12 – Nombres Complexes

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I- L’ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes.

1°) Ecriture algébrique des nombres complexes.

Comme on a montré l’insuffisance de l’ensemble \(\mathbb{Q}\) par rapport à l’ensemble \(\mathbb{R}\), on montre l’insuffisance de l’ensemble \(\mathbb{R}\) par rapport à un nouvel ensemble, noté \(\mathbb{C}\) et appelé ensemble des nombres complexes.

Proposition : théorème admis
Il existe un ensemble \(\mathbb{C}\), appelé ensemble des nombre complexes, contenant \(\mathbb{R}\), et vérifiant :

  1. \(\mathbb{C}\) est muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles de \(\mathbb{R}\) et suivent les mêmes règles de calculs.
  2. Il existe un élément \(i\) de \(\mathbb{C}\) tel que \({i^2} =  – 1\).
  3. Tout élément \(z\) de \(\mathbb{C}\) s’écrit de manière unique sous la forme \(z = a + ib\) où \(\left( {a;b} \right) \in {\mathbb{R}^2}\).

Proposition, Définition : Forme algébrique d’un nombre complexe

Soit \(z \in \mathbb{C}\). Il existe un unique couple \(\left( {a;b} \right) \in {\mathbb{R}^2}\) tels que  \(z = a + ib\). Cette forme est appelée forme algébrique du nombre complexe \(z\).

Remarques :

  1. \(a\) est appelée partie réelle du complexe \(z\) et notée \(a = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right)\).
  2. \(b\) est appelée partie imaginaire du complexe \(z\) et noté \(b = {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right)\).
  3. Si \(a = 0\), on dit que \(z\) est un imaginaire pur.
  4. Si \(b = 0\), on dit que \(z\) est un réel (on a ainsi \(\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)).
  5. Dans \(\mathbb{C}\), il n’y a plus la notion d’ordre usuelle… (on ne pourra donc pas comparer deux nombres complexes, sauf pour les imaginaires purs où l’on peut définir un ordre naturel comme pour les réels).

Les applications \({\mathop{\rm Re}\nolimits} :\mathbb{C} \to \mathbb{R}\) et \({\mathop{\rm Im}\nolimits} :\mathbb{C} \to \mathbb{R}\) sont \(\mathbb{R}\) linéaires car vérifient :
\(\left( {\left( {z;z’} \right) \in {\mathbb{C}^2}} \right)\left( {\forall \lambda  \in \mathbb{R}} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {z + \lambda z’} \right) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) + \lambda {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {z’} \right)}\\{{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {z + \lambda z’} \right) = {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) + \lambda {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {z’} \right)}\end{array}} \right.\).

Exemples :

  • \(z = 3\) est un nombre complexe (il est en particulier réel).
  • \(z = 2 + 3i\) est un nombre complexe.
  • \(z = 7i\) est un nombre complexe imaginaire pur.

Remarque : Le complexe \(z = a + ib\) est le complexe nul \(z = 0\) si et seulement si \(a = b = 0\).

Démonstration de la proposition :
\( \Leftarrow \) Si \(a = 0\) et \(b = 0\) alors \(z = 0 + i0 = 0 + 0 = 0\) donc \(z\) est le complexe nul.
\( \Rightarrow \) Soit \(z = a + ib\) tel que \(z = 0\) alors \(a + ib = 0\). Montrons que nécessairement \(a = b = 0\).
Si \(b \ne 0\) alors \(\left( {a + ib = 0} \right) \Rightarrow \left( {i =  – \frac{a}{b}} \right)\). Or, \(\left( { – \frac{a}{b}} \right) \in \mathbb{R}\) donc le nombre \(i\) serait réel et on ne pourrait avoir \({i^2} =  – 1\) donc nécessairement, \(b = 0\).
Mais dans ce cas, l’égalité \(a + ib = 0\) devient \(a + i0 = 0\) donc \(a = 0\) d’où, si \(a + ib = 0\) alors \(a = b = 0\).
Conclusion : \(\left( {a + ib = 0} \right) \Leftrightarrow \left( {a;b} \right) = \left( {0;0} \right)\).

Corollaire :  Deux complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire c’est à dire : Soit \(\left( {z;z’} \right) \in {\mathbb{C}^2}\) avec \(z = a + ib\) et \(z’ = a’ + ib’\) où \(\left( {a,b,a’,b’} \right) \in {\mathbb{R}^4}\) : \(z = z’ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = a’}\\{b = b’}\end{array}} \right.\).

Démonstration :
Soient \(z\) et \(z’\) deux nombres complexes écrits sous forme algébrique \(z = a + ib\) et \(z’ = a’ + ib’\)
\( \Leftarrow \)  Si \(a = a’\) et \(b = b’\) alors \(z = z’\).
\( \Rightarrow \) Supposons \(z = z’\) alors \(\left( {a + ib = a’ + ib’} \right) \Leftrightarrow \left( {\left( {a – a’} \right) + i\left( {b – b’} \right) = 0} \right)\) et d’après la démonstration de la remarque, \(a – a’ = 0\) et \(b – b’ = 0\) d’où \(a = a’\) et \(b = b’\).

2°) Règles de calculs dans \(\mathbb{C}\) .

a- Addition et Multiplication.

Théorème : Soit \(z = x + iy\) où \(\left( {x;y} \right) \in {\mathbb{R}^2}\) et \(z’ = x’ + iy’\) avec \(\left( {x’;y’} \right) \in {\mathbb{R}^2}\), deux nombres complexes.

  1. \(z + z’ = \left( {x + x’} \right) + i\left( {y + y’} \right)\) c’est à dire \(\left( {x + iy} \right) + \left( {x’ + iy’} \right) = \left( {x + x’} \right) + i\left( {y + y’} \right)\).
  2. \(zz’ = \left( {xx’ – yy’} \right) + i\left( {xy’ + x’y} \right)\) c’est à dire \(\left( {x + iy} \right).\left( {x’ + iy’} \right) = \left( {xx’ – yy’} \right) + i\left( {xy’ + x’y} \right)\).

Démonstration :
Soit \(z = x + iy\) où \(\left( {x;y} \right) \in {\mathbb{R}^2}\) et \(z’ = x’ + iy’\) avec \(\left( {x’;y’} \right) \in {\mathbb{R}^2}\),

  1. On a \(z + z’ = \left( {x + iy} \right) + \left( {x’ + iy’} \right) = \left( {x + x’} \right) + i\left( {y + y’} \right)\)
  2. \(\begin{array}{l}zz’ = \left( {x + iy} \right) \times \left( {x’ + iy’} \right) = x\left( {x’ + iy’} \right) + iy\left( {x’ + iy’} \right)\\\;\quad = xx’ + ixy’ + ix’y + {i^2}yy’\end{array}\)

mais \({i^2} =  – 1\) d’où \(zz’ = \left( {xx’ – yy’} \right) + i\left( {xy’ + x’y} \right)\).

Avec \(z = 0 + i\) et \(z’ = 0 + i\), on vérifie que\({i^2} =  – 1\).

Corollaire : identités remarquables dans \(\mathbb{C}\) : \(\forall \left( {a;b} \right) \in {\mathbb{R}^2}\) ;

  1. \({\left( {a + ib} \right)^2} = {a^2} – {b^2} + 2iab\),
  2. \({\left( {a – ib} \right)^2} = {a^2} – {b^2} – 2iab\),
  3. \(\left( {a + ib} \right)\left( {a – ib} \right) = {a^2} + {b^2}\).

Démonstration :

  1. Poser \(a = x = x’\) et \(b = y = y’\) dans la formule ii) du théorème.
  2. Poser \(a = x = x’\) et \( – b = y = y’\) dans la formule ii) du théorème.
  3. Poser \(\left( {a;b} \right) = \left( {x;y} \right)\) pour \(z\) et \(\left( {a; – b} \right) = \left( {x’;y’} \right)\) pour \(z’\) dans ii) du théorème.

Exemple : Calculer \({\left( {1 + i} \right)^2},{\left( {1 + i} \right)^3},{\left( {1 + i} \right)^4}\).
On a \({\left( {1 + i} \right)^2} = 1 – 1 + 2i = 2i\),
\({\left( {1 + i} \right)^3} = {\left( {1 + i} \right)^2}\left( {1 + i} \right) = 2i\left( {1 + i} \right) =  – 2 + 2i\), \({\left( {1 + i} \right)^4} = {\left( {1 + i} \right)^3}\left( {1 + i} \right) = \left( { – 2 + 2i} \right)\left( {1 + i} \right) =  – 2\left( {1 – i} \right)\left( {1 + i} \right) =  – 2\left( {1 + 1} \right) =  – 4\).

b- Inverse et quotient.

Théorème :

  1. Soit \(z\) un nombre complexe non nul (i.e. \(x \ne 0\) ou \(y \ne 0\)) : \(\frac{1}{z} = \frac{x}{{{x^2} + {y^2}}} – i\frac{y}{{{x^2} + {y^2}}}\),
  2. Soient \(z\) et \(z’\) deux nombres complexes (écrits sous forme algébrique) avec \(z’\) non nul : \(\frac{z}{{z’}} = \frac{{xx’ + yy’}}{{{{x’}^2} + {{y’}^2}}} + i\frac{{x’y – xy’}}{{{{x’}^2} + {{y’}^2}}}\).

Démonstration :
L’idée repose sur l’identité \(\left( {a + ib} \right)\left( {a – ib} \right) = {a^2} + {b^2}\) ; \(a – ib\) est l’expression conjuguée de \(a + ib\).

  1. Soit \(z\) un nombre complexe non nul. Il existe \(\left( {x;y} \right) \in {\mathbb{R}^2}\) avec \(\left( {x;y} \right) \ne \left( {0;0} \right)\) tel que\(z = x + iy\). Comme \(z\) n’est pas le complexe nul, \(\frac{1}{z}\) existe et on a :
    \(\frac{1}{z} = \frac{1}{{x + iy}} = \frac{1}{{x + iy}} \times \frac{{x – iy}}{{x – iy}} = \frac{{x – iy}}{{\left( {x – iy} \right)\left( {x – iy} \right)}} = \frac{{x – iy}}{{{x^2} + {y^2}}} = \frac{x}{{{x^2} + {y^2}}} – i\frac{y}{{{x^2} + {y^2}}}\)
  2. Soient \(z\) et \(z’\) deux nombres complexes avec \(z’\) non nul ; il existe \(\left( {x;y} \right) \in {\mathbb{R}^2}\) tel que \(z = x + iy\) et il existe \(\left( {x’;y’} \right) \in {\mathbb{R}^2}\) avec \(\left( {x’;y’} \right) \ne \left( {0;0} \right)\) tel que \(z’ = x’ + iy’\). Comme \(z’\) n’est pas le complexe nul, \(\frac{z}{{z’}}\)
    \(\begin{array}{l}\frac{z}{{z’}} = \frac{{x + iy}}{{x’ + iy’}} = \frac{{x + iy}}{{x’ + iy’}} \times \frac{{x’ – iy’}}{{x’ – iy’}} = \frac{{\left( {x + iy} \right)\left( {x’ – iy’} \right)}}{{\left( {x’ + iy’} \right)\left( {x’ – iy’} \right)}} = \frac{{\left( {xx’ + yy’} \right) + i\left( {x’y – xy’} \right)}}{{{{x’}^2} + {{y’}^2}}}\\\frac{z}{{z’}} = \frac{{xx’ + yy’}}{{{{x’}^2} + {{y’}^2}}} + i\frac{{x’y – xy’}}{{{{x’}^2} + {{y’}^2}}}\,\end{array}\).

Exemple : Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes \(z = \frac{1}{{3 – 4i}}\) et \(z = \frac{{2 + 5i}}{{3 – 4i}}\).
On a \(z = \frac{1}{{3 – 4i}} \times \frac{{3 + 4i}}{{3 + 4i}} = \frac{{3 + 4i}}{{{3^2} + {4^2}}} = \frac{3}{{25}} + \frac{4}{{25}}i\).
\(z = \frac{{2 + 5i}}{{3 – 4i}} = \frac{1}{{3 – 4i}} \times \left( {2 + 5i} \right) = \left( {2 + 5i} \right) \times \left( {\frac{3}{{25}} + \frac{4}{{25}}i} \right) = \left( {\frac{6}{{25}} – \frac{{20}}{{25}}} \right) + \left( {\frac{{15}}{{25}} + \frac{8}{{25}}} \right)i = \frac{{14}}{{25}} + \frac{{23}}{{25}}i\).

Exercice 1 :

1°) a- Calculer \({i^0}\), \({i^1}\), \({i^2}\), \({i^3}\), \({i^4}\), \({i^5}\), \({i^6}\), \({i^7}\), \({i^8}\).
On peut faire un tableau avec les différentes puissances de \(i\).

\(n\) \(\begin{array}{*{20}{l}}0\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}1\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}2\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}3\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}4\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}5\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}6\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}7\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}8\end{array}\)
\({i^n}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}1\end{array}\) \(i\) \( – 1\) \( – i\) \(\begin{array}{*{20}{l}}1\end{array}\) \(i\) \( – 1\) \( – i\) \(\begin{array}{*{20}{l}}1\end{array}\)

b- En déduire une règle pour calculer \({i^n}\) pour tout entier naturel \(n\). Calculer alors \({i^{2013}}\).

La suite des puissances de \(i\) est périodique de période \(4\) or, pour tout entier naturel \(n\), dans la division euclidienne de \(n\) par \(4\), il existe deux entiers naturels \(k\) et \(r\) avec \(0 \le r < 4\) tels que \(n = 4k + r\).
Donc, pour tout entier naturel \(k\) :

  • si \(r = 0\) alors \(n = 4k\) et donc \({i^{4k}} = {\left( {{i^4}} \right)^k} = 1\).
  • si \(r = 1\) alors \(n = 4k + 1\) et donc \({i^{4k + 1}} = {\left( {{i^4}} \right)^k} \times i = 1 \times i = i\).
  • si \(r = 2\) alors \(n = 4k + 2\) et donc \({i^{4k + 2}} = {\left( {{i^4}} \right)^k} \times {i^2} = 1 \times \left( { – 1} \right) = – 1\).
  • si \(r = 3\) alors \(n = 4k + 3\) et donc \({i^{4k + 3}} = {\left( {{i^4}} \right)^k} \times {i^3} = 1 \times \left( { – i} \right) = – i\).

Si \(n = 2013\), on effectue la division euclidienne de \(2013\) par \(4\), ce qui donne \(2013 = 4 \times 503 + 1\) donc \(2013\) est de la forme \(n = 4k + 1\) d’où \({i^{2013}} = i\).

Exercice : On donne \(j =  – \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

1°) Calculer \({j^2}\) et \({j^3}\) puis \(1 + j + {j^2}\).

\({j^2} = {\left( { – \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \left( {\frac{1}{4} – \frac{3}{4}} \right) – \left( {2 \times \frac{1}{2} \times \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)i =  – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\).
\(\begin{array}{l}{j^3} = {\left( { – \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} \times \left( { – \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \left( { – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) \times \left( { – \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) \times \left( {\frac{1}{2} – i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\\{j^3} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\end{array}\).
\(1 + j + {j^2} = 1 + \left( { – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) + \left( { – \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 0\).

2°) Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \({\left( {1 + j} \right)^{2n + 1}} =  – {j^{n + 2}}\).

Soit \(n\) un entier naturel.
\({\left( {1 + j} \right)^{2n + 1}} = {\left( { – {j^2}} \right)^{2n + 1}} = {\left( { – {j^2}} \right)^{2n}} \times {\left( { – {j^2}} \right)^1} = {\left( {{j^4}} \right)^n} \times \left( { – {j^2}} \right) =  – {\left( {\underbrace {{j^3}}_1 \times j} \right)^n} \times {j^2} =  – {j^{n + 2}}\).

3°) Calculer alors \({j^{2012}}\).

On a \(2012 = 2010 + 2 = 3 \times 670 + 2\) \({j^{2012}} = {\left( {{j^3}} \right)^{670}} \times {j^2} = 1 \times {j^2} = {j^2} =  – \frac{1}{2} – i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

3°) Conjugué d’un nombre complexe.

Définition : Deux nombres complexes sont dits conjugués si et seulement si :

  1. Ils ont même partie réelle,
  2. Des parties imaginaires opposées.

On note \(\overline z \) le conjugué du nombre complexe \(z\).

Exemple : le conjugué de \(z = 3 – 2i\) est \(\overline z  = 3 + 2i\),
\(z = i\sqrt 2 \) est \(\overline z  =  – i\sqrt 2 \),
\(z = 5\) est \(\overline z  = 5\).

Propriétés de la conjugaison :

  1. Le conjugué de la somme de deux nombres complexes est la somme des conjugués :\(\left( {\forall \left( {z;z’} \right) \in {\mathbb{C}^2}} \right)\), \(\overline {z + z’} = \overline z  + \overline {z’} \) ;
  2. Le conjugué du produit de deux nombres complexes est le produit des conjugués : \(\left( {\forall \left( {z;z’} \right) \in {\mathbb{C}^2}} \right)\), \(\overline {zz’} = \overline z \overline {z’} \) ;
  3. \(\left( {\forall z \in {\mathbb{C}^ * }} \right)\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right):\left( {\overline {{z^n}} = \overline z {{\rm{ }}^n}} \right)\)
  4. Le conjugué d’un quotient est le quotient des conjugués : \(\left( {\forall \left( {z;z’} \right) \in \mathbb{C} \times {\mathbb{C}^*}} \right)\), \(\overline {\left( {\frac{z}{{z’}}} \right)} = \frac{{\overline z }}{{\overline {z’} }}\).

Démonstration :
Soit \(z = a + ib\) et \(z’ = a’ + ib’\) deux nombres complexes quelconques avec \(\left( {a,b,a’,b’} \right) \in {\mathbb{R}^4}\).

  1. \(\overline {z + z’} = \overline {\left( {a + ib} \right) + \left( {a’ + ib’} \right)}  = \overline {\left( {a + a’} \right) + i\left( {b + b’} \right)}  = \overline {a + a’}  + \overline i \overline {\left( {b + b’} \right)}  = \left( {a + a} \right) – i\left( {b + b} \right) = \overline z  + \overline {z’} \)
  2. \(\begin{array}{l}\overline {z \times z’} = \overline {\left( {a + ib} \right) \times \left( {a’ + ib’} \right)}  = \overline {\left( {aa’ – bb’} \right) + i\left( {ab’ + a’b} \right)}  = \overline {aa’ – bb’}  + \overline i \overline {\left( {ab’ + a’b} \right)} \\\quad \quad {\kern 1pt}  = \left( {aa’ + bb’} \right) – i\left( {ab’ + a’b} \right)\end{array}\).
    De plus, \(\overline z  \times \overline {z’}  = \left( {\overline {a + ib} } \right) \times \left( {\overline {a’ + ib’} } \right) = \left( {a – ib} \right)\left( {a’ – ib’} \right) = \left( {aa’ – bb’} \right) – i\left( {ab’ + a’b} \right)\) d’où \(\overline {zz’}  = \overline z  \times \overline {z’} \).
  3. Montrons la propriété par récurrence sur l’entier naturel \(n\). Soit \(z \in {\mathbb{C}^ * }\).
    Si \(n = 0\), \(\overline {{z^0}} = \overline 1  = 1\) et \({\left( {\overline z } \right)^0} = 1\) or \(1 = 1\) donc \(\overline {{z^0}}  = {\left( {\overline z } \right)^0}\) ce qui prouve la propriété au rang \(n = 0\).
    Supposons que, pour un rang \(n\) fixé dans \(\mathbb{N}\), la propriété \(\overline {{z^n}}  = {\left( {\overline z } \right)^n}\) est vraie et montrons qu’elle reste vrai au rang \(n + 1\).
    On a \(\overline {{z^{n + 1}}}  = \overline {{z^n} \times z} \underbrace  = _{{\rm{ii)}}}\overline {{z^n}}  \times \overline z \underbrace  = _{{\rm{HR}}}{\left( {\overline z } \right)^n} \times \overline z  = {\left( {\overline z } \right)^{n + 1}}\) ce qui prouve la relation au rang \(n + 1\). D’après le principe de récurrence, on en déduit que la propriété est vraie pour tout entier naturel \(n\).
  4. \(\begin{array}{l}\overline {\left( {\frac{z}{{z’}}} \right)} = \overline {\left( {\frac{{a + ib}}{{a’ + ib’}}} \right)}  = \overline {\left( {\frac{{\left( {a + ib} \right)\left( {a’ – ib’} \right)}}{{\left( {a’ + ib’} \right)\left( {a’ – ib’} \right)}}} \right)}  = \overline {\frac{{\left( {aa’ + bb’} \right) + i\left( {a’b – ab’} \right)}}{{{{a’}^2} + {{b’}^2}}}} \\\quad \quad {\kern 1pt}  = \overline {\frac{{\left( {aa’ + bb’} \right) + i\left( {a’b – ab’} \right)}}{{{{a’}^2} + {{b’}^2}}}}  = \overline {\left( {\frac{{aa’ + bb’}}{{{{a’}^2} + {{b’}^2}}}} \right)}  + \overline i  \times \overline {\left( {\frac{{a’b – ab’}}{{{{a’}^2} + {{b’}^2}}}} \right)}  = \frac{{aa’ + bb’}}{{{{a’}^2} + {{b’}^2}}} – i\frac{{a’b – ab’}}{{{{a’}^2} + {{b’}^2}}}\end{array}\)
    et \(\frac{{\overline z }}{{\overline {z’} }} = \frac{{\overline {a + ib} }}{{\overline {a’ + ib’} }} = \frac{{\overline a  + \overline i  \times \overline b }}{{\overline {a’}  + \overline i  \times \overline {b’} }} = \frac{{a – ib}}{{a’ – ib’}} = \frac{{\left( {a – ib} \right)\left( {a’ + ib’} \right)}}{{\left( {a’ – ib’} \right)\left( {a’ + ib’} \right)}} = \frac{{aa’ + bb’}}{{{{a’}^2} + {{b’}^2}}} – i\frac{{a’b – ab’}}{{{{a’}^2} + {{b’}^2}}}\)
    d’où \(\overline {\left( {\frac{z}{{z’}}} \right)}  = \frac{{\overline z }}{{\overline {z’} }}\).

Remarque :
Notons \(\sigma \) l’opération de conjugaison, c’est-à-dire l’opération \(\sigma :\begin{array}{*{20}{c}}\mathbb{C}& \to &\mathbb{C}\\z& \mapsto &{\sigma \left( z \right) = \overline z }\end{array}\).
\(\sigma \) définie une fonction d’espace de départ \(\mathbb{C}\) et est à valeurs dans l’espace d’arrivée \(\mathbb{C}\).
\(\left( {\forall \left( {z;z’} \right) \in {\mathbb{C}^2}} \right)\)\(\left( {\sigma \left( {z + z’} \right) = \sigma \left( z \right) + \sigma \left( {z’} \right)} \right)\) (se démontre en posant \(z = a + ib\) et \(z’ = a’ + ib’\))
\(\left( {\forall \left( {z;z’} \right) \in {\mathbb{C}^2}} \right)\)\(\left( {\sigma \left( {z \times z’} \right) = \sigma \left( z \right) \times \sigma \left( {z’} \right)} \right)\)
Pour ces trois raisons, on dit que \(\sigma \) est un automorphisme de \(\mathbb{C}\).
De plus, \(\left( {\forall z \in \mathbb{C}} \right)\left( {\left( {\sigma  \circ \sigma } \right)\left( z \right) = \sigma \left[ {\sigma \left( z \right)} \right] = \sigma \left( {\overline z } \right) = z} \right)\) d’où \(\sigma  \circ \sigma  = I{d_C}\) ce qui montre que \(\sigma \) est involutive (en clair, \(\overline {\overline z }  = z\)).
Pour ces quatre raisons, on dit que \(\sigma \) est un automorphisme involutif (de \(\mathbb{C}\)).

Exercice :
On donne \(z = 3 – 2i\). Calculer \(\overline z \), \(z + \overline z \), \(z – \overline z \). Faire de même avec \(z = 2\) et \(z = 3i\).
On constate que \(z + \overline z  = 2{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right)\) et \(z – \overline z  = 2{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right)\).

Théorème : Soit \(z = a + ib\) un nombre complexe avec \((a;b) \in {\mathbb{R}^2}\) :
\(a = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) = \frac{{z + \overline z }}{2}\) et        \(b = {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) = \frac{{z – \overline z }}{{2i}}\).

Démonstration :
Immédiate poser \(z = a + ib\) d’où \(\overline z  = a – ib\) puis addition et soustraction.

Corollaire (important) :  Soit \(z\) un nombre complexe.

  1. \(z\) est réel \( \Leftrightarrow z = \overline z \),
  2. \(z\) est imaginaire pur \( \Leftrightarrow z + \overline z = 0\).

Démonstration :
\(\left( {z \in \mathbb{R}} \right) \Leftrightarrow \left( {{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) = 0} \right) \Leftrightarrow \left( {z – \overline z  = 0} \right) \Leftrightarrow \left( {z = \overline z } \right)\).
\(\left( {z \in i\mathbb{R}} \right) \Leftrightarrow \left( {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) = 0} \right) \Leftrightarrow \left( {z + \overline z  = 0} \right)\).

Exercice : Déterminer les nombres complexes \(z\) tel que \(Z = \frac{z}{{z + 1}}\) soit réel.
On applique le corollaire. \(Z\) est réel si et seulement si \(Z = \overline Z \)

\(Z = \bar Z \Leftrightarrow \frac{z}{{z + 1}} = \overline {\left( {\frac{z}{{z + 1}}} \right)}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z\left( {\bar z + 1} \right) = \bar z\left( {z + 1} \right)}\\{z + 1 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = \bar z}\\{z \ne  – 1}\end{array}} \right.\) ce qui donne \({S_\mathbb{C}} = \mathbb{R} – \left\{ { – 1} \right\}\).

4°) Représentation géométrique d’un nombre complexe.

Définition : Notons \({E_2}\) l’ensemble des points du plan et \({\Sigma _2}\) l’ensemble des vecteurs du plan.
Soit \(\left( {O;\mathop {{e_1}}\limits^ \to  ;\mathop {{e_2}}\limits^ \to  } \right)\) un repère orthonormé de \({E_2}\).
Soit \((a;b) \in {\mathbb{R}^2}\). Les applications :

\(f:\begin{array}{*{20}{c}}\mathbb{C}& \to &{{\Sigma _2}}\\{z = a + ib}& \mapsto &{\overrightarrow w  = a\overrightarrow {{e_1}}  + b\overrightarrow {{e_2}} }\end{array}\) et   \(g:\begin{array}{*{20}{c}}\mathbb{C}& \to &{{E_2}}\\{z = a + ib}& \mapsto &{M{\rm{ o\`u  }}\overrightarrow {OM}  = a\overrightarrow {{e_1}}  + b\overrightarrow {{e_2}} }\end{array}\) sont des bijections, c’est à dire :

  • Pour \(f\), tout vecteur de \({\Sigma _2}\) est l’image d’un unique nombre complexe \(z\). On dit alors que \(\overrightarrow w  = a\overrightarrow {{e_1}}  + b\overrightarrow {{e_2}} \) est le vecteur image (ou image vectorielle) du nombre complexe \(z\).
  • Pour \(g\), tout point \(M\) du plan \({E_2}\) est l’image d’un unique nombre complexe \(z\). On dit alors que \(M\) est l’image ponctuelle du complexe \(z\).
  • Le nombre complexe \(z\) est appelé affixe du point \(M\) ou du vecteur \(\overrightarrow {OM} \). On note \({z_{\overrightarrow w }}\) l’affixe du vecteur \(\overrightarrow w \).

Définition 2 : Le plan muni d’un repère orthonormal \(\left( {O;\mathop {{e_1}}\limits^ \to  ;\mathop {{e_2}}\limits^ \to  } \right)\) dans lequel on représente les nombres complexes est appelé plan complexe (ou d’Argand-Cauchy) [1789-1857].

  • L’axe des abscisses est l’axe des réels (\(b = 0\)).
  • l’axe des ordonnées est l’axe des imaginaires purs (\(a = 0\)).

Exercice : Placez les points \(A\), \(B\), \(C\) d’affixes respectives \({z_A} = 3\), \({z_B} = 1 + i\) et \({z_C} = 3 + 4i\).
Déterminer l’affixe du point \(D\) tel que \(ABCD\) est un parallélogramme.
\(\begin{array}{l}{\rm{(}}ABCD\,\;{\rm{parall\’e logramme)}} \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} } \right) \Leftrightarrow \left( {{z_{\overrightarrow {AB} }} = {z_{\overrightarrow {DC} }}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 – x =  – 2}\\{4 – y = 1}\end{array}} \right.\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \;\;{\kern 1pt}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5}\\{y = 3}\end{array}} \right.\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \;\;{\kern 1pt}  \Leftrightarrow {z_D} = 5 + 3i\end{array}\)

Proposition :
Si \(z\) est un nombre complexe d’image \(M\) dans le plan complexe, le conjugué \(\bar z\) de \(z\) a pour image le point \(M’\)  symétrique de \(M\) par rapport à l’axe des réels.

Remarque : On retrouve que \(z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z = \overline z \) et \(z \in i\mathbb{R} \Leftrightarrow z + \overline z  = 0\).
Appliquer l’opération de conjugaison sur un complexe \(z\), c’est effectuer sur le point \(M\) d’affixe \(z\) une symétrie par rapport à l’axe \(\left( {xx’} \right)\) d’où le point \(M’\) d’affixe \(\bar z\) est le symétrique du point \(M\) par rapport à l’axe \(\left( {xx’} \right)\).

Exercice : On note \(z = x + iy\) avec \(\left( {x;y} \right) \in {\mathbb{R}^2}\). A tout complexe \(z\), on associe \(Z = 2\bar z – 2 + 6i\).

  1. Calculer en fonction de \(x\) et \(y\), les parties réelle et imaginaire de \(Z\).
  2. Existe-t-il des complexes \(z\) tel que \(Z = z\) ? Si oui, le ou les représenter.

 

  1. Posons \(Z = X + iY\) avec \(\left( {X;Y} \right) \in {\mathbb{R}^2}\).
    \(\begin{array}{l}Z = 2\overline z  – 2 + 6i \Leftrightarrow X + iY = 2\left( {x – iy} \right) – 2 + 6i\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad  \Leftrightarrow X + iY = 2x – 2 + i\left( { – 2y + 6} \right)\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{X = 2x – 2}\\{Y =  – 2y + 6}\end{array}} \right.\end{array}\)
  2. Supposons qu’il existe un complexe \(z\) tel que  \(Z = z \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x – 2 = x}\\{ – 2y + 6 = y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 2}\end{array}} \right.\)  d’où l’unique \(z\) tel que \(Z = z\) est \(z = 2 + 2i\).

 

II- Module et Argument d’un nombre complexe.

1°) Rappels ,sur les coordonnées polaires.

Définition : Tout point \(M\) du plan orienté, distinct du point \(O\), peut être repéré par un couple \(\left( {r;\theta } \right)\) avec \(r \in \mathbb{R}_ + ^*\) et \(\theta  \in \mathbb{R}\) appelées coordonnées polaires du point \(M\) et tel que :

  • \(r\) désigne la distance \(OM\) aussi appelé rayon vecteur,
  • \(\theta \) est une mesure de l’angle orienté du couple de vecteurs \(\left( {\overrightarrow {{e_1}} ;\overrightarrow {OM} } \right)\).

Remarques :

  • Si \(\theta ‘ = \theta + 2k\pi \) avec \(k \in Z\), alors \(\left( {r;\theta ‘} \right)\) est aussi un couple de coordonnées polaires du point \(M\).
  • Si \(M\) et \(O\) sont confondus, \(r = 0\) mais \(\theta \) n’est pas défini.

Exemple : Placer les points

\(M\left( {2:\frac{\pi }{4}} \right)\), \({M_1}\left( {3:\frac{\pi }{4}} \right)\),

\({M_2}\left( {1;\pi } \right)\), \({M_3}\left( {2; – \frac{{7\pi }}{4}} \right)\).

2°) Passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes.

En considérant le dessin précédent, appelons \(H\) le projeté orthogonal de \(M\) sur l’axe des abscisses et \(K\) son projeté orthogonal sur l’axe des ordonnées.
\(OMH\) et \(OMK\) sont des triangles rectangles respectivement en \(H\) et \(K\).
D’après la définition du cosinus, on a \(\cos \theta  = \frac{{OH}}{{OM}} = \frac{{OH}}{r}\) d’où \(OH = r\cos \theta \).
\(\sin \theta  = \frac{{HM}}{{OM}} = \frac{{HM}}{r}\) d’où \(HM = r\sin \theta \).
Mais \(\overrightarrow {OM}  = \underbrace {OH}_x\overrightarrow {{e_1}}  + \underbrace {OK}_y\overrightarrow {{e_2}} \) d’où \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = r\cos \theta }\\{y = r\sin \theta }\end{array}} \right.\).

Théorème : On suppose le plan muni d’un repère orthonormal direct \(\left( {O;\mathop {{e_1}}\limits^ \to  ;\mathop {{e_2}}\limits^ \to  } \right)\).

  1. Pour tout point \(M\) de cordonnées polaires \(\left( {r;\theta } \right)\) où \(r > 0\) et \(\theta \in \mathbb{R}\), ses coordonnées cartésiennes sont \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = r\cos \theta }\\{y = r\sin \theta }\end{array}} \right.\).
  2. Si \(M\) est un point de coordonnées cartésiennes \(\left( {x;y} \right)\) distinct du point \(O\), alors ses coordonnées polaires sont \(r = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \), et l’angle q est donné par \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta = \frac{x}{r}}\\{\sin \theta  = \frac{y}{r}}\end{array}} \right.\).

Remarques :

  • La forme i- du théorème demande de connaître les valeurs remarquables des lignes trigonométriques. (Faire un tableau les rappelant).
  • La forme ii- du théorème demande de savoir résoudre des équations trigonométriques usuelles.
  • Résolution de l’équation \(a\cos x + b\sin x = c\) où \(\left( {a;b;c} \right) \in {\mathbb{R}^3}\) avec \(\left( {a;b} \right) \ne \left( {0;0} \right)\).
    *on divise par \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) qui est non nul car \(\left( {a;b} \right) \ne \left( {0;0} \right)\). L’équation s’écrit alors
    \(\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
    ** Si \(\left| c \right| > \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) pas de solution.
    *** Si \(\left| c \right| \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \), \(\exists \alpha \in \mathbb{R}\) tel que \(\cos \alpha  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) et \(\sin \alpha  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Exemple : résoudre l’équation \(\sqrt 3 \cos x + 3\sin x = 3\).

Exercice : Déterminer les coordonnées polaires du point \(M\) dont on donne les coordonnées cartésiennes \(\left( {\sqrt 3 ;1} \right)\) ; puis déterminer les coordonnées cartésiennes du point \({M_1}\) dont on donne les coordonnées polaires \(\left( {3; – \frac{\pi }{4}} \right)\).

Théorème : Pour tout nombre complexe\(z\), \(z\overline z  = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \) et \(\left| z \right| = \sqrt {z\bar z} \).

3°) Modules et arguments.

Définition : Soit \(z\) un nombre complexe non nul et \(M\) un point du plan complexe d’affixe \(z\) et \(\left( {r;\theta } \right)\) un couple de coordonnées polaires du point \(M\). On dit que :

  1. \(r\) est le module du complexe \(z\) et on note \(\left| z \right| = r\),
  2. \(\theta \) est un argument du complexe \(z\) et on note \(\theta = \arg \left( z \right){\rm{  }}\left[ {2\pi } \right]\).

Théorème : Soit \(z \in \mathbb{C}\) ; il existe un unique couple de réels \(x\) et \(y\) tels que \(z = x + iy\) et, on a :

  1. \({\left| z \right|^2} = z\overline z = {x^2} + {y^2}\)
  2. Si \(z \in \mathbb{R}\), module et valeur absolue coïncident avec, \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{si}}}&{z > 0}&{\arg \left( z \right) \equiv 0}&{\left[ {2\pi } \right]}\\{{\rm{si}}}&{z < 0}&{\arg \left( z \right) \equiv \pi }&{\left[ {2\pi } \right]}\end{array}} \right.\)
  3. Si \(z \in i\mathbb{R}\) alors \(\arg \left( z \right) \equiv \frac{\pi }{2}{\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\)

Propriétés : Soit \(z \in {\mathbb{C}^*}\).

  1. Si \(r = \left| z \right|\) et \(\theta = \arg \left( z \right){\rm{  }}\left[ {2\pi } \right]\) alors \(z = r\left( {\cos \theta  + i\sin \theta } \right)\),
  2. Si \(z = r\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)\) avec \(r > 0\) alors \(r = \left| z \right|\) et \(\theta  = \arg \left( z \right){\rm{  }}\left[ {2\pi } \right]\).

Définition : L’écriture \(z = r\left( {\cos \theta  + i\sin \theta } \right)\) où \(r > 0\) et \(\theta  \in \mathbb{R}\) est appelée forme trigonométrique du complexe \(z\).

Exemple : Quelle est la forme trigonométrique des nombres complexes suivants : \({z_1} =  – 1 + i\sqrt 3 \), \({z_2} = 2 + i\) et  \({z_3} =  – 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)\) ?
On a :  \({z_1} =  – 1 + i\sqrt 3  = \sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \left( {\frac{{ – 1}}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 2\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right)\)
\({z_2} = 2 + i = \sqrt 5 \left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }} + i\sin \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)\) c’est une forme trigonométrique (mais c’est tout !)
\({z_3} =  – 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)=2\left( {\cos \left( {\frac{\pi }{3} + \pi } \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{3} + \pi } \right)} \right)\)

Exemple : On donne le complexe \(z = r\left( {\cos \theta  + i\sin \theta } \right)\) où \(r > 0\). Déterminer la forme trigonométrique de \(\frac{1}{z}\).
On a \({\left| z \right|^2} = {r^2} = z \cdot \overline z  \Leftrightarrow z = \frac{{{r^2}}}{{\overline z }} \Leftrightarrow \frac{1}{z} = \frac{{\overline z }}{{{r^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{z} = \frac{1}{r}\left( {\cos \theta  – i\sin \theta } \right)\).

4°) Opérations sur les formes trigonométriques.

Théorème : Soit \(z = r\left( {\cos \theta  + i\sin \theta } \right)\) où \(r > 0\) et \(z’ = r’\left( {\cos \theta ‘ + i\sin \theta ‘} \right)\) où \(r’ > 0\).

  1. \(zz’ = rr’\left[ {\cos \left( {\theta + \theta ‘} \right) + i\sin \left( {\theta  + \theta ‘} \right)} \right]\),
  2. \(\frac{z}{{z’}} = \frac{r}{{r’}}\left[ {\cos \left( {\theta – \theta ‘} \right) + i\sin \left( {\theta  – \theta ‘} \right)} \right]\).

Démonstration :
Soit \(z \in {\mathbb{C}^*}\) et \(z’ \in {\mathbb{C}^*}\). Il existe \(\left( {r;\theta } \right) \in \mathbb{R}_ + ^* \times \mathbb{R}\) et \(\left( {r’;\theta ‘} \right) \in \mathbb{R}_ + ^* \times \mathbb{R}\) tel que :
\(z = r\left( {\cos \theta  + i\sin \theta } \right)\) et \(z’ = r’\left( {\cos \theta ‘ + i\sin \theta ‘} \right)\).
On a :
\(\begin{array}{l}z \times z’ = r \times r\left( {\cos \theta  + i\sin \theta } \right)\left( {\cos \theta ‘ + i\sin \theta ‘} \right)\\\quad \quad {\kern 1pt}  = r \times r\left[ {\left( {\cos \theta \cos \theta ‘ – \sin \theta \sin \theta ‘} \right) + i\left( {\cos \theta \sin \theta ‘ + \cos \theta \sin \theta ‘} \right)} \right]\\\quad \quad {\kern 1pt}  = r \times r\left[ {\cos \left( {\theta  + \theta ‘} \right) + i\sin \left( {\theta  + \theta ‘} \right)} \right]\end{array}\)
On a :
\(\begin{array}{l}\frac{z}{{z’}} = \frac{r}{{r’}}\frac{{\left( {\cos \theta  + i\sin \theta } \right)}}{{\left( {\cos \theta ‘ + i\sin \theta ‘} \right)}} = \frac{r}{{r’}} \times \frac{{\left( {\cos \theta  + i\sin \theta } \right)}}{{\left( {\cos \theta ‘ + i\sin \theta ‘} \right)}} \times \frac{{\left( {\cos \theta ‘ – i\sin \theta ‘} \right)}}{{\left( {\cos \theta ‘ – i\sin \theta ‘} \right)}}\\\quad \, = \frac{r}{{r’}} \times \frac{{\cos \left( {\theta  – \theta ‘} \right) + i\sin \left( {\theta  – \theta ‘} \right)}}{{\left( {{{\cos }^2}\theta ‘ + {{\sin }^2}\theta ‘} \right)}}\\\quad \, = r \times r\left[ {\cos \left( {\theta  – \theta ‘} \right) + i\sin \left( {\theta  – \theta ‘} \right)} \right]\end{array}\)

Corollaire :

Opérations Modules Arguments (\({\bf{z}}\) et \({\bf{z’}}\) non nuls)
Produit \(\left| {zz’} \right| = \left| z \right| \times \left| {z’} \right|\) \(\arg \left( {zz’} \right) = \arg \left( z \right) + \arg \left( {z’} \right){\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\)
Puissance \(\left| {{z^n}} \right| = {\left| z \right|^n}\) \(\arg \left( {zz’} \right) = \arg \left( z \right) + \arg \left( {z’} \right){\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\)
Inverse \(\left| {\frac{1}{z}} \right| = \frac{1}{{\left| z \right|}}\) \(\arg \left( {zz’} \right) = \arg \left( z \right) + \arg \left( {z’} \right){\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\)
Quotient \(\left| {\frac{z}{{z’}}} \right| = \frac{{\left| z \right|}}{{\left| {z’} \right|}}\) \(\arg \left( {\frac{z}{{z’}}} \right) = \arg \left( z \right) – \arg \left( {z’} \right){\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\)
Conjugué \(\left| {\overline z } \right| = \left| z \right|\) \(\arg \left( {\overline z } \right) =  – \arg \left( z \right){\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\)
Opposé \(\left| { – z} \right| = \left| z \right|\) \(\arg \left( { – z} \right) = \pi  + \arg \left( z \right){\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\)

Remarque :

  • Pour somme et différence utiliser la forme algébrique.
  • Pour produit et quotient utiliser la forme trigonométrique.

Démonstration :
Soit \(z\) et \(z’\) deux nombres complexes.

  • Produit
    \({\left| {zz’} \right|^2} = zz’ \times \overline {zz’} = zz’ \times \overline z \overline {z’}  = z\overline z  \times z’\overline {z’}  = {\left| z \right|^2} \times {\left| {z’} \right|^2}\). Le module d’un nombre complexe est positif, on en déduit donc \(\left| {zz’} \right| = \left| z \right| \times \left| {z’} \right|\).
  • Quotient
    Soit \(z \ne 0\). \(\left( {\left| {z \times \frac{1}{z}} \right| = 1} \right) \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| \times \left| {\frac{1}{z}} \right| = 1} \right) \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| = \frac{1}{{\left| z \right|}}} \right)\).
    On a alors :\(\left| {z \times \frac{1}{{z’}}} \right| = \left| z \right| \times \left| {\frac{1}{{z’}}} \right| = \frac{{\left| z \right|}}{{\left| {z’} \right|}}\)d’où le résultat.

Exemple : Calculer \({\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)^5}\).
Posons \(z = 1 + i\sqrt 3 \). On a \(z = 2\left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)\) d’où \({z^5}\) a pour module \({2^5}\) et pour argument \(\arg \left( {{z^5}} \right) = 5 \times \frac{\pi }{3}{\rm{  }}\left[ {2\pi } \right]\).
Donc \({\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)^5} = 32\left( {\cos \frac{{5\pi }}{3} + i\sin \frac{{5\pi }}{3}} \right) = 32\left( {\cos \left( {\frac{{6\pi  – \pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{{6\pi  – \pi }}{3}} \right)} \right) = 32\left( {\cos \left( { – \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)} \right)\)
Ce qui donne \({z^5} = 32\left( {\frac{1}{2} – i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 16\left( {1 – i\sqrt 3 } \right)\).

 

III- Notation exponentielle.

1°) Nombre complexe de module \(\bf{1}\).

Soit \(z\) un nombre complexe non nul. Sous forme trigonométrique, il peut s’écrire :
\(z = r\left( {\cos \theta  + i\sin \theta } \right)\) où \(r > 0\) et \(\theta  \in \mathbb{R}\).
Si on prend \(\left| z \right| = 1\), on a \(r = 1\) donc \(z = \cos \theta  + i\sin \theta \).
Considérons l’ensemble \(U = \left\{ {z \in \mathbb{C};\left| z \right| = 1} \right\}\) et soit \(f:\begin{array}{*{20}{c}}\mathbb{R}& \to &U\\\theta & \mapsto &{f\left( \theta  \right) = \cos \theta  + i\sin \theta }\end{array}\).

Théorème : La fonction \(f:\begin{array}{*{20}{c}}\mathbb{R}& \to &U\\\theta & \mapsto &{f\left( \theta  \right)}\end{array}\) vérifie \(\forall \left( {\theta ;\theta ‘} \right) \in {\mathbb{R}^2}\), \(f\left( {\theta  + \theta ‘} \right) = f\left( \theta  \right) \cdot f\left( {\theta ‘} \right)\).

Démonstration :
Soit \(\left( {\theta ;\theta ‘} \right) \in {\mathbb{R}^2}\),
\(\begin{array}{l}f\left( {\theta  + \theta ‘} \right) = \cos \left( {\theta  + \theta ‘} \right) + i\sin \left( {\theta  + \theta ‘} \right)\\\quad \quad \quad \quad  = \left( {\cos \theta \cos \theta ‘ – \sin \theta \sin \theta ‘} \right) + i\left( {\cos \theta \sin \theta ‘ + \sin \theta \cos \theta ‘} \right)\end{array}\)

Et \(\begin{array}{l}f\left( \theta  \right) \cdot f\left( {\theta ‘} \right) = \left( {\cos \left( \theta  \right) + i\sin \left( \theta  \right)} \right)\left( {\cos \left( {\theta ‘} \right) + i\sin \left( {\theta ‘} \right)} \right)\\\quad \quad \quad \quad \quad {\kern 1pt}  = \left( {\cos \theta \cos \theta ‘ – \sin \theta \sin \theta ‘} \right) + i\left( {\cos \theta \sin \theta ‘ + \sin \theta \cos \theta ‘} \right)\end{array}\)
Par unicité de l’écriture d’un nombre complexe écrit sous forme algébrique,

\(\forall \left( {\theta ;\theta ‘} \right) \in {\mathbb{R}^2}\), \(f\left( {\theta  + \theta ‘} \right) = f\left( \theta  \right) \cdot f\left( {\theta ‘} \right)\)

Remarque : La fonction \(f\) transforme les produits en somme.

Définition : Le complexe de module \(1\) dont un argument est \(\theta \) est noté \({e^{i\theta }}\) donc \(\forall \theta  \in \mathbb{R}\), \({e^{i\theta }} = \cos \theta  + i\sin \theta \).

2°) Cas général.

Soit \(z\) un nombre complexe non nul ; sa forme trigonométrique est \(z = r\left( {\cos \theta  + i\sin \theta } \right)\) où \(r > 0\) donc d’après 1°), \(z = r{e^{i\theta }}\) avec \(r > 0\) et \(\theta  \in \mathbb{R}\).

Définition : Soit \(z\) un nombre complexe non nul. On appelle forme exponentielle du complexe \(z\) l’écriture \(z = r{e^{i\theta }}\) avec \(r > 0\) et \(\theta  \in \mathbb{R}\) un argument de \(z\).

Exemple : \(z = 1 + i\) est la forme algébrique ; \(\left| z \right| = \sqrt 2 \) donc \(z = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)\) est la forme trigonométrique et \(z = \sqrt 2 {e^{i\frac{\pi }{4}}}\).

3°) Règles de calcul sur les exponentielles.

Théorème : Soit \(z\) et \(z’\) deux nombres complexes non nuls écrits sous forme exponentielle, c’est à dire, \(z = r{e^{i\theta }}\) avec \(r > 0\) et \(\theta  \in \mathbb{R}\), \(z’ = r'{e^{i\theta ‘}}\) avec \(r’ > 0\) et \(\theta ‘ \in \mathbb{R}\).

  • Produit : \(\left( {r{e^{i\theta }}} \right) \times \left( {r'{e^{i\theta ‘}}} \right) = rr'{e^{i\left( {\theta + \theta ‘} \right)}}\),
  • Quotient : \(\frac{{r{e^{i\theta }}}}{{r'{e^{i\theta ‘}}}} = \frac{r}{{r’}}{e^{i\left( {\theta – \theta ‘} \right)}}\),
  • Conjugué : \(\overline {r{e^{i\theta }}} = r{e^{ – i\theta }}\).
  • Egalité : \(\left( {r{e^{i\theta }} = r'{e^{i\theta ‘}}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{r = r’}\\{\theta = \theta ‘\left[ {2\pi } \right]}\end{array}} \right.\).

Exemples importants à connaître :

  1. \({e^{i0}} = 1\),
  2. \({e^{i\frac{\pi }{2}}} = i\),
  3. \({e^{i\pi }} = – 1\),
  4. \({e^{ – i\frac{\pi }{2}}} = – 1\).

Exemple 2 : On donne \(z = 2{e^{i\frac{\pi }{4}}}\) et \(z’ = 3{e^{ – i\frac{\pi }{3}}}\). Calculer le produit \(zz’\) et le quotient \(\frac{z}{{z’}}\).

Exercice : Soit \(\theta  \in \left] {0;\frac{\pi }{2}} \right[\). Donnez une forme exponentielle du complexe \(z = 1 + {e^{i\theta }}\).
On a \(z = \left( {1 + \cos \theta } \right) + i\sin \theta \) avec \(\left| z \right| = \sqrt {{{\left( {1 + \cos \theta } \right)}^2} + {{\sin }^2}\theta }  = \sqrt {2 + 2\cos \theta }  = \sqrt 2 \sqrt {1 + \cos \theta } \).
Or \(\forall \theta  \in \mathbb{R}\), \({\cos ^2}\theta  = \frac{{1 + \cos 2\theta }}{2}\) donc \(1 + \cos \theta  = 2{\cos ^2}\frac{\theta }{2}\) d’où \(\left| z \right| = 2\sqrt {{{\cos }^2}\frac{\theta }{2}}  = 2\left| {\cos \frac{\theta }{2}} \right|\) et comme\(\theta  \in \left] {0;\frac{\pi }{2}} \right[\)\(\cos \frac{\theta }{2} > 0\) d’où \(\left| z \right| = 2\cos \frac{\theta }{2}\).
Ainsi \(\begin{array}{l}z = 2\cos \frac{\theta }{2}\left( {\frac{{1 + \cos \theta }}{{2\cos \frac{\theta }{2}}} + i\frac{{\sin \theta }}{{2\cos \frac{\theta }{2}}}} \right) = 2\cos \frac{\theta }{2}\left( {\frac{{2{{\cos }^2}\frac{\theta }{2}}}{{2\cos \frac{\theta }{2}}} + i\frac{{2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}}{{2\cos \frac{\theta }{2}}}} \right) = 2\cos \frac{\theta }{2}\left( {\cos \frac{\theta }{2} + i\sin \frac{\theta }{2}} \right)\\\quad  = 2\cos \frac{\theta }{2}{e^{i\frac{\theta }{2}}}\end{array}\).
Ce qui fournit le module et un argument de \(z\).

4°) Formules de De Moivre et d’Euler.

Théorème : Soit \(\theta  \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}\).

  1. Formules de De Moivre :
    • \({\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)^n} = \cos n\theta  + i\sin n\theta \),
    • \({\left( {\cos \theta – i\sin \theta } \right)^n} = \cos n\theta  – i\sin n\theta \),
  2. Formules d’Euler :
    • \(\cos \theta = \frac{{{e^{i\theta }} + {e^{ – i\theta }}}}{2}\) et \(\sin \theta  = \frac{{{e^{i\theta }} – {e^{ – i\theta }}}}{{2i}}\).

Démonstration :

  1. Soit \(z\) un nombre complexe non nul de module \(1\). Il s’écrit sous forme trigonométrique \(z = \cos \theta + i\sin \theta \) c’est à dire encore sous forme exponentielle, \(z = {e^{i\theta }}\). Donc, pour \(n \in \mathbb{N}\) : \({z^n} = {\left( {{e^{i\theta }}} \right)^n} = {e^{in\theta }} = \cos n\theta  + i\sin n\theta \) ce qui donne la formule voulue.
  2. On a d’après la définition d’un nombre complexe écrit sous forme exponentielle : \(\forall \theta \in \mathbb{R}\), \({e^{i\theta }} = \cos \theta  + i\sin \theta \) et \({e^{ – i\theta }} = \cos \theta  – i\sin \theta \). Par addition et soustraction, on obtient les formules cherchées.

Application à la linéarisation :
Linéariser, consiste à exprimer \({\cos ^n}x\), \({\sin ^n}x\) ou une somme de termes \(A{\cos ^n}x{\sin ^n}x\) sous la forme d’une somme de termes \(a\cos px\) ou/et \(b\sin qx\) avec \(\left( {A;a;b} \right) \in {\mathbb{R}^3}\) et \(\left( {p;q;n} \right) \in {\mathbb{N}^3}\).

Remarquons que :

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{(a + b)}^0}}\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}1\end{array}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{(a + b)}^1}}\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}1\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}1\end{array}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{(a + b)}^2}}\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}1\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}2\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}1\end{array}\) \({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{(a + b)}^3}}\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}1\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}3\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}3\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}1\end{array}\) \({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{(a + b)}^4}}\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}1\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}4\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}6\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}4\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}1\end{array}\) \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{(a + b)}^5}}\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}1\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}5\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}{10}\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}{10}\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}5\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}1\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}{{{(a + b)}^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}}\end{array}\)

Exemple: \({\left( {a + b} \right)^6} = {a^6} + 6{a^{}}b + 15{a^4}{b^2} + 20{a^3}{b^3} + 15{a^2}{b^4} + 6a{b^5} + {b^6}\).

Exemple : linéariser \({\cos ^6}x\).

\(\begin{array}{l}{\cos ^6}x = {\left( {\cos x} \right)^6} = {\left( {\frac{{{e^{ix}} + {e^{ – ix}}}}{2}} \right)^6} = \frac{1}{{{2^6}}}{\left( {{e^{ix}} + {e^{ – ix}}} \right)^6}\\\quad \quad \;{\kern 1pt} \, = \frac{1}{{{2^6}}}\left( {{e^{6ix}} + 6{e^{5ix}}{e^{ – ix}} + 15{e^{4ix}}{e^{ – 2ix}} + 20{e^{3ix}}{e^{ – 3ix}} + 15{e^{2ix}}{e^{ – 4ix}} + 6{e^{ix}}{e^{ – 5ix}} + {e^{ – 6ix}}} \right)\\\quad \quad \;{\kern 1pt} \, = \frac{1}{{{2^6}}}\left( {{e^{6ix}} + 6{e^{4ix}} + 15{e^{2ix}} + 20 + 15{e^{ – 2ix}} + 6{e^{ – 4ix}} + {e^{ – 6ix}}} \right)\\\quad \quad \;{\kern 1pt} \, = \frac{1}{{{2^6}}}\left[ {\left( {{e^{6ix}} + {e^{ – 6ix}}} \right) + 6\left( {{e^{4ix}} + {e^{ – 4ix}}} \right) + 15\left( {{e^{2ix}} + {e^{ – 2ix}}} \right) + 20} \right]\\\quad \quad \;{\kern 1pt} \, = \frac{1}{{{2^6}}}\left( {2\cos 6x} \right) + 6 \times 2\cos 4x + 15 \times 2\cos 2x + 20\\\quad \quad \;{\kern 1pt} \, = \frac{1}{{32}}\cos 6x + \frac{3}{{16}}\cos 4x + \frac{{15}}{{32}}\cos 2x + \frac{5}{{16}}\end{array}\)

Faire de même avec \(\sin x{\cos ^3}x\).
Soit \(x \in \mathbb{R}\). On a \(\sin x = \left( {\frac{{{e^{ix}} – {e^{ – ix}}}}{{2i}}} \right)\) et \({\cos ^3}x = {\left( {\frac{{{e^{ix}} + {e^{ – ix}}}}{2}} \right)^3}\) ce qui donne,

\(\begin{array}{l}\sin x{\cos ^3}x = \left( {\frac{{{e^{ix}} – {e^{ – ix}}}}{{2i}}} \right){\left( {\frac{{{e^{ix}} + {e^{ – ix}}}}{2}} \right)^3} = \frac{1}{{{2^3} \times \left( {2i} \right)}}\left( {{e^{ix}} – {e^{ – ix}}} \right)\left( {{e^{3ix}} + 3{e^{2ix}}{e^{ – ix}} + 3{e^{ix}}{e^{ – 2ix}} + 1} \right)\\\quad \quad \quad \quad \,\; = \frac{1}{{{2^3} \times \left( {2i} \right)}}\left( {{e^{4ix}} + 3{e^{2ix}} + 3 + {e^{ – 2ix}} – {e^{2ix}} – 3 – 3{e^{ – 2ix}} – {e^{ – 4ix}}} \right)\\\quad \quad \quad \quad \,\; =  = \frac{1}{8}\left( {\frac{{{e^{4ix}} – {e^{ – 4ix}}}}{{2i}}} \right)\left( {\frac{{2{e^{2ix}} – 2{e^{ – 2ix}}}}{{2i}}} \right)\end{array}\)
\(\sin x{\cos ^3}x = \frac{1}{8}\left( {\sin 4x + 2\sin x} \right)\)

 

IV- Equation du second degré à une inconnue complexes et à coefficients réels.

1°) Formes canonique du trinôme du second degré.

Définition : On appelle équation du second degré à une inconnue complexe \(z\) et à coefficients réels toute équation de la forme \(a{z^2} + bz + c = 0\) où \((a;b;c) \in {\mathbb{R}^3}\) avec \(a \ne 0\).
Résoudre cette équation dans l’ensemble des nombres complexes \(\mathbb{C}\), c’est trouver l’ensemble des nombres complexes \(z\) qui vérifient cette équation. Toute solution est aussi appelée racine de l’équation.

Soit \(a \ne 0\).
\(\begin{array}{l}a{z^2} + bz + c = a\left( {{z^2} + \frac{b}{a}z + \frac{c}{a}} \right) = a\left[ {{z^2} + 2\frac{b}{{2a}}z + \frac{c}{a}} \right]\\\quad \quad \quad \quad \,\,\, = a\left[ {{{\left( {z + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} – \frac{{{b^2}}}{{2{a^2}}} + \frac{c}{a}} \right]\\\quad \quad \quad \quad \,\,\, = a\left[ {{{\left( {z + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} – \frac{{{b^2} – 4ac}}{{4{a^2}}}} \right]\end{array}\) 
Cette dernière expression est appelée forme canonique du trinôme du second degré.

Théorème : On considère l’équation du second degré \(a{z^2} + bz + c = 0\) où \(\left( {a;b;c} \right) \in {\mathbb{R}^3}\) avec \(a \ne 0\).

  1. Si \(\Delta > 0\), l’équation admet deux solutions réelles distinctes \({z_1} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta  }}{{2a}}\)et\({z_2} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta  }}{{2a}}\),
  2. Si \(\Delta = 0\), l’équation admet une solution réelle double \({z_0} =  – \frac{b}{{2a}}\),
  3. Si \(\Delta < 0\), l’équation admet deux solutions complexes conjuguées \({z_1} = \frac{{ – b – i\sqrt {\left| \Delta  \right|} }}{{2a}}\) ou \({z_2} = \frac{{ – b + i\sqrt {\left| \Delta  \right|} }}{{2a}}\)

Démonstration :
On a \(a{z^2} + bz + c = a\left[ {{{\left( {z + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} – \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right]\) or \(a \ne 0\) donc \(a{z^2} + bz + c = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} – {\rm{ }}\frac{\Delta }{{4{a^2}}} = 0\) c’est à dire \({\left( {z + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{\Delta }{{4{a^2}}}\).

  1. Si \(\Delta > 0\), on a \(\frac{\Delta }{{4{a^2}}} = {\left( {\frac{{ \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}} \right)^2}\) d’où \({\left( {z + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = {\left( { \pm \frac{{\sqrt \Delta  }}{{2a}}} \right)^2}\) c’est à dire \(z = \frac{{ – b – \sqrt \Delta  }}{{2a}}\) ou \(z = \frac{{ – b + \sqrt \Delta  }}{{2a}}\) ce qui donne bien deux solutions distinctes.
  2. Si \(\Delta = 0\), \({\left( {z + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = 0\) d’où \(z =  – {\rm{ }}\frac{b}{{2a}}\) dite solution double.
  3. Si \(\Delta < 0\) alors \(\frac{\Delta }{{4{a^2}}} < 0\) et l’équation \({\left( {z + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{\Delta }{{4{a^2}}}\) s’écrit \({\left( {z + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} =  – \frac{{\left| \Delta  \right|}}{{4{a^2}}}\) c’est à dire \({\left( {z + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \left( {i\frac{{\left| \Delta  \right|}}{{4{a^2}}}} \right)\) c’est à dire : \(z + \frac{b}{{2a}} =  – i\frac{{\sqrt {\left| \Delta  \right|} }}{{2a}}\) ou \(z + \frac{b}{{2a}} = i\frac{{\sqrt {\left| \Delta  \right|} }}{{2a}}\) ce qui donne \({z_1} = \frac{{ – b – i\sqrt {\left| \Delta  \right|} }}{{2a}}\) ou \({z_2} = \frac{{ – b + i\sqrt {\left| \Delta  \right|} }}{{2a}}\).

Exemple : Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \({x^2} + x + 1 = 0\).
On a \(\Delta  =  – 3 < 0\) donc l’équation admet deux racines complexes conjuguées \(z =  – \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) ou \(z =  – \frac{1}{2} – i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

En revenant à l’expression exponentielle, on peut écrire que \({z_1} = \mathop e\nolimits^{2i\frac{\pi }{3}} \) et \({z_2} = \mathop e\nolimits^{ – 2i\frac{\pi }{3}} \). On pose alors \(j = {e^{2i\frac{\pi }{3}}}\) et \(\overline j  = {e^{ – 2i\frac{\pi }{3}}}\). On vérifie alors que \({j^2} + j + 1 = 0\) avec \({j^2} = \overline j \).

Exercice : Résoudre dans \(\mathbb{C}\) :

  1. \(z = 2\overline z – 2 + 6i\) notée équation \(\left[ E \right]\).
  2. \(2z + i\overline z = 5 – 4i\)

Méthode de résolution : Pour résoudre ces équations du premier degré en \(z\) et \(\overline z \), on peut poser \(z = x + iy\) avec \(\left( {x;y} \right) \in {\mathbb{R}^2}\), ou bien résoudre un système composé de l’équation \(\left[ E \right]\) et de sa conjuguée.

  1. On pose \(z = x + iy\) avec \(\left( {x;y} \right) \in {\mathbb{R}^2}\).
    \(\begin{array}{l}\left[ E \right] \Leftrightarrow x + iy = 2x – 2iy – 2 + 6i \Leftrightarrow – x + 3iy =  – 2 + 6i\\\quad \,\;\, \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 2}\end{array}} \right.\end{array}\)
    d’où \(z = 2 + 2i\).
    Avec le système. \(\left[ E \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 2\overline z  – 2 + 6i}\\{\overline z  = 2z – 2 – 6i}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z – 2\overline z  =  – 2 + 6i}\\{ – 2z + \overline z  =  – 2 – 6i}\end{array}} \right.} \right.\) ce qui par combinaisons linéaires donne : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overline z  = 2 – 2i}\\{z = 2 + 2i}\end{array}} \right.\).
  2. On pose \(z = x + iy\) avec \(\left( {x;y} \right) \in {\mathbb{R}^2}\).
    \(\left[ E \right] \Leftrightarrow 2x + 2iy + ix + y = 5 – 4i \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y = 5}\\{x + 2y = – 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 3y = 13}\\{3x = 14}\end{array}} \right.} \right.\) d’où \(z = \frac{{14}}{3} – \frac{{13}}{3}i\).

Théorème :
Soit \(n\) un entier naturel non nul et \(P\) un polynôme de degré \(n\) en la variable complexe \(z\).
On note \(P\left( z \right) = {a_n}{z^n} + {a_{n – 1}}{z^{n – 1}} +  \cdots  + {a_1}z + {a_0}\) avec \(\left( {\forall i \in \left[ {0;n} \right]} \right)\left( {{a_i} \in {\mathbb{R}^{n + 1}}} \right)\) et \({a_n} \ne 0\).
Si le complexe \({z_0}\) est solution de l’équation \(P\left( z \right) = 0\) alors le complexe le complexe \(\overline {{z_0}} \) est aussi solution de l’équation \(P\left( z \right) = 0\).

Démonstration :
Soit \(P\) un polynôme non nul, de degré \(n\) à coefficients réels de la variable complexe \(z\).
Supposons que \(P\left( {{z_0}} \right) = 0\).
On a : \(\overline {P\left( {{z_0}} \right)}  = \overline {\sum\limits_{k = 0}^{k = n} {{a_k}z_0^k} }  = \sum\limits_{k = 0}^{k = n} {\overline {{a_k}z_0^k} }  = \sum\limits_{k = 0}^{k = n} {\overline {{a_k}} \overline {z_0^k} } \) mais comme \(\left( {\forall i \in \left[ {0;n} \right]} \right)\left( {{a_i} \in {\mathbb{R}^{n + 1}}} \right)\), on a alors \(\overline {{a_i}}  = {a_i}\), d’où :
\(\overline {P\left( {{z_0}} \right)}  = \sum\limits_{k = 0}^{k = n} {{a_k}\overline {z_0^k} }  = P\left( {\overline {{z_0}} } \right)\). Puisque \(P\left( {{z_0}} \right) = 0\) on a aussi \(\overline {P\left( {{z_0}} \right)}  = \overline 0  = 0\) donc \(P\left( {\overline {{z_0}} } \right) = 0\).

 

V- Application des nombres complexes à la géométrie.

1°) Affixe d’un vecteur.

On a vu qu’un nombre complexe \(z\) pouvait être caractérisé par un couple de réels \(\left( {x;y} \right)\). Il est donc naturel de représenter ce complexe dans un repère orthonormal \(\left( {O;\mathop {{e_1}}\limits^ \to  ;\mathop {{e_2}}\limits^ \to  } \right)\) par un point \(M\left( {x;y} \right)\) appelé image du complexe \(z\) que l’on peut représenter par un vecteur \(\overrightarrow {OM} \) qui est donc d’affixe \(z = x + iy\).

Définition :
L’affixe du vecteur \(\mathop u\limits^ \to  \) de coordonnées \(\left( {x;y} \right)\) est le complexe \({z_{\mathop u\limits^ \to  }} = x + iy\).

Théorème :
Soit \(A\) et \(B\) deux points d’affixe respective \({z_A}\) et \({z_B}\). Le vecteur \(\overrightarrow {AB} \) a pour affixe \({z_{\overrightarrow {AB} }} = {z_B} – {z_A}\).

Démonstration :
Dans le plan complexe muni d’un repère \(\left( {O;\mathop {{e_1}}\limits^ \to  ;\mathop {{e_2}}\limits^ \to  } \right)\), soit \(A\) d’affixe \({z_A}\) et \(B\) d’affixe \({z_B}\). On a : \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}  – \overrightarrow {OA} \) d’où \({z_{\overrightarrow {AB} }} = {z_{\overrightarrow {OB} }} – {z_{\overrightarrow {OA} }} = {z_B} – {z_A}\).

Corollaire :

  1. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même affixe.
  2. Si \(\mathop u\limits^ \to \) et \(\overrightarrow v \) sont deux vecteurs qui ont pour affixe respective \({z_{\overrightarrow u }}\) et \({z_{\mathop v\limits^ \to  }}\), le vecteur \(\mathop u\limits^ \to   + \mathop v\limits^ \to  \) a pour affixe \({z_{\mathop u\limits^ \to   + \mathop v\limits^ \to  }} = {z_{\mathop u\limits^ \to  }} + {z_{\mathop v\limits^ \to  }}\).
  3. Si \(\mathop u\limits^ \to \) a pour affixe  et \(\lambda \) est un réel, le vecteur \(\lambda \mathop u\limits^ \to  \) a pour affixe \(\lambda  \times {z_{\mathop u\limits^ \to  }}\).

2°) Distance \({AB}\) et angle orienté \(\left( {\overrightarrow{u} {;}\overrightarrow {{AB}} } \right)\).

  • Soit \(\overrightarrow {AB} \) un vecteur et \(M\) un point tel que \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OM} \). Comme ces deux vecteurs sont égaux, ils ont même affixe, c’est-à-dire \({z_M} = {z_B} – {z_A}\).
    Or \(\left| {{z_M}} \right| = OM\) et \(OM = AB\) donc \(AB = \left| {{z_B} – {z_A}} \right|\).
  • Si \(A \ne B\) alors \(\overrightarrow {AB} \ne \mathop 0\limits^ \to  \) donc \(\overrightarrow {OM}  \ne \mathop 0\limits^ \to  \) et
    \(\begin{array}{l}\arg \left( {{z_M}} \right) \equiv \left( {\overrightarrow {{e_1}} ,\overrightarrow {OM} } \right)\left[ {2\pi } \right]\\\quad \quad \quad \;\, \equiv \left( {\mathop {{e_1}}\limits^ \to  ,\overrightarrow {AB} } \right)\left[ {2\pi } \right]\end{array}\)
    car \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OM} \)
    mais \(\arg \left( {{z_M}} \right) \equiv \arg \left( {{z_B} – {z_A}} \right)\left[ {2\pi } \right]\) donc \(\arg \left( {{z_B} – {z_A}} \right) \equiv \left( {\mathop {{e_1}}\limits^ \to  ,\overrightarrow {AB} } \right)\left[ {2\pi } \right]\).

Théorème :

Soit \(ABCD\) quatre points distincts d’affixes respectives \({z_A}\), \({z_B}\), \({z_C}\) et \({z_D}\) avec \({z_A} \ne {z_B}\) et \({z_C} \ne {z_D}\) . On a :
\(\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) \equiv \arg \left( {\frac{{{z_D} – {z_C}}}{{{z_B} – {z_A}}}} \right)\left[ {2\pi } \right]\).
Démonstration :
\(\begin{array}{l}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) \equiv \left( {\overrightarrow {AB} ,\mathop {{e_1}}\limits^ \to  } \right) + \left( {\mathop {{e_1}}\limits^ \to  ,\overrightarrow {CD} } \right){\rm{  }}\left[ {2\pi } \right]\\\quad \quad \quad \quad  \equiv \left( {\mathop {{e_1}}\limits^ \to  ,\overrightarrow {CD} } \right) – \left( {\mathop {{e_1}}\limits^ \to  ,\overrightarrow {AB} } \right){\rm{  }}\left[ {2\pi } \right]\\\quad \quad \quad \quad  \equiv \arg \left( {{z_D} – {z_C}} \right) – \arg \left( {{z_B} – {z_A}} \right){\rm{  }}\left[ {2\pi } \right]\end{array}\)
donc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) \equiv \arg \left( {\frac{{{z_D} – {z_C}}}{{{z_B} – {z_A}}}} \right){\rm{  }}\left[ {{\rm{2}}\pi } \right]\)

Remarques :

  1. \(\arg \left( {\frac{{{z_D} – {z_C}}}{{{z_B} – {z_A}}}} \right) \equiv 0{\rm{ \; ou \;  }}\pi {\rm{ }}\left[ {2\pi } \right] \Leftrightarrow {\rm{les \; vecteurs \; }}\overrightarrow {{\rm{AB \; }}} {\rm{ et \; }}\overrightarrow {{\rm{CD\; }}} {\rm{ sont \; colinéaires}}\).
  2. \(\arg \left( {\frac{{{z_D} – {z_C}}}{{{z_B} – {z_A}}}} \right) \equiv \frac{\pi }{2}{\rm{ }}\left[ \pi  \right] \Leftrightarrow {\rm{les\; vecteurs\; }}\overrightarrow {AB\; } {\rm{ et\; }}\overrightarrow {{\rm{CD\; }}} {\rm{ sont \; orthogonaux}}\) .

Exemple :
Soit \(A\), \(B\) et \(C\) trois points d’affixes respectives \(a = 2\), \(b =  – 1 + i\) et \(c = 1 – 3i\) . Démontrer que le triangle \(ABC\) est un triangle rectangle isocèle en \(A\).
Pour ce faire, il faut montrer que \(\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{\pi }{2}\left[ \pi  \right]\) et \(AB = AC\) .

On a
\(\begin{array}{l}\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) \equiv \arg \left( {\frac{{{z_C} – {z_D}}}{{{z_B} – {z_A}}}} \right){\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\\\quad \quad \quad \quad  \equiv \arg \left( {\frac{{1 – 3i – 2}}{{ – 1 + i – 2}}} \right){\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\\\quad \quad \quad \quad  \equiv \arg \left( i \right){\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\\\quad \quad \quad \quad  \equiv \frac{\pi }{2}\left[ {2\pi } \right]\end{array}\)
Donc \(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\).
De plus, \(AB = \left| {{z_B} – {z_A}} \right| = \left| { – 3 – i} \right| = \sqrt {10} \)
Et \(AC = \left| {{z_C} – {z_A}} \right| = \left| { – 1 – 3i} \right| = \sqrt {10} \)
Donc \(AB = AC\)
Ce qui prouve finalement que \(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\) direct.

Exercice : identité du parallélogramme.

  1. Montrer que pour tout nombre complexe \(z\) et \(z’\), on a \({\left| {z + z’} \right|^2} + {\left| {z – z’} \right|^2} = 2\left( {{{\left| z \right|}^2} + {{\left| {z’} \right|}^2}} \right)\).
  2. Interpréter géométriquement le résultat trouvé si on considère un parallélogramme \(ABCD\).

 

  1. Soit \(z\) et \(z’\) deux nombres complexes. On a :
    \(\begin{array}{l}{\left| {z + z’} \right|^2} + {\left| {z – z’} \right|^2} = \left( {z + z’} \right) \times \left( {\overline z + \overline {z’} } \right) + \left( {z – z’} \right) \times \left( {\overline z  – \overline {z’} } \right) = z\overline z  + z\overline {z’}  + z’\overline z  + z’\overline {z’}  + z\overline z  – z\overline {z’}  – z’\overline z  + z’\overline {z’} \\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\,\, = 2z\overline z  + 2z’\overline {z’}  = 2\left( {z\overline z  + z’\overline {z’} } \right) = 2\left( {{{\left| z \right|}^2} + {{\left| {z’} \right|}^2}} \right)\end{array}\)
    Donc, \(\left( {\forall z \in \mathbb{C}} \right)\left( {\forall z’ \in \mathbb{C}} \right):\left( {{{\left| {z + z’} \right|}^2} + {{\left| {z – z’} \right|}^2} = 2\left( {{{\left| z \right|}^2} + {{\left| {z’} \right|}^2}} \right)} \right)\).
  2. Soit \(ABCD\)un parallélogramme et posons \(z = {z_{\overrightarrow {AB} }}\) et \(z’ = {z_{\overrightarrow {BC} }}\). L’égalité précédente s’écrit :
    \(\begin{array}{l}\quad \,{\kern 1pt} {\left| {{z_{\overrightarrow {AB} }} + {z_{\overrightarrow {BC} }}} \right|^2} + {\left| {{z_{\overrightarrow {AB} }} – {z_{\overrightarrow {BC} }}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_{\overrightarrow {AB} }}} \right|}^2} + {{\left| {{z_{\overrightarrow {BC} }}} \right|}^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {\left| {{z_{\overrightarrow {AC} }}} \right|^2} + {\left| {{z_{\overrightarrow {AB} }} – {z_{\overrightarrow {DA} }}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_{\overrightarrow {AB} }}} \right|}^2} + {{\left| {{z_{\overrightarrow {BC} }}} \right|}^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {\left| {{z_{\overrightarrow {AC} }}} \right|^2} + {\left| {{z_{\overrightarrow {DB} }}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_{\overrightarrow {AB} }}} \right|}^2} + {{\left| {{z_{\overrightarrow {BC} }}} \right|}^2}} \right)\\ \Leftrightarrow A{C^2} + D{C^2} = 2\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right)\end{array}\)
    La somme des carrés des longueurs des diagonales d’un parallélogramme est égale au double de la somme des carrés des longueurs de deux côtés consécutifs du parallélogramme.

3°) Caractérisation d’ensembles de points.

Définition :
Soit \(r \in \mathbb{R}_ + ^*\) et \(\Omega \) un point du plan complexe d’affixe \(\omega \). L’ensemble \(\Gamma \) des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(\left| {z – \omega } \right| = r\) est le cercle de centre \(\Omega \) et de rayon \(r\).

Définition :
Soit \(A\) et \(B\) deux points distincts d’affixes respectives \(a\) et \(b\). L’ensemble \(\Delta \) des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(\left| {z – a} \right| = \left| {z – b} \right|\) est la médiatrice du segment \(\left[ {AB} \right]\).

Exemple : Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\left| {\frac{{z – 2i}}{{z + 1}}} \right| = 1\).
\(\left| {\frac{{z – 2i}}{{z + 1}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {z – 2i} \right| = \left| {z + 1} \right|}\\{z \ne  – 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {z – \left( {2i} \right)} \right| = \left| {z – \left( { – 1} \right)} \right|}\\{z \ne  – 1}\end{array}} \right.\).
L’ensemble des points cherchés est la médiatrice du segment \(\left[ {AB} \right]\) où \({A_{\left( {2i} \right)}}\)et \({B_{\left( { – 1} \right)}}\).

 

IV- Ecritures complexes de transformations (HR).

a- Une petite introduction sur quelques transformations du plan.

Définition :
On appelle transformation du plan, toute application bijective du plan dans lui-même qui, à un point \(M\) du plan associe un unique point \(M’\).

Avec la notation des fonctions,\(f:\begin{array}{*{20}{c}}\wp & \to &\wp \\M& \mapsto &{M’ = f\left( M \right)}\end{array}\).

Exemples :
La translation de vecteur \(\mathop u\limits^ \to  \) notée \({t_{\mathop u\limits^ \to  }}\), la symétrie centrale de centre \(\Omega \) notée \({s_\Omega }\), la symétrie axiale d’axe \(\Delta \) notée \({s_\Delta }\), la rotation de centre \(\Omega \) et d’angle (orienté) \(\theta \) sont des transformations du plan.

On trouve aussi une autre transformation du plan appelée homothétie définie de la façon suivante :

Définition :
On appelle homothétie de centre \(\Omega \) et de rapport \(k \in \mathbb{R} – \left\{ { – 1;0} \right\}\) toute transformation du plan dans lui-même qui, à un point \(M\) associe l’unique point \(M’\) tel que \(\overrightarrow {\Omega M’}  = k\overline {\Omega M} \).
L’homothétie de centre \(\Omega \) et de rapport \(k\) est notée \(H\left( {\Omega ;k} \right)\). Le point \(M’\) est appelé homothétique du point \(M\).

Propriétés :
Étant donné un point \(\Omega \) et \(k \in \mathbb{R}_ + ^* – \left\{ 1 \right\}\), \(\Omega \) est le seul point invariant (par l’homothétie de centre de et de rapport \(k\)).
Les homothéties de rapport \(k > 0\) multiplient les distances par \(k\).

  • Si \(k > 1\), l’effet d’une homothétie de rapport \(k\) sur une distance est celui d’un agrandissement.
  • Si \(0 < k < 1\), l’effet d’une homothétie sur une distance est celui d’une réduction.

Les homothéties de rapport \(k \ne 1\) ne conservent pas les distances.

b- Ecriture complexe de certaines transformations du plan.

On munit le plan muni d’un repère orthonormal direct \(\left( {O;\mathop {{e_1}}\limits^ \to  ;\mathop {{e_2}}\limits^ \to  } \right)\).
Soit \(a\) et \(b\) deux nombres complexes avec \(a \ne 0\) et on considère \(f\) la fonction de \(\mathbb{C}\) dans \(\mathbb{C}\) qui, au point \(M\) d’affixe \(z\) associe le point \(M’\) d’affixe \(z’\) tel que \(z’ = az + b\).
Ainsi, \(f:\begin{array}{*{20}{c}}{\mathbb{C} \to \mathbb{C}{\rm{            }}}\\{z \mapsto z’ = az + b}\end{array}\).
Le but est d’étudier la fonction \(f\), c’est-à-dire de déterminer la transformation du plan associée à \(f\).

  • Montrons que \(f\) est une bijection de \(\mathbb{C}\) dans \(\mathbb{C}\).
    Pour tout \(z’\) de \(\mathbb{C}\), on a \(\left( {z’ = az + b} \right) \Leftrightarrow \left( {az = z’ – b} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits_{a \ne 0} \left( {z = \frac{{z’ – b}}{a}} \right)\).
    Ainsi tout complexe \(z’\) admet un antécédent et un seul, à savoir \(z = \frac{1}{a}z’ – \frac{b}{a}\).
  • Déterminons le ou les points fixes de \(f\).
    Si \(f\) admet un point fixe, on a :

1°) Le cas \({a = 1}\).

Si \(a = 1\), il vient \(\left( {z’ = z + b} \right) \Leftrightarrow z’ – z = b\) c’est-à-dire que \(z’ – z\) est l’affixe du vecteur \(\overrightarrow {MM’} \) et \(b\) l’affixe d’un point, appelons le \(B\), tel que \(\overrightarrow {MM’}  = \overrightarrow {OB} \). Ainsi, \(M’\) est l’image du point \(M\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow {OB} \).

Théorème :
Soit \({M_{\left( z \right)}}\), \({M’_{\left( {z’} \right)}}\) et \({B_{\left( b \right)}}\). La transformation du plan \(f:\begin{array}{*{20}{c}}\wp & \to &\wp \\M& \mapsto &{M’}\end{array}\) tel que \(z’ = z + b\) est la translation de vecteur \(\overrightarrow {OB} \).

Exemple :
Soit \(M\left( {2\;;3} \right)\) et \(\mathop u\limits^ \to  \left( { – 2;1} \right)\). Déterminer l’affixe du point \(M\) par la translation de vecteur \(\mathop u\limits^ \to  \).
Soit \(M’ = {t_{\mathop u\limits^ \to  }}\left( M \right)\) ; on a : \(\overrightarrow {MM’}  = \mathop u\limits^ \to   \Leftrightarrow z’ = z + {z_{\mathop u\limits^ \to  }} \Leftrightarrow z = z’ – 2i + 1\) d’où \(z’ = 4i\).

2°) Le cas \({a} \in \mathbb{R}{ – }\left\{ {{ – 1}} \right\}\) .

Cherchons si l’application définie précédemment admet un point fixe \(\Omega \) c’est-à-dire un point d’affixe \(\omega \) vérifiant \(f\left( \omega  \right) = \omega \).
Si un tel point existe, il vérifie \(\omega  = a\omega  + b \Leftrightarrow \left( {1 – a} \right)\omega  = b\). Or \(a \in \mathbb{R} – \left\{ { – 1} \right\}\). Donc \(\omega  = \frac{b}{{1 – a}}\).
Réciproquement, soit \(\Omega \) d’affixe \(\omega  = \frac{b}{{1 – a}}\). On a \(a\omega  + b = a \times \frac{b}{{1 – a}} + b = \frac{b}{{1 – a}} = \omega \) et donc \(\Omega \) est bien un point fixe pour \(f\).

A ce stade, les transformations du plan qui admettent un point fixe (au moins) sont les symétries axiales, les rotations ou les homothéties.
Des relations :            \(z’ = az + b\)
Et \(\omega  = a\omega  + b\), par soustraction \(z’ – \omega  = a\left( {z – \omega } \right)\) soit \(\overrightarrow {\Omega M’}  = a \times \overrightarrow {\Omega M} \) ce qui montre que \(f\) est une homothétie de centre \(\Omega \) et de rapport \(a\).

Théorème :
Soit \({M_{\left( z \right)}}\), \({M’_{\left( {z’} \right)}}\) et \(a \in {\mathbb{R}^*} – \left\{ 1 \right\}\). La transformation du plan \(f:\begin{array}{*{20}{c}}\wp & \to &\wp \\M& \mapsto &{M’}\end{array}\) tel que \(z’ = az + b\) est l’homothétie de centre \(\Omega \) d’affixe \(\frac{b}{{1 – a}}\) et de rapport \(a\).

Exemple : Déterminer les éléments caractéristiques de l’application \(f\) définie pour tout complexe \(z\) par \(z’ =  – 2z + 3i\).

3°) Le cas \({a} \in {\mathbb{C}^{*}}\) et \(\left| {a} \right|{ = 1}\).

Comme précédemment, on montre que le point \(\Omega \) d’affixe \(\omega  = \frac{b}{{1 – a}}\) est un point fixe pour \(f\) et on a \(z’ – \omega  = a\left( {z – \omega } \right)\).
Pour \(M\) distinct de \(\Omega \) (c’est-à-dire \(\omega  \ne z\)), on a : \(\frac{{z’ – \omega }}{{z – \omega }} = a\). Le passage au module implique \(\frac{{z’ – \omega }}{{z – \omega }} = a\) ce qui s’écrit \(\frac{{\Omega M’}}{{\Omega M}} = 1\) soit \(\Omega M = \Omega M’\) ce qui montre la conservation des distances.
A ce stade, \(f\) est soit une symétrie centrale, soit une rotation.
De plus, \(\arg \left( {\frac{{z’ – \omega }}{{z – \omega }}} \right) \equiv \arg \left( a \right){\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\) mais comme \(a\) est un complexe de module \(1\), il existe un réel \(\theta \) tel que \(a = {e^{i\theta }}\) et donc \(\arg \left( {\frac{{z’ – \omega }}{{z – \omega }}} \right) \equiv \theta {\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\).
Par ailleurs,
\(\begin{array}{l}\arg \left( {\frac{{z’ – \omega }}{{z – \omega }}} \right) \equiv \arg \left( {z’ – \omega } \right) – \arg \left( {z – \omega } \right){\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\\\quad \quad \quad \quad \quad {\kern 1pt}  \equiv \left( {\mathop {{e_1}}\limits^ \to  ;\overrightarrow {\Omega M’} } \right) – \left( {\mathop {{e_1}}\limits^ \to  ;\overrightarrow {\Omega M} } \right){\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\\\quad \quad \quad \quad \quad {\kern 1pt}  \equiv \left( {\overrightarrow {\Omega M} ;\overrightarrow {\Omega M’} } \right){\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\end{array}\)
Ainsi, \(\left( {\overrightarrow {\Omega M} ;\overrightarrow {\Omega M’} } \right) \equiv \theta {\rm{ }}\left[ {{\rm{2}}\pi } \right]\) ce qui prouve que \(f\) est une rotation de centre \(\Omega \) et d’angle \(\arg \left( a \right)\).

Théorème :
Soit \({M_{\left( z \right)}}\), \({M’_{\left( {z’} \right)}}\) et \(a \in {\mathbb{C}^*}\) avec \(\left| a \right| = 1\). La transformation du plan \(f:\begin{array}{*{20}{c}}\wp & \to &\wp \\M& \mapsto &{M’}\end{array}\) tel que \(z’ = az + b\) est la rotation de centre \(\Omega \) d’affixe \(\frac{b}{{1 – a}}\) et d’angle \(\arg \left( a \right)\).

En résumé :

\({a}\) Nature de \({f}\) Ecriture
\(a = 1\) Translation de vecteur \(\mathop u\limits^ \to  \) d’affixe \(b\) \(z’ = z + b\)
\(a \in {\mathbb{R}^ * } – \left\{ 1 \right\}\) Homothétie \(H\left( {{\Omega _{\left( {\omega  = \frac{b}{{1 – a}}} \right)}};k = a} \right)\) \(z’ – \omega  = a\left( {z – \omega } \right)\)
\(a \in {\mathbb{C}^ * }\) avec \(\left| a \right| = 1\) Rotation \(H\left( {{\Omega _{\left( {\omega  = \frac{b}{{1 – a}}} \right)}};\theta  = \arg \left( a \right)} \right)\) \(z’ – \omega  = {e^{i\theta }}\left( {z – \omega } \right)\)

ou

\(z’ = {e^{i\theta }}z + b\)