13 – Positions relatives de droites et plans dans l’espace

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I- Perspective cavalière et règles d’incidence.

 

1°) Perspective cavalière.

Dans une représentation en perspective cavalière,

  • Les segments visibles sont dessinés en traits pleins et les autres en pointillés,
  • Deux droites parallèles de l’espace sont représentées par deux droites parallèles,
  • Des droites concourantes sont représentées par des droites concourantes, des points alignés aussi,
  • Le milieu d’un segment aussi,
  • Dans un plan de face, une figure est représentée en vraie grandeur.
Tétraèdre

chap-13-1

Cubechap-13-2

 

 

2°) Règles d’incidence.

Axiomes.

i – Par trois points non alignés de l’espace passe un unique plan.

ii- Lorsqu’un plan contient deux points distincts A et B, il contient tous les points de la droite (AB).

iii- Tous les résultats de géométrie plane s’appliquent dans n’importe quel plan de l’espace.

3°) Détermination d’un plan.

Proposition.

Un plan de l’espace est déterminé par :

i-                   Trois points A, B et C non alignés ; on le note (ABC).

ii-                 Une droite D et un point A extérieur à D.

iii-               Deux droites sécantes D et D’.

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II- Incidence et parallélisme.

1°) Positions relatives des plans et des droites.

Définition.

i-                   Deux droites de l’espace sont dites coplanaires lorsqu’elles sont contenues dans un même plan ;

ii-                 Deux droites de l’espace sont parallèles si :

ii1 elles sont coplanaires,

ii2 elles ne sont pas sécantes.

iii-               Une droite et un plan sont parallèles lorsqu’ils n’ont aucun point commun ;

 

Coplanaires

si deux droites sont coplanaires, elles peuvent être…..

 

non coplanaires

 

alors elles n’ont aucun point commun

 

Parallèles

(éventuellement confondues)

 

sécantes

 

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Remarque.

Une droite contenue dans un plan est parallèle à ce plan (c.f. 4°)

2°) Parallélisme entre droites.

 Proposition.

Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l’un est sécant à l’autre et les droites d’intersection sont parallèles ce qui peut s’écrire :

Si P//P’ et P\( \cap \)Q\( \ne \)(ensemble vide)  alors P’\( \cap \)Q\( \ne \)(ensemble vide)et D//D’.

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Théorème (du toit) [à connaître par cœur].

Soit D et D’ deux droites parallèles. P un plan contenant D et P’ un plan contenant D’.

Si P et P’ sont sécants alors la droite d’intersection \(\Delta \)  est parallèle aux droites D et D’.

 

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Démonstration.

Puisque \(\Delta \)   et D sont coplanaires (elles sont dans le plan P), elles sont sécantes ou parallèles. Supposons-les sécantes et notons I leur point d’intersection.

Le plan contenant les droites D et D’ est alors le plan contenant D’ et passant par I, c’est à dire : le plan P’. D’où, D\( \subset \) P’ et P’ est le plan défini par les droites sécantes \(\Delta \)   et D ; mais alors, on en déduit que P’= P, ce qui contredit l’hypothèse P et P’ sécants.

3°) Parallélisme entre plans.

Théorème.

Deux plans P et P’ de l’espace sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de P sont respectivement parallèles à deux droites sécantes de P’.

 

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Remarque ;

Ce théorème est souvent utilisé sous la forme « si alors » à savoir :

Si deux droites sécantes d’un plan P sont parallèles à deux droites sécantes d’un plan P’ alors P est parallèle à P’.

 

4°) Parallélisme entre droites et plans.

 

 Définition.

Une droite et un plan sont parallèles lorsqu’ils ne sont pas sécants.

 

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Théorème.

Si une droite \(\Delta \) est parallèle à une droite D contenue dans un plan P alors \(\Delta \)  est parallèle au plan P.

 

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Exercice. Soit SABCD une pyramide à base carrée ABCD. I le milieu de [SA], J celui de [SB] et K celui de [SC].

1°) Démontrer que les droites (IJ) et (DC) sont parallèles.

Dans le triangle (SAB), I le milieu de [SA] et J celui de [SB] donc (IJ) parallèle à (AB). Or ABCD est un carré donc (AB) est parallèle à (CD), d’où (IJ) parallèle à (DC).

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a- Démontrer que les plans (IJK) et (ABC) sont parallèles.

Comme les droites (IJ) et (SK) sont sécantes et respectivement parallèles aux deux droites sécantes (AB) et (BC), les plans (IJK) et
(ABC) sont parallèles.

b- Quelle est l’intersection des plans (IJK) et (SDC) ?

Les plans (IJK) et (ABC) sont parallèles, donc le plan (SCD) rencontre ces deux plans en deux droites parallèles. Cette intersection est donc la droite passant par K et parallèle à (CD).

c-. Quelle est l’intersection de (IJK) avec la droite (SD) ?

On a vu que les plans (IJK) et (SDC) se rencontraient en une droite passant par K parallèle à (DC). Appelons là \(\Delta \).

\(\Delta \) est incluse dans le plan (SDC) et est parallèle à (DC) donc coupe (SD) d’où (IJK) \( \cap \) (SD)= \(\Delta \) \( \cap \) (SD) c’est à dire le quatrième point L tel que IJKL soit un carré.

III- Orthogonalité dans l’espace.

1°) Orthogonalité d’une droite et d’un plan.

Définition.

Soient D une droite de l’espace et P un plan sécants en un point I. On dit que D est orthogonale à P si D est orthogonale à deux droites sécantes de P passant par I.

 

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Théorème.

Si une droite est orthogonale à un plan P alors elle est orthogonale à toute droite de ce plan P.

Dans la figure ci-contre : \(D’ \bot P\) et \(D \subset P\) donc D’ est orthogonale au plan P.

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Théorème.

i-                   Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l’un est orthogonale à l’autre.

 

 

 

 

ii-                 Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l’une est orthogonal à l’autre.

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Démonstration.

i-            On considère deux plans parallèles P et Q.

Si la droite D est orthogonale à P alors D est orthogonale à toute droite P.

Prenons \(\Delta \)  une droite de Q. Comme les plans P et Q sont parallèles, il existe une droite \(\Delta \)’ de P qui est parallèle à \(\Delta \).

Or D est orthogonale à \(\Delta \)’ qui est un droite de P. Cette dernière étant parallèle à \(\Delta \), les droites D et \(\Delta \)  sont donc orthogonales.

Etant orthogonale à toute droite \(\Delta \)  de Q, la droite D est donc orthogonale à ce plan Q.

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ii-          D et D’ sont deux droites parallèles. On considère un plan P que l’on suppose orthogonal à D.

Si \(\Delta \)  est une droite de P alors elle est orthogonale à D qui elle-même est parallèle à D’. Donc \(\Delta \)  et D’ sont orthogonales.

Si D’ est orthogonale avec toute droite de P alors D’ est orthogonale avec ce plan.

 

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Remarque.      A la propriété i) peut être ajoutée la propriété suivante :

 Théorème.

Si une droite est orthogonale à deux plans alors, ces deux plans sont parallèles.

 

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Démonstration.

On considère la droite D qui est orthogonale aux plans P et Q.

On appelle A le point d’intersection de D et P. B désigne l’intersection de la droite D et du plan Q.

Comme D est orthogonale à P, il existe deux droites \({\Delta _1}\) et \({\Delta _2}\)  de P sécantes et auxquelles D est perpendiculaires.

On appelle R1 le plan défini par les droites \({\Delta _1}\) et D. R2 est le plan défini par \({\Delta _2}\)  et D.

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Comme D et Q sont sécants, les plans R1 et Q le sont donc aussi. Leur intersection est une droite que nous appellerons \({\Delta _3}\) .

De la même façon R2 et Q sont sécants. On appelle \({\Delta _3}\) la droite selon laquelle ils se coupent.

Comme D est orthogonale à Q, elle est donc orthogonale à toute droite de ce plan. En particulier, elle est perpendiculaire à \({\Delta _2}\)   et \({\Delta _3}\) . En effet, tout ce petit monde passe par B.

Revenons dans le plan R1. Les droites D et  \({\Delta _1}\)  sont perpendiculaires.

Comme les droites  \({\Delta _1}\)  et \({\Delta _2}\)   sont parallèles (tout ce petit monde est coplanaire), alors il en va de même pour D et \({\Delta _3}\).

En travaillant dans le plan R2, on montre aussi que les droites \({\Delta _2}\)   et \({\Delta _4}\) sont parallèles.

En résumant, on a donc montré que deux droites sécantes du plan P (c’est-à-dire  \({\Delta _1}\)  et \({\Delta _2}\)  ) sont parallèles à deux droites sécantes de Q (c’est-à-dire \({\Delta _2}\)   et \({\Delta _4}\)).

Donc les plans P et Q sont donc parallèles.

 

2°) Orthogonalité de deux droites de l’espace.

Définition.

On dit que deux droites D et \(\Delta \) sont orthogonales si les parallèles à ces deux droites passant par un point donné sont perpendiculaires.

 

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Théorème.

i-                   Si une droite D et un plan P sont orthogonaux alors D est orthogonale à toute droite du plan P.

ii-                 (C.S.) Si D est orthogonale à deux droites sécantes de P alors D et P sont orthogonales.

iii-               Si deux droites sont parallèles, toute orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.


3°) Plans perpendiculaires.

Définition :

 

On dit que deux plans sont perpendiculaires si et seulement si l’un des deux plans contient une droite perpendiculaire à l’autre plan.

 

\(D \subset P\) et \(D \bot Q\) donc \(P \bot Q\) .

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Attention.

Si \(P \bot Q\) alors toute droite de l’un n’est pas orthogonale à l’autre, c’est vrai pour l’une d’entre elles. (Dans un cube ABCDEFGH les faces ABFE et ABCD sont perpendiculaires mais la droite (AF) n’est pas orthogonale à la face ABCD car elle n’est pas orthogonale à (AB))

 

 

Théorème 2.

Si un plan est perpendiculaire à deux plans sécants en une droite, alors il est orthogonal à cette droite.

 

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Théorème.

Si deux plans sont perpendiculaires, alors toute droite orthogonale à l’un est orthogonale à toute droite orthogonale de l’autre.

 

En résumé : position relatives de droites et plans

 

1°) Positions relatives de deux plans dans l’espace.

 

Deux plans de l’espace sont soit sécants, soit parallèles.

 

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2°) Positions relatives d’une droite et d’un plan de l’espace.

 

Une droite et un plan de l’espace sont soit sécants, soit parallèles.

 

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3°) Positions relatives de trois droites de l’espace.

 

Deux droites de l’espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires.

 

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