10 – Probabilités

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I Le vocabulaire de base.

1°) Expérience aléatoire.

Lancer une pièce de monnaie et observer le côté exposé de la pièce est une expérience dont on ne peut prévoir le résultat parmi deux éventualités (ou issues) possibles. Une telle expérience est dite aléatoire. Elle comporte deux issues possibles : pile ou face. (Ou plus selon le point de vue adopté)
De même, tirer un jeton d’une urne contenant 100 jetons numérotés 00, 01, 02, …, 99 et observer le nombre obtenu est une expérience aléatoire comportant cent issues.

Définitions :

  1. On appelle expérience aléatoire, une expérience où seul le hasard intervient.
  2. On appelle issues ou éventualités, les différents résultats d’une expérience aléatoire.
  3. On appelle univers, et on note \(\Omega \) l’ensemble constitué de toutes les issues possibles.
  4. Si \(\Omega \) est un ensemble fini, on note \(Card\left( \Omega  \right)\) le nombre d’éléments de \(\Omega \).

Exemple 1 :   

  • On lance un dé et on regarde la face obtenue \(\Omega  = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\).
  • On lance une pièce de monnaie \(\Omega  = \left\{ {P;F} \right\}\).
  • On lance deux pièces de monnaie \(\Omega  = \left\{ {PP;PF;FP;FF} \right\}\).
  • Une urne contient 3 boules rouges, 2 boules bleues et 1 jaune.

L’expérience aléatoire consiste à tirer une boule de l’urne. Il y’a 3 issues possibles : « tirer une boule rouge », « tirer une boule bleue » ou bien « tirer une boule jaune ». L’ensemble \(\Omega \) est constitué des 6 éventualités \(\Omega  = \left\{ {R;R;R;B;B;J} \right\}\).

2°) Evénements associés à une expérience aléatoire.

Définition :

  1.  d’un événement. On appelle événement de \(\Omega \) tout sous-ensemble de \(\Omega \) dont les éléments sont liés à une propriété. On dit aussi qu’un événement est une partie de \(\Omega \).
  2. d’un événement élémentaire. On appelle événement élémentaire un événement constitué d’une seule éventualité (ou d’une seule issue).

Remarque : Comprenons bien qu’avec le langage des ensembles, un événement est un sous-ensemble de \(\Omega \) constitué d’éléments de \(\Omega \). En français, un événement se note entre guillemets : « obtenir une boule rouge ».

Exemple 2 : Dans le lancer du dé, l’univers \(\Omega \) est constitué de six issues possibles ; \(\Omega \)={1,2,3,4,5,6}.

  • « obtenir un nombre pair » est un événement de \(\Omega \). Il est constitué des trois éventualités, « obtenir 2 », ou « obtenir 4 » ou « obtenir 6 ». On peut noter cet événement \(A = \left\{ {2;4;6} \right\}\) ; on a alors \(Card\left( A \right) = 3\).
  • « Obtenir un multiple de trois » est un événement de \(\Omega \). Il est constitué des deux issues possibles « obtenir 3 » ou « obtenir 6 ». On peut le noter \(B = \left\{ {3;6} \right\}\) ; on a alors \(Card\left( B \right) = 2\).
  • « Obtenir un multiple de 3 plus petit que 2 » est un événement de \(\Omega \), dit événement impossible. L’événement impossible est noté, comme pour les ensembles, \(\emptyset \). Etant donné qu’il n’y a aucun élément dans l’ensemble vide, on a \(Card\left( \emptyset  \right) = 0\).

Exemple 3 :

  • Dans le lancer d’une pièce de monnaie ; l’expérience aléatoire consiste à lancer une fois une pièce de monnaie. Il y’a deux événements élémentaires « obtenir pile » ou bien « obtenir face ».
  • Dans le lancer du dé, « obtenir un multiple de 3 plus grand que 4 » est un événement élémentaire qui est « obtenir 6 ».
  • Toujours dans le lancer du dé, « obtenir 2 » est un événement élémentaire.
  • Dans un jeu de 32 cartes, l’univers \(\Omega \) est constitué des 32 issues possibles :

\(\Omega \)={7©,8©,9©,10©,V©,D©,R©,7¨,8¨,¼,V¨,D¨,R¨,7ª,8ª,¼,Rª,7§,8§,¼,R§}

L’événement « obtenir un valet », événement que l’on peut appeler C, est : C={V©,V¨,Vª,V§}. C n’est pas un événement élémentaire car il est constitué de quatre issues possibles de l’univers \(\Omega \).

Remarque. Il y’a autant d’événements élémentaires différents que d’issues dans l’univers \(\Omega \).
Pour la pièce de monnaie, \(\Omega  = \left\{ {P;F} \right\}\) les deux événements élémentaires sont P c’est-à-dire « obtenir Pile » et F c’est-à-dire « obtenir face ».

3°) Vocabulaire particulier.

Définition :  Soit \(\Omega \) l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire et soit A et B deux événements de \(\Omega \).

  1. On appelle événement \(A \cap B\) l’événement constitué de toutes les issues qui sont dans à la fois dans A et dans B c’est à dire telles que A et B sont réalisés simultanément.
  2. On appelle événement \(A \cup B\) l’événement constitué de toutes les issues qui sont dans l’un au moins des événements A ou B c’est-à-dire telles que l’au au moins des événements A ou B est réalisé.
  3. Deux événements sont dits incompatibles s’ils ne peuvent être réalisés simultanément, c’est à dire \(A \cap B\)=\(\emptyset \).
  4. L’événement contraire de l’événement A, noté \(\overline A \), est constitué de toutes les issues qui ne sont pas dans A. On a \(A \cap \overline A  = \emptyset \) et \(A \cup \overline A  = \)\(\Omega \).

Exemple 4 : Dans un jeu de 32 cartes, l’univers \(\Omega \) est constitué des 32 issues possibles :
\(\Omega \)={7©,8©,9©,10©,V©,D©,R©,7¨,8¨,¼,V¨,D¨,R¨,ª,8ª,¼,Rª,7§,8§,¼,R§}.
Appelons A l’événement « obtenir un valet », B l’événement « tirer une carte noire » et C l’événement « tirer une figure ».

  • L’événement \(A \cap B\) est l’événement « tirer un valet de couleur noire » c’est à dire \(A \cap B\)={Vª,V§}.
  • L’événement \(B \cup C\) est l’événement « tirer une figure ou une carte de couleur noire » ainsi,\(B \cup C = \){V©,D©,R©,V¨,D¨,R¨,7ª,8ª,9ª,10ª,Vª,Dª,Rª,7§,8§,9§,10§,V§,D§,R§}.
  • L’événement « ne pas tirer une figure » est l’événement contraire de l’événement C c’est à dire \(\overline C \). On a alors : \(\overline C  = \){7©,8©,9©,10©,7¨,8¨,9¨,10¨,,7ª,8ª,9ª,10ª,7§,8§,9§,10§}.

Le vocabulaire des probabilités est en fait celui des ensembles, mais les noms changent.

Au lieu de Langage des probabilités Notation
A est une partie (sous-ensemble) de \(\Omega \) A est un événement de \(\Omega \) AÌ\(\Omega \)
A est l’ensemble vide A est l’événement impossible A=\(\emptyset \)
A est égal à \(\Omega \) A est l’événement certain A=\(\Omega \)
C est la réunion de A et de B C est l’événement A ou B C=\(A \cup B\)
C est l’intersection de A et de B C est l’événement A et B C=\(A \cap B\)
A et B sont disjoints A et B sont incompatibles \(A \cap B\)=\(\emptyset \)
A et B sont complémentaires A et B sont contraires B=\(\overline A \)

 

Quelques règles utiles sur les événements : lois de Morgan :

Soit A, B et C trois événements (ou sous-ensembles) de \(\Omega \).

  • \(\overline \Omega   = \emptyset \) et \(\overline \emptyset   = E\)
  • \(\overline {\overline A }  = \overline {\left( {\overline A } \right)}  = A\)
  • \(A \cup A = A\) et \(A \cap A = A\) (idempotence de la réunion et de l’intersection)
  • \(A \cup \Omega  = \Omega \) et \(A \cap \Omega  = A\)
  • \(A \cup \emptyset  = A\) et \(A \cap \emptyset  = \emptyset \)
  • \(A \cup B = B \cup A\) et \(A \cap B = B \cap A\)  [commutativité des lois \( \cup \) et \( \cap \) ]
  • \(A \subset \left( {A \cup B} \right)\)et\(B \subset \left( {A \cup B} \right)\) ; \(\left( {A \cap B} \right) \subset A\) et \(\left( {A \cap B} \right) \subset B\) donc bien sur \(\left( {A \cap B} \right) \subset \left( {A \cup B} \right)\),
  • \(\overline {\left( {A \cap B} \right)}  = \overline A  \cup \overline B \) et \(\overline {\left( {A \cup B} \right)}  = \overline A  \cap \overline B \)
  • \(\left( {A \subset B} \right) \Leftrightarrow \left( {\overline B  \subset \overline A } \right)\)      [Attention à celle-là !]
  • \(\left( {A \cup B} \right) \cup C = A \cup \left( {B \cup C} \right) = A \cup B \cup C\)   [Associativité de la réunion]
  • \(\left( {A \cap B} \right) \cap C = A \cap \left( {B \cap C} \right) = A \cap B \cap C\)     [Associativité de l’intersection]
  • \(A \cup \left( {B \cap C} \right) = \left( {A \cup B} \right) \cap \left( {A \cup C} \right)\)          [Distributivité de la réunion sur l’intersection]
  • \(A \cap \left( {B \cup C} \right) = \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A \cap C} \right)\)           [Distributivité de l’intersection sur la réunion]
  • Si \(\left( {A \subset B} \right)\) alors pour tout sous-ensemble C  de \(\Omega \),
  • \(\left[ {\left( {A \cup C} \right) \subset \left( {B \cup C} \right)} \right]\)et \(\left[ {\left( {A \cap C} \right) \subset \left( {B \cap C} \right)} \right]\)
  • Si \(\left[ {\left( {C \subset A} \right){\rm{ et }}\left( {C \subset B} \right)} \right]\) alors\(\left[ {C \subset \left( {A \cap B} \right)} \right]\)
  • Si \(\left[ {\left( {A \subset C} \right){\rm{ et }}\left( {B \subset C} \right)} \right]\) alors\(\left[ {\left( {A \cup B} \right) \subset C} \right]\).

II Notion de probabilité.

1°) Loi de probabilité.

Définition. Soit \(\Omega  = \left\{ {{x_1};{x_2}; \cdots ;{x_n}} \right\}\) un ensemble fini de cardinal \(n\) où \(n \in {\mathbb{N}^ * }\). On appelle loi de probabilité, une application notée \(IP\) définie sur l’ensemble \(\Omega \) et à valeurs dans \(\left[ {0;1} \right]\) telle que : \(IP:\begin{array}{*{20}{c}}\Omega & \to &{\left[ {0;1} \right]}\\{\left\{ {{x_i}} \right\}}& \mapsto &{IP\left( {\left\{ {{x_i}} \right\}} \right) = {p_i}}\end{array}\) vérifiant :

  1. Pour tout entier naturel \(i\) tel que \(1 \le i \le n\), \({p_i} \ge 0\),
  2. \(\sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}}  = 1\).

\(IP:\begin{array}{*{20}{c}}{\Omega  \to }&{\left[ {0;1} \right]}\\{{x_i} \to }&{IP\left( {{x_i}} \right) = {p_i}}\end{array}\)La première chose à noter, c’est qu’une probabilité est une application définie sur un espace de départ qui est l’univers \(\Omega \) et est à valeurs dans l’intervalle \(\left[ {0;1} \right]\).
La deuxième c’est qu’une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 donc attention à vos résultats.
Par ailleurs, sur un plan pratique on donne toujours la probabilité sous la forme d’une fraction irréductible ou arrondi avec une précision indiquée par l’énoncé.

Exemple 5 :

  • Lors du lancer d’une pièce de monnaie équilibrée, chaque face a la même probabilité de \(\frac{1}{2}\) d’apparaître, ainsi : \(IP\left( {Pile} \right) = \frac{1}{2} = IP\left( {Face} \right)\).
  • Lors du tirage d’une carte parmi les 32 cartes d’un jeu, chaque carte a la même probabilité de \(\frac{1}{{32}}\) d’être tirée.
  • En gardant l’exemple d’un jeu de 32 cartes, on a vu dans l’exemple I 3°) que l’événement A « obtenir un valet » était \(A = \){V©,V¨,Vª,V§}.

\(IP\left( A \right) = IP\)({V©})\( + IP\)({V¨}\( + IP\)({Vª})\( + IP\)({V§})\( = \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{32}} = \frac{4}{{32}} = \frac{1}{8}\)

La probabilité d’obtenir un valet est, sous forme irréductible, de \(\frac{1}{8}\).

  • On s’intéresse à la somme des numéros obtenus lors du lancer de deux dés tétraédriques (dé à quatre faces)

On peut dresser un tableau où, dans la première ligne et première colonne figureront les résultats donnés par chacun des deux dés.

Les nombres en gras sont la somme des deux numéros affichés par les deux dés.

1er

2ème

1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8

 

xi 2 3 4 5 6 7 8
pi 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16

Exemple 6 : Si on reprend l’exemple 1, la loi de probabilité est :

Issue xi R B J
Probabilité pi \(\frac{3}{6}\) \(\frac{2}{6}\) \(\frac{1}{6}\)

Remarque : Désormais, pour l’univers des issues possibles, on notera \(\Omega \) ou \(\Omega  = \left\{ {{x_1};{x_2}; \cdots ;{x_n}} \right\}\) et on notera la loi de probabilité \(IP = \left( {{p_1};{p_2}; \cdots ;{p_n}} \right)\).

De l’exemple 5, on peut déduire le théorème suivant :

Théorème sur la probabilité d’un événement : Soit \(\Omega \) un univers de cardinal fini \(n \in {\mathbb{N}^*}\). La probabilité d’un événement A de \(\Omega \) est la somme des probabilités des événements élémentaires qui composent A.

2°) Notion d’équiprobabilité.

Définition de l’équiprobabilité ou d’une loi équirépartie : On dit qu’il y’a équiprobabilité sur l’ensemble \(\Omega \) si et seulement si, tous les événements élémentaires ont la même probabilité. Ce que certains formulent aussi : On dit que la loi de probabilité \(IP = \left( {{p_1};{p_2}; \cdots ;{p_n}} \right)\) est équirépartie sur \(\Omega  = \left\{ {{x_1};{x_2}; \cdots ;{x_n}} \right\}\) si et seulement si \({p_1} = {p_2} =  \cdots  = {p_n}\).

Remarque : Dans la pratique, on sait que la loi est équirépartie, si l’énoncé précise, un dé non truqué, une pièce parfaitement équilibré, des boules indiscernables au toucher, un jeu de cartes bien battues, etc..

Théorème : Soit \(\Omega  = \left\{ {{x_1};{x_2}; \cdots ;{x_n}} \right\}\)un univers de cardinal fini n, avec \(n \in {\mathbb{N}^ * }\). Si la loi de probabilité IP est équirépartie sur \(\Omega \) alors, pour tout entier naturel i tel que \(1 \le i \le n\) :
\(IP\left( {\left\{ {{x_i}} \right\}} \right) = \frac{1}{{card\left( \Omega  \right)}} = \frac{1}{n}\).

Démonstration : Soit \(n \in {\mathbb{N}^ * }\)et \(\Omega  = \left\{ {{x_1};{x_2}; \cdots ;{x_n}} \right\}\) l’univers des issues possibles et \(IP = \left( {{p_1};{p_2}; \cdots ;{p_n}} \right)\) une loi de probabilité sur \(\Omega \),            \(IP\left( {\left\{ {{x_1}} \right\}} \right) = {p_1}\), \(IP\left( {\left\{ {{x_2}} \right\}} \right) = {p_2}\), …, \(IP\left( {\left\{ {{x_n}} \right\}} \right) = {p_n}\). Or comme \(\Omega \) est muni de la loi équirépartie, on a d’après la définition : \({p_1} = {p_2} =  \cdots  = {p_n}\). De plus, d’après la définition d’une probabilité \({p_1} + {p_2} +  \cdots  + {p_n} = 1\), Ce qui donne \(n \times {p_1} = 1 \Leftrightarrow {p_1} = \frac{1}{n}\).

Exemple 7 : On lance une pièce parfaitement équilibrée (donc on est en situation d’équiprobabilité). L’univers \(\Omega \) est \(\Omega \)={P ;F}. La loi de probabilité est \(IP = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

3°) Probabilité d’un événement.

Soit \(\Omega \) l’univers des issus possibles d’une expérience aléatoire de cardinal n avec \(n \in {\mathbb{N}^ * }\).
\(\emptyset \) est un événement de \(\Omega \) qui ne contient aucun élément d’où \(Card\left( \emptyset  \right) = 0\) et donc \(IP\left( \emptyset  \right) = 0\).
\(\Omega \) est aussi un événement de \(\Omega \) qui contient tous les éléments de \(\Omega \) d’où \(Card\left( \Omega  \right) = n\) et donc \(IP\left( \Omega  \right) = \underbrace {\frac{1}{n} + \frac{1}{n} +  \cdots  + \frac{1}{n}}_{n{\rm{ }}fois} = \frac{n}{n} = 1\). \(\Omega \) est un événement de \(\Omega \) appelé événement certain.

Exemple 8 : On lance un dé non pipé à six faces.

  • L’univers \(\Omega \), constitué des résultats possibles, est \(\Omega \)={1;2;3;4;5;6} comme le dé est non pipé, chaque issue de \(\Omega \) a la même probabilité de \(\frac{1}{6}\) de sortir on est donc en situation d’équiprobabilité.
  • « sortir un nombre supérieur ou égal à 4 » est un événement de \(\Omega \), c’est à dire un sous-ensemble A de \(\Omega \) : A={4;5;6}. A est réalisé, lorsque l’une des issues {4}, {5} ou {6} est réalisée ainsi \(IP\left( A \right) = IP\left( {\left\{ 4 \right\}} \right) + IP\left\{ {\left\{ 5 \right\}} \right\} + IP\left\{ {\left( 6 \right)} \right\} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2}\)
  • « obtenir un multiple de 2 et de 3 » est un événement de \(\Omega \), mais il est dit élémentaire car il consiste à « tirer le 6 ». Si on note B cet événement, \(IP\left( B \right) = IP\left( {\left\{ 6 \right\}} \right) = \frac{1}{6}\).
  • « Obtenir un multiple de 5 inférieur à 3 » est un événement impossible.

Théorème : loi de Laplace dit théorème d’équiprobabilité : Soit \(\Omega \) l’univers des issues possibles avec \(\Omega  \ne \emptyset \) et \(P\) une probabilité sur \(\Omega \). Si on est dans une situation d’équiprobabilité alors pour tout événement A de \(\Omega \), \(IP\left( A \right) = \frac{{{\rm{ nombre de cas favorables \`a  la r\’e alisation de }}A}}{{{\rm{nombre de cas possibles}}}} = \frac{{Card\left( A \right)}}{{Card\left( \Omega  \right)}}\).

Démonstration : Soit \(n \in {\mathbb{N}^ * }\)et considérons l’univers \(\Omega \)={\({x_1};{x_2}; \cdots ;{x_n}\)}. Puisque l’on est dans une situation d’équiprobabilité, on a \(IP\left( {\left\{ {{x_1}} \right\}} \right) = IP\left( {\left\{ {{x_2}} \right\}} \right) =  \cdots  = IP\left( {\left\{ {{x_n}} \right\}} \right)\).
Par ailleurs, D’après la définition d’une probabilité (cf. ii), on a :
\(IP\left( {\left\{ {{x_1}} \right\}} \right) + IP\left( {\left\{ {{x_2}} \right\}} \right) +  \cdots  + IP\left( {\left\{ {{x_n}} \right\}} \right) = 1\) ce qui donne pour \(1 \le i \le n\) : \(n \times IP\left( {\left\{ {{x_i}} \right\}} \right) = 1\)Û \(IP\left( {\left\{ {{x_i}} \right\}} \right) = \frac{1}{n}\).
Comme \(A \subset \Omega \), si A contient m événements élémentaires, avec \(m \le n\), la probabilité de l’événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent d’où \(IP\left( A \right) = \underbrace {\frac{1}{n} + \frac{1}{n} +  \cdots  + \frac{1}{n}}_{m{\rm{ fois}}} = \frac{m}{n}\) ce qui donne bien \(IP\left( A \right) = \frac{{Card\left( A \right)}}{{Card\left( \Omega  \right)}}\).

Exemple 9 : Quelle est la probabilité de tiret un valet dans un jeu de 32 cartes bien battues ?
L’univers \(\Omega \) est constitué de l’ensemble des 32 cartes du jeu d’où \(Card\left( \Omega  \right) = 32\). Soit A l’événement « tirer un valet », on a :  A={V§, V¨, V©, Vª} d’où \(Card\left( A \right) = 4\). Comme on est dans une situation d’équiprobabilité, puisque le jeu de carte est bien battu, on a \(IP\left( A \right) = \frac{4}{{32}} = \frac{1}{8}\).
Notons que cette probabilité est la même que de tirer un paquet constitué de 4 cartes identiques (de même hauteur) parmi 8 paquets : 1 paquet contenant les 4 as, 1 paquet contenant les 4 rois etc.. ce qui constitue 8 paquets de 4 cartes. On prélève alors 1 paquet (celui des valets) parmi les 8 paquets.

Exemple 10 : Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : deux blanches et trois noires. On tire au hasard une boule et on note sa couleur.

  • Cas 1 : Si on prend pour univers \(\Omega \)\( = \left\{ {{B_1};{B_2};{N_1};{N_2};{N_3}} \right\}\) chaque événement élémentaire a une probabilité de \(\frac{1}{5}\).
  • Cas 2 : Si on prend pour univers \(\Omega = \left\{ {B;N} \right\}\) les événements élémentaires ne sont plus équiprobables : \(IP\left( B \right) = \frac{2}{5}\) et \(IP\left( N \right) = \frac{3}{5}\).

Exercice 11 : On lance deux pièces de monnaie (numérotées 1 et 2) et on note le résultat obtenu. Quelle est la probabilité de l’événement : « obtenir Pile et Face ».

  • cas 1 : on distingue les pièces. On peut schématiser cela par un arbre :

L’univers \(\Omega \) est constitué de toutes les issues possibles c’est à dire \(\Omega \)={PP ;PF ;FP ;FF} avec \(Card\left( \Omega  \right) = 4\).
L’événement A est constitué des 2 issues \(A = \left\{ {PF;FP} \right\}\) avec \(Card\left( A \right) = 2\).
Chacune des issues étant équiprobables (on distingue les pièces), on a \(IP\left( A \right) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

  • cas 2 : on ne distingue pas les pièces.

 

Issues PP PF FP FF
Probabilité \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{4}\)

Les issues observables sont PP ; FP et FF avec \(IP\left( {\left\{ {FP} \right\}} \right) = \frac{1}{2}\).

  • Même question avec 3 pièces. \(IP\left( {FPF} \right) = \frac{3}{{{2^3}}}\).

4°) Règles de calcul sur les probabilités d’événements particuliers.

Théorème : Soit \(\Omega \) l’univers des issues possibles avec \(\Omega  \ne \emptyset \) et IP une loi de probabilité sur \(\Omega \).

  1. Si A et B sont deux événements incompatibles de \(\Omega \) (c’est à dire \(A \cap B\)=\(\emptyset \), la probabilité de l’événement « A ou B » est la somme des probabilités de A et de B. \(\left( {A \cap B = \emptyset } \right) \Rightarrow \left[ {IP\left( {A \cup B} \right) = IP\left( A \right) + IP\left( B \right)} \right]\).
  2. Si A et B sont deux événements de \(\Omega \) alors\(IP\left( {A \cup B} \right) = IP\left( A \right) + IP\left( B \right) – IP\left( {A \cap B} \right)\).
  3. Si A est un événement de \(\Omega \) d’événement contraire \(\overline A \) alors \(IP\left( {\overline A } \right) = 1 – IP\left( A \right)\).

Démonstration : Soit \(\Omega \) l’univers des issues possibles avec \(\Omega  \ne \emptyset \) muni d’une loi de probabilité \(IP\).

  • Démonstration de i) \(IP\left( A \right)\) est la somme des probabilités des éléments de A et \(IP\left( B \right)\) la somme des probabilités des éléments de B. Comme A et B sont disjoints, \(A \cup B\) contient exactement tous les éléments de A et de B donc \(IP\left( A \right) + IP\left( B \right)\) est la somme des probabilités de tous les éléments de \(A \cup B\) c’est à dire \(IP\left( {A \cup B} \right)\).
  • Démonstration de ii). Dans le calcul de \(IP\left( A \right) + IP\left( B \right)\), les pi correspondent aux éventualités xi de \(A \cap B\) apparaissant deux fois. Pour obtenir \(IP\left( {A \cup B} \right)\), il faut donc retrancher chacun d’entre eux une fois, ce qui revient à retrancher \(IP\left( {A \cap B} \right)\) à \(IP\left( A \right) + IP\left( B \right)\) une fois.

Remarque : Dans le cas où A et B sont disjoints, on retrouve que \(IP\left( {A \cup B} \right) = IP\left( A \right) + IP\left( B \right)\). En effet, comme \(A \CAP B\)=\(\emptyset \) et que \(IP\left( \emptyset  \right) = 0\), le résultat en découle.

  • Démonstration de iii) Puisque A et \(\overline A \) sont des événements contraires d’un univers \(\Omega \), on a : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A \cup \overline A  = \Omega }\\{A \cap \overline A  = \emptyset }\end{array}} \right.\) Û \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{IP\left( {A \cup \overline A } \right) = IP\left( \Omega  \right)}\\{IP\left( {A \cap \overline A } \right) = IP\left( \emptyset  \right)}\end{array}} \right.\). Or \(IP\left( {A \cup \overline A } \right) = IP\left( A \right) + IP\left( {\overline A } \right) – IP\left( {A \cap \overline A } \right)\), \(IP\left( \Omega  \right) = 1\) et \(IP\left( \emptyset  \right) = 0\) donc \(IP\left( A \right) + IP\left( {\overline A } \right) = 1 \Leftrightarrow \)\(IP\left( {\overline A } \right) = 1 – IP\left( A \right)\).

Exemple 11 : Dans un club, on propose entre autre, le tir à l’arc et le golf. Parmi les 50 adhérents, 30 pratiquent le tir à l’arc , 18 le golf et 6 les deux sports.
Quelle est la probabilité pour qu’un adhérent choisi au hasard :

  1. pratique le tir à l’arc ? Le golf ?
  2. pratique l’un au moins des deux sports ?
  3. ne pratique ni le tir à l’arc, ni le golf ?

L’expérience consiste à choisir un adhérent dans l’ensemble \(\Omega \) formé des 50 adhérents. Comme l’adhérent est choisi au hasard, on est donc dans une situation d’équiprobabilité donc, chaque adhérent a la même probabilité de \(\frac{1}{{50}}\)d’être choisi.

  1. Soit A l’événement : « l’adhérent pratique le tir à l’arc » et B l’événement : « l’adhérent pratique le golf ». On a \(IP\left( A \right) = \frac{{30}}{{50}} = \frac{3}{5}\) et \(IP\left( B \right) = \frac{{18}}{{50}} = \frac{9}{{25}}\).
  2. L’événement C: « pratiquer l’un au moins des deux sports » est l’événement \(C = A \cup B\). Or, \(IP\left( C \right) = IP\left( {A \cup B} \right) = IP\left( A \right) + IP\left( B \right) – IP\left( {A \cap B} \right)\), donc \(IP\left( {A \cap B} \right) = \frac{3}{5} + \frac{9}{{25}} – \frac{6}{{50}} = \frac{{15 + 9 – 3}}{{25}} = \frac{3}{{25}}\) d’où \(IP\left( C \right) = \frac{3}{{25}}\). La probabilité qu’un adhérent pratique l’un au moins des deux sports est \(\frac{3}{{25}}\).
  3. Soit D l’événement : « l’adhérent ne pratique ni le tir à l’arc, ni le golf » est l’événement \(\overline A \cap \overline B \) ; or \(\overline A  \cap \overline B  = \overline {A \cup B} \) qui est l’événement contraire de l’événement C. Sa probabilité est \(IP\left( {\overline C } \right) = 1 – IP\left( C \right) = 1 – \frac{{21}}{{25}} = \frac{4}{{25}}\).

Exercice 2 : On choisit au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Calculer la probabilité des événements suivants :
« tirer un as »
B « Tirer une carte rouge »
C « Tirer un as ou une carte rouge »
D « la carte n’est tirée n’est ni un as ni rouge ».
E « La carte n’est ni un valet ni un pic ».

Soit \(\Omega \) l’ensemble des 32 issues possibles. Comme chaque carte a la même probabilité d’être tirée, on est en situation d’équiprobabilité donc \(Card\left( \Omega  \right) = 32\).

A est l’ensemble des quatre as : A ={A§, A¨, A©, Aª} avec \(Card\left( A \right) = 4\) ; d’après la le théorème d’équiprobabilité \(IP\left( A \right) = \frac{{Card\left( A \right)}}{{Card\left( \Omega  \right)}} = \frac{4}{{32}} = \frac{1}{8}\). La probabilité de tirer l’un des quatre as dans un jeu de 32 cartes est \(\frac{1}{8}\).

B est l’ensemble constitué des 16 cartes rouges d’où \(Card\left( B \right) = 16\) ; d’après la le théorème d’équiprobabilité \(IP\left( B \right) = \frac{{Card\left( B \right)}}{{Card\left( \Omega  \right)}} = \frac{{16}}{{32}} = \frac{1}{2}\).

L’événement C est la réunion des deux-ensembles (non disjoints) \(A\) ou B c’est-à-dire C=\(A \CUP B\) donc \(IP\left( {A \cup B} \right) = IP\left( A \right) + IP\left( B \right) – IP\left( {A \cap B} \right)\) avec \(A \cap B = \){A©, A¨} ce qui donne \(IP\left( C \right) = \frac{1}{8} + \frac{1}{2} – \frac{2}{{32}} = \frac{9}{{16}}\).

D est l’événement contraire de l’événement C c’est-à-dire \(D = \overline C \) ; d’après la formule sur la probabilité des événements contraires, \(IP\left( D \right) = IP\left( {\overline C } \right) = 1 – IP\left( C \right) = 1 – \frac{9}{{16}} = \frac{7}{{16}}\).

Pour l’événement E, l’événement «la carte n’est ni un valet ni un pic » est l’événement contraire de l’événement\(A \cup B\)c’est-à-dire\(E = \overline {A \cup B} \) où A est « un valet », B « un pic ». Comme \(IP\left( A \right) = \frac{1}{8}\) et \(IP\left( B \right) = \frac{1}{4}\) et \(IP\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{32}}\) on a alors \(IP\left( {A \cup B} \right) = \frac{{11}}{{32}}\) et donc \(IP\left( C \right) = 1 – \frac{{11}}{{32}} = \frac{{21}}{{32}}\).

Exercice 3 : On lance deux fois de suite un dé équilibré.
1°) Représenter dans un tableau les 36 issues équiprobables.
2°) Calculer la probabilité des événements :

A : « on obtient un double » ;            B : « on obtient 2 numéros consécutifs »

C : « on obtient au moins un 6 » ;      D : « la somme des numéros dépasse 7 ».

L’expérience aléatoire consiste à lancer deux fois un dé à six faces. Donc l’univers \(\Omega \) est constitué des 36 couples possibles : \(\Omega  = \left\{ {\left( {1;1} \right),\left( {1;2} \right), \cdots ,\left( {1;6} \right),\left( {2,1} \right), \cdots ,\left( {2,6} \right),\left( {3;1} \right), \cdots ,\left( {3;6} \right),\left( {4,1} \right), \cdots ,\left( {4;6} \right),\left( {5,1} \right), \cdots ,\left( {5,6} \right),\left( {6,1} \right), \cdots ,\left( {6;6} \right)} \right\}\).
De façon plus formelle, on peut noter : \(\Omega  = \left\{ {\left( {i;j} \right)/i \in \left\{ {1, \cdots 6} \right\},{\rm{ }}j \in \left\{ {1, \cdots 6} \right\}} \right\}\) avec \(Card\left( \Omega  \right) = 36\). Comme le dé est équilibré, chaque couple a la même probabilité de \(\frac{1}{{36}}\)de sortir donc, on est en situation d’équiprobabilité.

1°) L’événement A est l’ensemble \(A = \left\{ {\left( {1;1} \right),\left( {2;2} \right),\left( {3;3} \right),\left( {4,4} \right),\left( {5,5} \right),\left( {6,6} \right)} \right\}\) ; ceux sont les éléments de la diagonale du tableau. De façon plus formelle \(A = \left\{ {\left( {i;j} \right)/i = j{\rm{ avec }}i \in \left\{ {1, \cdots 6} \right\},{\rm{ }}j \in \left\{ {1, \cdots 6} \right\}} \right\}\) ; on a alors \(Card\left( A \right) = 6\).
D’après la le théorème d’équiprobabilité \(IP\left( A \right) = \frac{{Card\left( A \right)}}{{Card\left( \Omega  \right)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\)
La probabilité d’obtenir un double est de \(\frac{1}{6}\).

2°) L’événement B est l’ensemble \(A = \left\{ {\left( {1;2} \right),\left( {2;3} \right),\left( {3;4} \right),\left( {4,5} \right),\left( {5,6} \right)} \right\}\) ; De façon plus formelle \(B = \left\{ {\left( {i;j} \right)/j = i + 1{\rm{ avec }}i \in \left\{ {1, \cdots 5} \right\},{\rm{ }}j \in \left\{ {2, \cdots 6} \right\}} \right\}\) ou encore \(B = \left\{ {\left( {i;i + 1} \right)/{\rm{avec }}i \in \left\{ {1, \cdots 5} \right\},} \right\}\) ; on a alors \(Card\left( B \right) = 5\).
D’après la le théorème d’équiprobabilité \(IP\left( B \right) = \frac{{Card\left( B \right)}}{{Card\left( \Omega  \right)}} = \frac{5}{{36}}\)
La probabilité d’obtenir deux numéros consécutifs est de \(\frac{5}{{36}}\).

3°) L’événement C est l’ensemble \(C = \left\{ {\left( {1;6} \right),\left( {2;6} \right),\left( {3;6} \right),\left( {4,6} \right),\left( {5,6} \right),\left( {6;6} \right),\left( {6;1} \right),\left( {6;2} \right),\left( {6,3} \right),\left( {6,4} \right),\left( {6;5} \right)} \right\}\) ; De façon plus formelle \(C = \left\{ {\left( {i;6} \right)/i \in \left\{ {1, \cdots 6} \right\}} \right\} \cup \left\{ {\left( {6;j} \right)/j \in \left\{ {1, \cdots 5} \right\}} \right\}\) ou encore \(B = \left\{ {\left( {i;i + 1} \right)/{\rm{avec }}i \in \left\{ {1, \cdots 5} \right\},} \right\}\) ; on a alors \(Card\left( C \right) = 11\).
D’après la le théorème d’équiprobabilité \(IP\left( C \right) = \frac{{Card\left( C \right)}}{{Card\left( \Omega  \right)}} = \frac{{11}}{{36}}\)
La probabilité d’obtenir au moins un six est de \(\frac{{11}}{{36}}\).

3°) L’événement D est l’ensemble
On peut lister les éléments de D ; De façon plus formelle \(D = \left\{ {\left( {i;j} \right)/i + j \ge 7{\rm{ avec }}i \in \left\{ {1, \cdots 6} \right\},j \in \left\{ {1, \cdots ,6} \right\}} \right\}\) on a alors \(Card\left( D \right) = 21\).
D’après la le théorème d’équiprobabilité \(IP\left( D \right) = \frac{{Card\left( D \right)}}{{Card\left( \Omega  \right)}} = \frac{{21}}{{36}} = \frac{7}{{12}}\)
La probabilité que la somme des deux chiffres dépasse 7  est de \(\frac{7}{{12}}\).

III Variables aléatoires.

1°) Une activité d’approche.

On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On gagne 2€ pour chaque résultat « pile » et on perd 1€ pour chaque « face ».

  • Ecrire l’ensemble \(\Omega \) de toutes les issues possibles ; on pourra s’aider d’un arbre.
  • Peut-on choisir l’équiprobabilité sur \(\Omega \)?

2- On convient de noter G le gain (algébrique) correspondant à chaque issue.

  • Quelles sont les valeurs possibles du gain (en euros) ? Combien de valeurs peut-il prendre ?
  • Soit E’ l’ ensemble des valeurs \({x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\) que peut prendre le gain. Ecrire E’.

3- Lorsque l’événement « obtenir 3 faces » sort, événement que l’on peut noter \(\left\{ {FFF} \right\}\), on perd alors 3 euros c’est à dire l’événement « perdre 3 euros » ce que l’on peut noter \(\left( {G =  – 3} \right)\).
Ainsi, obtenir l’événement \(\left\{ {FFF} \right\}\) revient à obtenir l’événement \(\left( {G =  – 3} \right)\).

  • Que représente l’événement \(\left( {G = 0} \right)\)? L’événement \(\left\{ {FPP,PFP,PPF} \right\}\) ? L’événement \(\left\{ {PPP} \right\}\) ?
  • Ecrire, sans faire de calcul, ce qu’est la probabilité de l’événement \(\left\{ {FFF} \right\}\); de l’événement \(\left( {G = 0} \right)\).
  • Calculer la probabilité de chacun des événements du 3 a.

4- On peut alors considérer sur le nouvel ensemble d’issues E’, une nouvelle loi de probabilité notée \(p’\). Compléter le tableau suivant.

Valeur du gain G :\({x_i}\) \({x_1} =  – 3\)
Probabilité :

\(p’\left( {{x_i}} \right) = p\left( {G = {x_i}} \right)\)

Cette loi de probabilité p’ est appelée « loi de la variable G ».

5°) Pensez-vous que G soit une « variable » au sens où on l’entend habituellement en mathématique ? Quelle formulation serait plus adaptée pour nommer G ?

Corrigé.

1°)

  • Ecrire l’ensemble \(\Omega \) de toutes les issues possibles ; on pourra s’aider d’un arbre.

L’ensemble \(\Omega \) de toutes les issues possibles est :

\(\Omega  = \left\{ {PPP;PPF;PFP,PFF;FPP:FPF;FFP;FFF} \right\}\) de cardinal \(Card\left( \Omega  \right) = {2^3} = 8\).

  • Peut-on choisir l’équiprobabilité sur \(\Omega \)?

Comme la bien est équilibrée, chaque issue a la même probabilité de \(\frac{1}{8}\)de sortir ; on est donc en situation d’équiprobabilité.

2°) On convient de noter G le gain correspondant à chaque issue.

  • Quelles sont les valeurs possibles du gain (en euros) ?
Issue Gain Issue Gain Issue Gain Issue Gain
PPP 6 PFP 3 FPP 3 FFP 0
PPF 3 PFF 0 FPF 0 FFF -3
  • Combien de valeurs peut-il prendre ?

D’après le tableau précédent, il peut prendre 4 valeurs.
Soit E’ l’ ensemble des valeurs \({x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\) que peut prendre le gain. Ecrire E’.
\(E’ = \left\{ { – 3;0;3;6} \right\}\)

3°) Lorsque l’événement « obtenir 3 faces » sort, événement que l’on peut noter \(\left\{ {FFF} \right\}\), on perd 3 euros c’est à dire l’événement « perdre 3 euros » peut se noter \(\left( {G =  – 3} \right)\).
Ainsi, obtenir l’événement \(\left\{ {FFF} \right\}\) revient à obtenir l’événement \(\left( {G =  – 3} \right)\).

  • Que représente l’événement \(\left( {G = 0} \right)\)? L’événement \(\left\{ {FPP,PFP,PPF} \right\}\) ? L’événement \(\left\{ {PPP} \right\}\) ?

L’événement (G=0) est l’événement \(\left\{ {PFF;FPF;FFP} \right\}\).
L’événement\(\left\{ {FPP,PFP,PPF} \right\}\) est l’événement (G=3).
L’événement\(\left\{ {PPP} \right\}\) est l’événement (G=6).

  • Ecrire, sans faire de calcul, ce qu’est la probabilité de l’événement \(\left\{ {FFF} \right\}\); de l’événement \(\left( {G = 0} \right)\).

\(IP\left( {\left\{ {FFF} \right\}} \right) = IP\left( {\left( {G = 6} \right)} \right)\) ; \(IP\left( {\left( {G = 0} \right)} \right) = IP\left( {\left\{ {PFF;FPF;FFP} \right\}} \right)\)

  • Calculer la probabilité de chacun des évènements du 3 a.

\(IP\left( {\left( {G = 0} \right)} \right) = \frac{3}{8}\) ; \(IP\left( {\left( {G = 3} \right)} \right) = \frac{3}{8}\) ;\(IP\left( {\left( {G = 6} \right)} \right) = \frac{1}{8}\)

4- On peut alors considérer sur le nouvel ensemble d’issues E’, une nouvelle loi de probabilité notée \(p’\). Compléter le tableau suivant.

Valeur du gain G :\({x_i}\) \({x_1} =  – 3\) \({x_2} = 0\) \({x_3} = 3\) \({x_4} = 6\)
Probabilité : \(p’\left( {{x_i}} \right) = p\left( {{x_i} = G} \right)\) \(\frac{1}{8}\) \(\frac{3}{8}\) \(\frac{3}{8}\) \(\frac{1}{8}\)

Cette loi de probabilité p’ est appelée « loi de la variable G ».

5°) Pensez-vous que G soit une « variable » au sens où on l’entend habituellement en mathématique ? Quel formulation serait plus adaptée pour nommer G ?
G est définie sur \(\Omega \) et est à valeurs dans\(E’ = G\left( \Omega  \right)\). Le terme de fonction est plus adapté.

2°) Notion de variables aléatoires (discrètes).

Définition.

  1. Une variable aléatoire réelle X est une application définie sur un ensemble \(\Omega \) muni d’une loi de probabilité IP, à valeurs dans \(\mathbb{R}\) . \(X\) prend les valeurs \({x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\) avec les probabilités \({p_1},{p_2}, \cdots ,{p_n}\) telles que \({p_i} = IP\left( {X = {x_i}} \right)\) ; on note : \(X:\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\Omega ;IP} \right)}& \to &{IR}\\{{w_i}}& \mapsto &{X\left( {{w_i}} \right) = {x_i}}\end{array}\) que l’on note \(X = {x_i}\) et on dit que X prend la valeur \({x_i}\) avec la probabilité \({p_i}\).
  2.  L’affectation des \({p_i}\) aux \({x_i}\), permet de définir une nouvelle loi de probabilité sur l’ensemble \(E’ = \left\{ {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right\}\). Cette loi est noté IP’ ou \(I{P_X}\) ou \(IP\left( {X = {x_i}} \right)\) et est appelée loi de la variable aléatoire \(X\) (en abrégé v.a. pour variable aléatoire).

Remarques :

  • Une v.a.r. \(X:\Omega \to IR\)est dite discrète si l’ensemble \(X\left( \Omega  \right)\) de ses valeurs prises est une partie finie de \(\mathbb{N}\)  ou une partie dénombrable (c’est à dire si \(X\left( \Omega  \right)\) peut être mis en bijection avec \(\mathbb{N}\))
  • Le cas des variables aléatoires réelles continues, en abrégé v.a.r.c.. existe, attendre le chapitre sur les lois de probabilités.

3°) Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire.

Définition.      Si on note \({p_i} = IP\left( {X = {x_i}} \right)\), on appelle :

  1. Espérance de la loi de la v.a.r X le nombre noté \(IE\left[ X \right]\) défini par \(IE\left[ X \right] = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{p_i}} \). C’est un paramètre de position qui a la même unité que la v.a. X.
  2. Variance de la v.a.r X, le nombre noté \(Var\left( X \right)\) défini par \(Var\left( X \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}{{\left[ {{x_i} – IE\left( X \right)} \right]}^2}} \). C’est un paramètre de dispersion des valeurs autour de la moyenne.
  3. Ecart type de la v.a.r X, le nombre noté \(\sigma \) et défini par \(\sigma  = \sqrt {Var\left( X \right)} \). C’est un paramètre de dispersion qui a la même unité que la v.a. X.

Exemple 12 : On reprend comme exemple l’activité d’approche du III 1°)

1°) Calculer \(IE\left[ G \right],{\rm{ }}Var\left( G \right){\rm{ et }}\sigma \left( G \right)\) pour la variable aléatoire G.
2°) Donner deux interprétations à \(IE\left[ G \right]\) ? (Une mathématique, l’autre pour le jeu).
3°) Faire de même avec l’exercice 3. Puis comparer leur espérance.
4°) Plus généralement, on note X la variable aléatoire. Quelle conclusion peut-on en tirer sur le jeu si \(IE\left[ X \right] > 0\) ? \(IE\left[ X \right] = 0\) ? \(IE\left[ X \right] < 0\) ?
5°) Préciser la nature des trois paramètres (position ou dispersion). Que traduit l’écart type ?

1°) On avait :

Gain xi en € x1=-3 x2=0 x3=3 \({x_4} = 6\)
Probabilité pi 1/8 3/8 3/8 1/8

\(IE\left( G \right) = 3 \times \frac{1}{8} + 0 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{3}{8} + 6 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{2} = 1,5\) d’où \(IE\left( G \right) = ,15\)euros.

2°) \(IE\left( G \right)\)représente le gain moyen que peut espérer gagner le joueur après un grand nombre de parties. Il représente aussi la moyenne des valeurs xi pondérées par les coefficients pi. C’est une moyenne statistique.
3°) à faire.
4°) Si \(IE\left( X \right) > 0\), le jeu est favorable au joueur, si\(IE\left( X \right) = 0\) le est jeu équitable, si \(IE\left( X \right) < 0\)le jeu est défavorable au joueur.
5°) \(IE\left[ X \right] > 0\) est un paramètre de position, \(V\left( X \right)\) et \(\sigma \left( X \right)\)sont des paramètres de position par rapport à la moyenne. ; L’écart type traduit le risque de gagner ou perdre gros.

Exercice 5 : Un jeu consiste à lancer un dé supposé parfait, à gagner 2 € si le « 1 »  sort, 1€ si le « 2 » sort, et à perdre 1€ dans chacun des autres cas. Quelle est l’espérance de la variable aléatoire \(X\) implicitement définie par le protocole ?

Exercice 6 : Chacun des mots de l’expression « par le plus grand des hasards » est inscrit sur un carton. On tire au hasard l’un des cartons, et on considère la variable aléatoire X qui à chaque mot tiré associe le nombre de lettres de ce mot.
1- Préciser l’ensemble \(\Omega \). Est-on en situation d’équiprobabilité ?
2- Préciser les valeurs prises par la variable aléatoire \(X\) ainsi que l’ensemble E’ de ces valeurs.
3- Quelle est la loi de la variable aléatoire \(X\) ? On pourra faire un tableau.
4- Calculer les différents paramètres de la variable aléatoire \(X\)) puis commenter ce jeu.

4°) Propriétés de l’espérance de la variance et de l’écart type.

Théorème :    Soit X et Y deux variables aléatoires définies sur la même situation et a un nombre réel. Les variables aléatoires \(X + Y\) et \(aX\) vérifient :

  1. \(IE\left( {X + Y} \right) = IE\left( X \right) + IE\left( Y \right)\),
  2. \(IE\left( {aX} \right) = aIE\left( X \right)\). On dit que l’espérance est une application linéaire.

Exemple 13 : On lance trois dés équilibrés. Quelle est, en moyenne, la somme des points obtenus ?

Notons \({X_1}\), \({X_2}\) et \({X_3}\) les variables aléatoires désignant les points obtenus sur chaque dés. La somme des points obtenus est \(X = {X_1} + {X_2} + {X_3}\) d’où \(IE\left( X \right) = IE\left( {{X_1} + {X_2} + {X_3}} \right)\), mais comme l’espérance est linéaire, \(IE\left( X \right) = IE\left( {{X_1}} \right) + IE\left( {{X_2}} \right) + IE\left( {{X_3}} \right)\). De plus cette espérance est la même pour chacun des dés \(IE\left( {{X_1}} \right) = IE\left( {{X_2}} \right) = IE\left( {{X_3}} \right)\) ce qui donne \(IE\left( X \right) = 3IE\left( {{X_1}} \right)\).
Comme pour un dé, chaque face apparaît avec la même probabilité de \(\frac{1}{6}\), on a \(IE\left( {{X_1}} \right) = \frac{1}{6}\left( {1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6} \right) = 3,5\) d’où \(IE\left( X \right) = 10,5\).

Exemple 14 : On lance 100 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. Quel est, en moyenne, le nombre moyen de faces obtenues ?
Notons \({X_i}\) la variable aléatoire désignant le nombre de « Faces » obtenues au i-ème lancer avec \(1 \le i \le 100\).
Pour une pièce, chaque face a la même probabilité ½ d’apparition, c’est à dire que la loi de probabilité d’apparition des Face est :

xi 0 (pile) 1 (Face)
Probabilité ½ ½

\(IE\left( {{X_i}} \right) = 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). Si X est la v.a. qui désigne le nombre de « Face » obtenus, on a \(X = \sum\limits_{i = 1}^{100} {{X_i}} \) d’où \(IE\left( X \right) = \sum\limits_{i = 1}^{100} {IE\left( {{X_i}} \right) = 100 \times \frac{1}{2} = 50} \). Sur 100 lancers, le nombre moyen de Face obtenu est 50.

IV Probabilités conditionnelles.

1°) Une activité d’approche.

Dans un lycée mixte, 45% des élèves sont des filles. Parmi celles-ci, 30% sont internes, les autres externes. Chez les garçons, 60% sont internes. On choisit au hasard une fiche dans le fichier de tous les élèves puis on note le résultat obtenu : « F.I. » pour une fille interne, « F.E. » pour une fille externe, « G.I. » pour un garçon interne, etc.
1°) Construire un tableau à double entrée avec ses marges et son équivalent sous forme d’arbre pondéré en commençant par distinguer le sexe.
2°) Indiquer sur chacune des branches de l’arbre la probabilité que l’élève soit une fille, un garçon, une F.I., une F.E., un G.I., un G.E.
3°) A l’aide du tableau :

  • Calculer la probabilité de l’événement FE : « l’élève est une fille externe ». et à l’aide de l’événement contraire, la probabilité de l’événement FI : « l’élève est une fille interne »
  • En tirer une observation sur l’arbre pondéré.

4°)On rencontre un garçon.

  • Quelle est la probabilité pour qu’il soit externe.
  • Faire une observation sur l’arbre pondéré.

2°) La définition.

Définition : Soit A et B deux événements de l’ensemble \(\Omega \) des issues possibles d’une même expérience aléatoire avec \(IP\left( A \right) \ne 0\).
La probabilité que l’événement B se réalise, sachant que l’événement A est réalisé, est le nombre noté \({p_A}\left( B \right)\) ou encore \(IP\left( {B/A} \right)\) défini par :\(IP\left( {B/A} \right) = \frac{{IP\left( {B \cap A} \right)}}{{IP\left( A \right)}}\) appelé probabilité conditionnelle de B sachant A et lue probabilité de B sachant A.

Remarque : Si A est un événement de \(\Omega \) tel que \(IP\left( A \right) \ne 0\).
\(I{P_A}\left( A \right) = \frac{{IP\left( {A \cap A} \right)}}{{IP\left( A \right)}}\)or, \(A \cap A = A\)donc\(I{P_A}\left( A \right) = \frac{{IP\left( A \right)}}{{IP\left( A \right)}} = 1\)

Exemple 15 : Une urne contient 10 boules indiscernables, 6 rouges et 4 noires. Le jeu consiste à tirer au hasard successivement et sans remise 2 boules de l’urne.
1°) Quelle est la probabilité de tirer 2 boules rouges ?
2°) Illustrer cela avec un arbre et placer les probabilités sur les branches.

1°) Si on note \({R_1}\) l’événement « la 1ère boule tirée est rouge » et \({R_2}\)l’événement « la 2ème boule tirée est rouge », l’événement cherché est \({R_1} \cap {R_2}\). Or, par définition d’une probabilité conditionnelle,
\(IP\left( {{R_2}/{R_1}} \right) = \frac{{IP\left( {{R_1} \cap {R_2}} \right)}}{{IP\left( {{R_1}} \right)}}\) Û\(IP\left( {{R_1} \cap {R_2}} \right) = IP\left( {{R_2}/{R_1}} \right) \times IP\left( {{R_1}} \right)\)

  • Calcul de \(IP\left( {{R_1}} \right)\).

Comme l’urne au départ contient 10 boules indiscernables, chaque boule a la même probabilité de \(\frac{1}{{10}}\)d’être tirée ce qui donne, \(IP\left( {{R_1}} \right) = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\).

  • Calcul de \(IP\left( {{R_2}/{R_1}} \right)\)

\(IP\left( {{R_2}/{R_1}} \right)\) représente la probabilité de tirer une deuxième boule rouge de l’urne sachant que la première boule est rouge. Or l’urne, après le 1er tirage,  ne contient plus que 5 boules rouges et 4 noires, d’où \(IP\left( {{R_2}/{R_1}} \right) = \frac{5}{9}\) ainsi \(IP\left( {{R_1} \cap {R_2}} \right) = \frac{5}{9} \times \frac{3}{5}\)=\(\frac{1}{3}\). La probabilité de tirer deux boules rouges de l’urne est de \(\frac{1}{3}\).

2°) Illustrer cela avec un arbre et placer les probabilités sur les branches.

3°) La formule des probabilités totales.

1 ) Avec deux événements.

Théorème :

Soit \({A_1}\), \({A_2}\) deux événements de l’univers \(\Omega \) vérifiant :

  1. \({A_1} \cup {A_2} = \Omega \)
  2. \({A_1} \cap {A_2} = \emptyset \).

Pour tout événement B de \(\Omega \), \(IP\left( B \right) = IP\left( {{A_1} \cap B} \right) + IP\left( {{A_2} \cap B} \right)\) =\(IP\left( {B/{A_1}} \right) \times IP\left( {{A_1}} \right) + IP\left( {B/{A_2}} \right) \times IP\left( {{A_2}} \right)\)

Exercice de bac Asie 2011 (ES) : Une entreprise financière est divisée en deux secteurs ; 65 % de son personnel travaille dans le secteur A et 35 % dans le secteur B. Cette entreprise s’intéresse au niveau de stress de son  personnel. Une enquête, menée sous la forme d’un questionnaire informatisé, est réalisée au sein de l’entreprise. Le questionnaire est proposé  de manière anonyme aux salariés des deux secteurs. Cette enquête révèle que  pour le secteur A, 20 % du personnel se dit stressé, tandis que, dans le  secteur B, ce taux est de 30 %. On choisit au hasard le questionnaire d’un employé de l’entreprise, chacun ayant la même probabilité d’être choisi.
On note :

  • A : « le questionnaire est celui d’un employé du secteur A ».
  • B : « le questionnaire est celui d’un employé du secteur B ».
  • S : « le questionnaire est celui d’un employé stressé ».

1°) Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
2°) Calculer la probabilité que le questionnaire choisi soit celui d’un employé qui travaille dans le secteur B et qui est stressé.
3°) Toute trace de recherche même incomplète, d’initiative même non fructueuse sera prise  en compte dans l’évaluation. L’entreprise examine l’opportunité d’installer une salle de relaxation. Si le taux d’employés stressés  est strictement supérieur à 25 %, cette salle sera installée. L’entreprise implantera-t-elle  la salle de relaxation ? Justifier la réponse.

4°) Sachant que le questionnaire choisi est celui d’un employé stressé, quelle est la probabilité qu’il travaille dans le secteur A ? (le résultat sera arrondi à 102)

1°) On justifie les probabilités sur chacune des branches de l’arbre.

  • 65 % du personnel de l’entreprise travaille dans le secteur A et 35 % dans le secteur B donc\(IP\left( A \right) = 0,65\) et \(IP\left( B \right) = 0,35\).
  • Pour le secteur A, 20 % du personnel se dit stressé, donc\(I{P_A}\left( S \right) = 0,2\)et puisque \(S\)et\(\overline S \)sont deux événements contraires, \(I{P_A}\left( {\overline S } \right) = 1 – I{P_A}\left( S \right) = 1 – 0,2 = 0,8\).
  • Dans le secteur B, le taux du personnel qui se dit stressé est de 30 % donc\(I{P_B}\left( S \right) = 0,3\)et \(I{P_B}\left( {\overline S } \right) = 1 – I{P_B}\left( S \right) = 1 – 0,3 = 0,7\) d’où \(I{P_B}\left( {\overline S } \right) = 0,7\).

D’où l’arbre pondéré traduisant les données de l’énoncé

2°) On a par définition d’une probabilité conditionnelle, \(IP\left( {B \cap S} \right) = I{P_B}\left( S \right) \times IP\left( B \right)\) d’où \(IP\left( {B \cap S} \right) = 0,3 \times 0,35 = 0,105\). La probabilité que le questionnaire choisi soit celui d’un employé qui travaille dans le secteur B et qui est  stressé est de 0,105.

3°)  L’événement S est l’événement\(S = \left( {A \cap S} \right) \cup \left( {B \cap S} \right)\) ; or l’entreprise est divisée en deux secteurs A  et B qui sont incompatibles. D’après la formule des probabilités totales : \(IP\left( S \right) = IP\left( {A \cap S} \right) + IP\left( {B \cap S} \right)\)=\(IP\left( {S/A} \right) \times IP\left( A \right) + IP\left( {B \cap S} \right) = 0,2 \times 0,65 + 0,105 = 0,235\). La probabilité qu’un salarié soit stressé est égale à 0,235. Par conséquent, le taux d’employés stressés est de 23,5 % donc l’entreprise n’implantera pas la salle de relaxation.

4°) Sachant que le questionnaire choisi est celui d’un employé stressé, la probabilité qu’il travaille dans le secteur A est \(I{P_S}\left( A \right)\). Par définition d’une probabilité conditionnelle, \(I{P_S}\left( A \right) = \frac{{IP\left( {A \cap S} \right)}}{{IP\left( S \right)}} = \frac{{0,13}}{{0,235}} \ne 0,55\). Arrondie au centième près, la probabilité qu’un salarié stressé travaille dans le secteur A est 0,55.

2 ) Généralisation.

Définition de la partition de l’univers : Soient \(\Omega \) un univers associé à une expérience aléatoire et n un entier supérieur ou égal à 2. Les événements\({A_1},{A_2}, \cdots ,{A_n}\)forment une partition de \(\Omega \) si les trois conditions suivantes sont réalisées :

  1. Pour tout \(i \in \left\{ {1,2, \cdots ,n} \right\}\) \({A_i} \ne \emptyset \),
  2. Pour tout \(i \in \left\{ {1,2, \cdots ,n} \right\}\)et tout \(j \in \left\{ {1,2, \cdots ,n} \right\}\)tel que \(i \ne j\), on a \({A_i} \cap {A_j} = \emptyset \).
  3. \({A_1} \cup {A_2} \cup  \cdots  \cup {A_n} = \Omega \) que l’on peut noter \(\bigcup\limits_{i = 1}^{i = n} {{A_i}}  = \Omega \).

Remarque : Je voudrais attirer votre attention sur l’hypothèse ii) qui dit que les événements \({A_i}\)et\({A_j}\) doivent être, pour \(i \ne j\)distincts deux à deux ; Cela signifie que, si on a trois événements \({A_1}\), \({A_2}\)et\({A_3}\) on doit avoir : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_1} \cap {A_2} = \emptyset }\\{{A_2} \cap {A_3} = \emptyset }\\{{A_3} \cap {A_1} = \emptyset }\end{array}} \right.\) ce qui n’a rien à voir avec \({A_1} \cap {A_2} \cap {A_3} = \emptyset \).
On peut très bien avoir \({A_1} \cap {A_2} \cap {A_3} = \emptyset \) sans pour autant avoir \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_1} \cap {A_2} = \emptyset }\\{{A_2} \cap {A_3} = \emptyset }\\{{A_3} \cap {A_1} = \emptyset }\end{array}} \right.\). Ainsi, \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_1} \cap {A_2} = \emptyset }\\{{A_2} \cap {A_3} = \emptyset }\\{{A_3} \cap {A_1} = \emptyset }\end{array}} \right.\)Þ\({A_1} \cap {A_2} \cap {A_3} = \emptyset \).

Théorème : la formule des probabilités totales : Soit \({A_1},{A_2}, \cdots ,{A_n}\), n événements d’un ensemble \(\Omega \), de probabilités non nulles, vérifiant :

  1. \({A_1} \cup {A_2} \cup  \cdots  \cup {A_n} = \Omega \) que l’on peut noter \(\bigcup\limits_{i = 1}^{i = n} {{A_i}}  = \Omega \),
  2. \({A_i} \cap {A_j} = \emptyset \) pour tous \(i \ne j\).Pour tout événement : \(IP\left( B \right) = IP\left( {{A_1} \cap B} \right) + IP\left( {{A_2} \cap B} \right) +  \cdots  + IP\left( {{A_n} \cap B} \right)\), et comme \(\forall i \in \left[ {1;n} \right]\) \(IP\left( {{A_i} \cap B} \right) = IP\left( {B/{A_i}} \right) \times IP\left( {{A_i}} \right)\), on a : \(IP\left( B \right) = IP\left( {B/{A_1}} \right) \times IP\left( {{A_1}} \right) + IP\left( {B/{A_2}} \right) \times IP\left( {{A_2}} \right) +  \cdots  + IP\left( {B/{A_n}} \right) \times IP\left( {{A_n}} \right)\)

Démonstration : Soit \({\left( {{A_1}} \right)_{1 \le i \le n}}\)une famille d’événements de l’univers \(\Omega \) formant une partition de \(\Omega \). Pour tout événement B de \(\Omega \), B est la réunion des événements \({A_1} \cap B\), \({A_2} \cap B\), …,\({A_n} \cap B\) qui sont deux à deux disjoints. Ainsi, \(IP\left( B \right) = IP\left( {{A_1} \cap B} \right) + IP\left( {{A_2} \cap B} \right) +  \cdots  + IP\left( {{A_n} \cap B} \right)\). Or, pour tout entier naturel \(i \in \left\{ {1,2, \cdots n} \right\}\) \(IP\left( {{A_i} \cap B} \right) = IP\left( {B/{A_i}} \right) \times IP\left( {{A_i}} \right)\) d’où \(IP\left( B \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {IP\left( {{A_i} \cap B} \right)}  = \sum\limits_{i = 1}^n {IP\left( {B/{A_i}} \right) \times IP\left( {{A_i}} \right)} \).

Exemple 17 : Un sac contient des jetons de trois couleurs, la moitié de blancs (B), le tiers de verts (V) et le sixième de jaunes (J). 50% des jetons blancs sont ronds, 30% des jetons verts sont ronds et 40 % des jetons jaunes sont ronds. Tous les autres sont carrés. On tire au hasard un jeton du sac.
1°) Représenter par un arbre pondéré, les diverses probabilités que l’on peut obtenir.
2°) Quelle est la probabilité pour qu’il soit rond ?
3°) Sachant qu’il est rond, quelle est la probabilité pour qu’il soit blanc ? qu’il soit vert ? En déduire la probabilité qu’il soit jaune ?

IV Indépendance.

1°) Evénements indépendants.

Définition : On dit que deux événements A et B sont indépendants pour la probabilité IP si et seulement si \(IP\left( {A \cap B} \right) = IP\left( A \right) \times IP\left( B \right)\).

Proposition : Soit A et B deux événements de probabilité non nulle. A et B sont dites indépendants pour la probabilité IP si et seulement si \(IP\left( A \right) = IP\left( {A/B} \right)\) ou \(IP\left( B \right) = IP\left( {B/A} \right)\).

Démonstration : D’après la définition de deux événements indépendants, \(IP\left( {A \cap B} \right) = IP\left( A \right) \times IP\left( B \right)\), et d’après la définition de la probabilité conditionnelle, \(IP\left( {A \cap B} \right) = IP\left( {B/A} \right) \times IP\left( A \right)\), d’où \(IP\left( A \right) \times IP\left( B \right) = IP\left( {B/A} \right) \times IP\left( A \right)\) et comme \(IP\left( A \right) \ne 0\), on a \(IP\left( B \right) = IP\left( {B/A} \right)\).

Remarque :Ne pas confondre événements incompatibles et événements indépendants.

Propriété : (de deux événements indépendants)
Si A et B sont deux événements indépendants d’un univers \(\Omega \) alors \(\overline A \)et B sont indépendants.

Démonstration : Soit A un événement d’un univers \(\Omega \) alors\(A\)et\(\overline A \)sont deux événements contraires.
Pour tout événement B de \(\Omega \), on a : \(B = \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {\overline A  \cap B} \right)\). Comme les événements \(A \cap B\)et\(\overline A  \cap B\)sont incompatibles alors \(IP\left( B \right) = IP\left( {A \cap B} \right) + IP\left( {\overline A  \cap B} \right)\)
Ce qui donne : \(IP\left( B \right) = I{P_A}\left( B \right) \times IP\left( A \right) + I{P_{\overline A }}\left( B \right) \times IP\left( {\overline A } \right)\)
Mais, par hypothèse, A et B sont indépendants donc \(I{P_A}\left( B \right) = IP\left( B \right)\) donc
\(IP\left( B \right) = IP\left( A \right) \times IP\left( B \right) + IP\left( {\overline A  \cap B} \right)\)ce qui donne \(IP\left( B \right) \times \left( {1 – IP\left( A \right)} \right) = IP\left( {\overline A  \cap B} \right)\)
De plus, puisque \(A\)et\(\overline A \)sont deux événements contraires, \(IP\left( {\overline A } \right) = 1 – IP\left( A \right)\) donc \(IP\left( {\overline A  \cap B} \right) = IP\left( {\overline A } \right) \times IP\left( B \right)\) ce qui prouve que \(\overline A \)et B sont deux événements indépendants de \(\Omega \).

Exemple 18 : On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes ; on envisage les 3 événements suivants : A :  « la carte est rouge » ; B : « la carte est un cœur » ; C : « la carte est un roi ».
1°) Les événements A et B sont-ils indépendants ? Même question pour B et C et pour A et C.
2°) On effectue 5 tirages successifs avec remise de la carte dans le jeu après chaque tirage. Quelle est la probabilité de l’événement D : « tirer cinq cartes rouges ».

2°) Variables aléatoires indépendantes.

a) Définition de la loi du couple (X ;Y) au travers d’un exemple.

On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes. L’ensemble \(\Omega \) des issues est alors l’ensemble des trente deux cartes, et le fait de tirer au hasard implique que les événements élémentaires sont indépendants. On définit sur \(\Omega \) la variable aléatoire X qui, à une issue, associe 1 si cette issue est un valet, 2 si c’est une dame, 3 si c’est un roi, 4 si c’est un as et 0 si ce n’est pas l’une de ces figures.

  • Préciser les valeurs prises par la variables aléatoire X.

On définit sur \(\Omega \) la variable aléatoire Y qui, a une issue, associe 1 si cette issue est un trèfle (T) ou un carreau (K), 2 si c’est un cœur (C), 3 si c’est un pique (P).

  • Préciser les valeurs prises par la v.a. Y.

Définir la loi du couple (X ;Y), c’est donner la probabilité de chaque événement \(\left[ {\left( {X = {x_i}} \right){\rm{ et }}\left( {Y = {y_j}} \right)} \right]\) où \(i \in \left\{ {0,1,2,3,4} \right\}{\rm{ et }}j \in \left\{ {1,2,3} \right\}\). On note \({p_{i,i}}\) la probabilité \(IP\left( {\left[ {\left( {X = {x_i}} \right){\rm{ et }}\left( {Y = {y_j}} \right)} \right]} \right)\).

b) Définition de la loi du couple de variables aléatoires (X ;Y).

Soit X et Y deux variables aléatoires prenant les valeurs \({x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\) et \({y_1},{y_2}, \cdots ,{y_n}\). Connaître la loi du couple \(\left( {X;Y} \right)\) c’est connaître la probabilité \({p_{i,j}}\) de chaque événement \(\left[ {\left( {X = {x_i}} \right){\rm{ et }}\left( {Y = {y_j}} \right)} \right]\) c’est-à-dire \(IP\left( {\left[ {\left( {X = {x_i}} \right) \cap \left( {Y = {y_j}} \right)} \right]} \right)\).

Indépendance des variables aléatoires X et Y.

Définition : Soit X et Y deux v.a.r. définies sur le même univers \(\Omega \) prenant respectivement les valeurs \({x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\) et \({y_1},{y_2}, \cdots ,{y_m}\).
On dit que deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes pour la probabilité IP si pour tout entier i et tout entier j, les événements \(\left( {X = {x_i}} \right)\) et \(\left( {Y = {y_j}} \right)\) sont indépendants c’est à dire : \(\forall \left( {i;j} \right) \in {I^2}\), \(IP\)\(\left[ {\left( {X = {x_i}} \right){\rm{ et }}\left( {Y = {y_j}} \right)} \right]\)=\(IP\left( {X = {x_i}} \right) \times IP\left( {y = {y_j}} \right)\).

Exemple 18 : On lance deux dés parfaitement équilibrés. On désigne par X la variable aléatoire égale à la somme des deux nombres obtenus sur la face supérieure et Y la variable aléatoire égale au produit de ces deux nombres.
Calculer \(IP\left( {\left[ {\left( {X = 2} \right){\rm{ et }}\left( {Y = 3} \right)} \right]} \right)\) puis \(IP\left( {X = 2} \right)\) et \(IP\left( {Y = 3} \right)\). Ces deux variables aléatoires sont-elles indépendantes ?

Exemple 19 : A l’aide de l’exemple a du 2°) :

1°)

  • Effectuer la somme de tous les nombres de la première ligne. A quoi correspond ce nombre ?
  • Calculer \(IP\left( {X = 1{\rm{ et }}Y = 1} \right) + IP\left( {X = 1{\rm{ et }}Y = 2} \right) + IP\left( {X = 1{\rm{ et }}Y = 3} \right)\).
  • Faire de même pour chacune des colonnes. A quoi ces 3 nombres correspondent-ils ?

2°)

  • Les variables aléatoires de l’exemple a du 2°) sont-elles indépendantes ? (On pourra s’aider des marges du tableau dans lesquelles les nombres qui y figurent sont appelés loi marginales.
  • Peut-on déduire la loi du couple (X ;Y) à partir des lois de X et de Y. Préciser le cas où cela est possible.

 

Pourquoi s’intéresser à l’indépendance de deux variables aléatoires ?
On est souvent amené à considérer une variable aléatoire Z comme la somme de deux autres X et Y. Par exemple, on lance deux dès, l’un blanc l’autre rouge. Notons Z la variable qui associe le total des points obtenus pour chaque issue. Alors \(Z = X + Y\) où X est le point obtenu par le des blanc et Y par le rouge. Que X et Y soient indépendantes ou non, on a toujours \(IE\left( Z \right) = IE\left( X \right) + IE\left( Y \right)\) mais, si X et Y ne sont pas indépendantes \(IV\left( Z \right) \ne IV\left( X \right) + IV\left( Y \right)\).