2°) Vecteur normal à un plan.

Définition : Dans l’espace
Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Un vecteur non nul de l’espace est orthogonal à un plan si sa direction est celle d’une droite orthogonale à un plan.

 

Proposition :   Définir un plan par un point du plan et un vecteur normal à ce plan.
Soit D une droite de l’espace et A un point de D.
Le plan P perpendiculaire en A à la droite (D) est l’ensemble des points M de l’espace tel que la droite (AM) est perpendiculaire à ; L’équation du plan P est alors définie par \(\overrightarrow {AM}  \cdot \mathop n\limits^ \to   = 0\).

Théorème : Soit \(\mathop n\limits^ \to  \) un vecteur non nul et A un point de l’espace.

  1.  Le plan qui passe par A et de vecteur normal \(\mathop n\limits^ \to  \) est l’ensemble des points M de l’espace tel que \(\overrightarrow {AM}  \cdot \mathop n\limits^ \to   = 0\).
  2.  Si \(\) avec \(\left( {a,b,c} \right) \in I{R^3}\) et \(\left( {a,b,c} \right) \ne \left( {0,0,0} \right)\), une équation de (P) est \(ax + by + cz = d\) avec \(d \in IR\).
  3.  Réciproquement, l’ensemble des points \(M\left( {x;y;z} \right)\) de l’espace tels que \(ax + by + cz = d\) avec \(\left( {a,b,c,d} \right) \in I{R^4}\) et \(\left( {a,b,c} \right) \ne \left( {0,0,0} \right)\) est le plan de vecteur normal \(\).


Exemple
 :     Déterminer une équation cartésienne d’un plan.

Dans un RON \(\left( {O;\mathop i\limits^ \to  ;\mathop j\limits^ \to  ,\mathop k\limits^ \to  } \right)\), on donne \(A\left( {0;1; – 1} \right)\), \(B\left( {2;1; – 2} \right)\) et \(C\left( {1;0; – 2} \right)\).
1°) Démontrer que ces trois points forment un plan.
2°) Déterminer un vecteur \(\mathop n\limits^ \to  \) normal au plan (ABC).
3°) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

1°) Les vecteurs\(\overrightarrow {AB} \left( {2;0; – 1} \right)\) et \(\overrightarrow {AC} \left( {1; – 1; – 1} \right)\) ne sont pas colinéaires donc les points ABC ne sont pas alignés donc déterminent un plan.

2°) On cherche un vecteur \(\mathop n\limits^ \to  \left( {x;y;z} \right)\) avec \(\mathop n\limits^ \to   \ne \mathop 0\limits^ \to  \) donc \(\left( {x;y;z} \right) \in I{R^3} – \left\{ {\left( {0;0;0} \right)} \right\}\) tel que \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AM}  \cdot \mathop n\limits^ \to   = 0}\\{\overrightarrow {AC}  \cdot \mathop n\limits^ \to   = 0}\end{array}} \right.\) ce qui équivaut à \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x – z = 0}\\{x – y – z = 0}\end{array}} \right.\) qui est un système de deux équations à trois inconnues. On choisit alors une inconnue arbitraire, par exemple x, et on exprime les deux autres inconnues en fonctions de x (qui est un réel quelconque non nul) ce qui donne :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 2x}\\{y =  – x}\\{x \in IR}\end{array}} \right.\).            En prenant x=1, un vecteur normal au plan (ABC) est \(\left( {1; – 1;2} \right)\).

3°) Une équation cartésienne du plan (ABC) est \(ax + by + cz = d\) soit \(x – y + 2z + d = 0\). Or le point A est dans ce plan donc ses coordonnées vérifient l’équation ce qui donne d=3.

Exemple 2 :      Orthogonalité de deux droites
Soit (D) une droite contenu dans un plan (P). Un point A extérieur à (P) se projette orthogonalement en B sur (P) et B se projette orthogonalement en C sur (D).
Démontrer que les droites (AC) et (D) sont perpendiculaires.

Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
Soit \(\mathop u\limits^ \to  \) un vecteur directeur de (D) et montrons que \(\overrightarrow {AC}  \cdot \mathop u\limits^ \to   = 0\).
Le vecteur \(\) se projette sur (P) en \(\) donc \(\overrightarrow {AC}  \cdot \mathop u\limits^ \to   = \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow u  = 0\) d’où (AC) orthogonale à (D).
Or les droites (D) et (AC) contiennent toutes deux le point C donc elles sont perpendiculaires.

Ou bien : \(\overrightarrow {AC}  \cdot \mathop u\limits^ \to   = \left( {\overline {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right) \cdot \mathop u\limits^ \to   = \overrightarrow {AB}  \cdot \mathop u\limits^ \to   + \overrightarrow {BC}  \cdot \mathop u\limits^ \to  \).
Or, \(\left( {AB} \right) \bot P\) et \(D \subset P\) donc \(\overrightarrow {AB}  \cdot \mathop u\limits^ \to   = 0\). De plus, \(\left( {BC} \right) \bot \mathop u\limits^ \to  \)donc\(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow u  = 0\) d’où\(\overrightarrow {AC}  \cdot \mathop u\limits^ \to   = 0\).

3°) Inéquation caractérisant un demi-espace.

Définition : Soient A et B deux points distincts de l’espace. On appelle plan médiateur du segment (AB) l’ensemble des points M de l’espace tels que \(MA = MB\).

Soit P un plan et A, B deux points distincts de l’espace tels que (P) soit le plan médiateur du segment (AB). Ce plan partage l’espace en deux demi-espace :

  • l’un est l’ensemble des points M tels que \(MA \le MB\)
  • l’autre l’ensemble des points M tels que \(MA \ge MB\).

 

Définition : L’ensemble des points M(x;y;z) de l’espace tels que \(ax + by + cz + d \ge 0\) est un demi-espace délimité par le plan (P) d’équation \(ax + by + cz + d = 0\), appelé frontière, qui est comprise. L’autre demi-espace est caractérisé par \(ax + by + cz + d \le 0\).

Exercice : Dans un repère orthonormal \(\left( {O;\mathop i\limits^ \to  ,\mathop j\limits^ \to  ,\mathop k\limits^ \to  } \right)\), on donne \(A\left( {1;1;1} \right)\) et \(B\left( {3; – 1; – 3} \right)\).

  • Déterminer une équation du plan médiateur P du segment (AB).
  • Déterminer l’inéquation du demi-espace de frontière P et contenant le point B, frontière comprise.

Indication : Utiliser le milieu I du segment (AB) et le vecteur \(\overrightarrow {AB} \) qui est un vecteur normal au plan (P).

  1. Soit \(I\left( {2;0; – 1} \right)\) le milieu du segment (AB) et \(\overrightarrow {AB} \left( {2; – 2; – 4} \right)\) un vecteur normal au plan (P).Une équation du plan médiateur de (AB) est \(2x – 2y – 4z + d = 0\). Comme le point I appartient à ce plan, ses coordonnées vérifient l’équation du plan (P) ce qui donne \(d = – 8\). D’où (P) : \(x – y – 2z – 4 = 0\).
  2. Le plan (P) partage l’espace en deux demi-espace tels que, l’un vérifie \(x – y – 2z – 4 \ge 0\) et l’autre \(x – y – 2z – 4 \le 0\). Comme le point B est dans l’un des deux demi-espace, ses coordonnées doivent satisfaire l’une des deux inéquations. Or, \(1 \times 3 – 1 \times \left( { – 1} \right) – 2 \times \left( { – 3} \right) – 4 = 6 \ge 0\), le demi espace cherché à pour inéquation \(x – y – 2z – 4 \ge 0\).

4°) Equation cartésienne d’une sphère.

Définition : La sphère de centre W et de rayon r est l’ensemble des points M de l’espace vérifiant WM=r.

Propriétés : Dans un repère orthonormal \(\left( {O;\mathop i\limits^ \to  ,\mathop j\limits^ \to  ,\mathop k\limits^ \to  } \right)\), une équation cartésienne de la sphère de centre \(\Omega \left( {\alpha ,\beta ,\gamma } \right)\) et de rayon r est l’ensemble des points \(M\left( {x;y;z} \right)\) tels que :
\({\left( {x – \alpha } \right)^2} + {\left( {y – \beta } \right)^2} + {\left( {z – \gamma } \right)^2} = {r^2}\).
La sphère de rayon (AB) est l’ensemble des points M vérifiant \(\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MB}  = 0\).

Complément à l’orthogonalité dans l’espace

1°) Orthogonalité de deux droites

Définition : Deux droites de l’espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point quelconque sont perpendiculaires.

Deux vecteurs nuls \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) sont orthogonaux si et seulement si \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = 0\).
Deux droites de vecteurs directeurs\(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \)sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

2°) Droites et plans perpendiculaires

Définition : Une droite est perpendiculaire à un plan si celle ci est perpendiculaire à deux droites sécantes appartenant à ce plan.
Autrement dit, une droite de vecteur directeur\(\mathop u\limits^ \to  \)est perpendiculaire à un plan si \(\mathop u\limits^ \to  \)est orthogonal à deux vecteurs\(\mathop v\limits^ \to  \)et\(\mathop w\limits^ \to  \)non colinéaires de ce plan.
C’est-à-dire \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = 0}\\{\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop w\limits^ \to   = 0}\end{array}} \right.\)

3°) Plans perpendiculaires et plans parallèles.

Proposition :

Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux respectifs sont orthogonaux. Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux respectifs sont colinéaires.