5 – Calcul matriciel

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C’est James Sylvester qui en \(1850\) introduit le terme de matrice, désignant ainsi un tableau rectangulaire de nombres.

Par la suite Arthur Cayley pose les bases du calcul matriciel en étudiant principalement les matrices carrées d’ordre \(3\) .

I- Notion de matrice.

1°) Généralités.

Définition 1 : Soit \(m\) et \(n\) deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice de dimension (ou format) \(m \times n\) un tableau de nombres comportant \(m\) lignes et \(n\) colonnes.
On note \({a_{ij}}\) le réel situé à l’intersection de la \(i\)ème ligne et \(j\)ème colonne.
La matrice peut être écrite sous la forme \({\left( {{a_{ij}}} \right)_{\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le i \le m}\\{1 \le j \le n}\end{array}}}\) .

Exemple 1 : Les notes d’un élève en mathématiques, français, Histoire Géographie et LV1 peuvent être décrites sous la forme d’une matrice \(A = \left( {10;12;7;9} \right)\) de dimension \(1 \times 4\) ; on parle alors de vecteur ligne.

Exemple 2 : Les notes de deux élèves en mathématiques, français, Histoire Géographie et LV1 peuvent être décrites sous la forme d’une matrice \(2 \times 4\), à savoir :
\(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{10}&{12}&7\\7&4&{11}\end{array}} \right)\). \({b_{13}} = 7\) est la note en LV1 de l’élève \(1\) ; \({b_{22}} = 4\) celle d’HG de l’élève \(2\).

Définition 2 : Une matrice ne contenant qu’une ligne (respectivement une colonne) est appelée matrice ligne (resp. colonne) ou vecteur ligne (resp. colonne).

Définition 3 : On appelle matrice carrée, une matrice où le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes (\(m = n\)). On parle de matrice carrée d’ordre\(n\).

Exemple 3 :

Math Français
Elève \({\bf{1}}\) \(10\) \(12\)
Elève \({\bf{2}}\) \(7\) \(4\)

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{10}&{12}\\7&4\end{array}} \right)\)

Définition 4 : On appelle matrice diagonale, une matrice carrée dans laquelle \({a_{ij}} = 0\) \(\forall i \ne j\) avec \(\left( {i;j} \right) \in {\left[ {\left[ {1;\,n} \right]} \right]^2}\,\).

Exemple 4 : \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{5}}&{\bf{0}}&{\bf{0}}\\{\bf{0}}&{ – {\bf{3}}}&{\bf{0}}\\{\bf{0}}&{\bf{0}}&{\bf{2}}\end{array}} \right)\).

Remarque : Si de plus, tous les termes diagonaux sont égaux à \(1\), c’est à dire \({a_{ii}} = 1\) avec \(1 \le i \le n\), on parle de matrice unité (ou identité). Lorsqu’elle est carrée d’ordre\(n\), on la note \({I_n}\).

Définition 5 : On appelle matrice nulle, la matrice dont tous les termes sont nuls.

Définition 6 : On appelle transposée d’une matrice \(A\) de dimension \(m \times n\), la matrice notée \({A^T}\), de dimension \(m \times n\), dont les lignes sont les colonnes de \(A\).

Exemple 5 : \(A = \left( {10;1;7;9} \right)\) ainsi \({A^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{10}\\{12}\\7\\9\end{array}} \right)\) ; \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{10}&{12}&7&9\\7&4&{11}&{13}\end{array}} \right)\) et \({B^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{10}&7\\{12}&4\\7&{11}\\9&{13}\end{array}} \right)\).

Propriété de l’opération de transposition :

  • L’opération de transposition est linéaire :
    \(\forall \left( {A;B} \right) \in {({M_{(m;n)}}(\mathbb{R}))^2},\forall \lambda \in \mathbb{R}:{\left( {A + B} \right)^T} = {A^T} + {B^T}\,{\rm{et}}\,{\left( {\lambda  \times A} \right)^T} = \lambda  \times {A^T}\)
  • L’opération de transposition est une involution, \({\left( {{A^T}} \right)^T} = A\)
  • \({\left( {A \times B} \right)^T} = {B^T} \times {A^T}\)
  • \({\left( {{A^{ – 1}}} \right)^T} = {\left( {{A^T}} \right)^{ – 1}}\)

2°) Egalité de deux matrices.

Théorème : Deux matrices \(A\) et \(B\) sont égales si et seulement si :

  • elles ont même dimension et,
  • les éléments situés à la même place dans \(A\) et dans \(B\) sont égaux.

Exemple 6 :\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – \frac{7}{{14}}}\\{\frac{2}{4}}&{\frac{1}{{10}}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 0,5}\\{0,5}&{0,1}\end{array}} \right)\) ; \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\\e&f\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 3}\\5&2\\0&6\end{array}} \right) \Leftrightarrow \left( {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{c = 5}\\{e = 0}\end{array}{\rm{  et }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b =  – 3}\\{d = 2}\\{f = 6}\end{array}} \right.{\rm{ }}} \right.} \right)\).

Exercice :
On pose \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}}&1\\0&{{y^2}}\end{array}} \right)\) et \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&1\\0&9\end{array}} \right)\). Trouvez les valeurs de \(x\) et \(y\) pour lesquelles \(A = B\).
On a \(A = B \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 4}\\{{y^2} = 9}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}&{{\rm{ou}}}&{x =  – 2}\\{y = 3}&{{\rm{ou}}}&{y =  – 3}\end{array}} \right.\) ce qui donne \(4\) matrices.

 

II- Addition et multiplication par un réel.

1°) Addition de deux matrices de même format.

Définition 8 : La somme de deux matrices \(A\) et \(B\) de même dimension est la matrice obtenue en ajoutant les éléments de \(A\) et \(B\) situés à la même place. \(A + B\) est alors une matrice de même format que les matrices \(A\) et \(B\).

Exemple 7 : Les ventes du magasin Sport en raquettes de tennis, surfs et planches à voile dans ses succursales \(1\) et \(2\) sont :
Le \(4\) juillet \(2000\) : \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{12}&7\\8&5\\3&2\end{array}} \right)\) et le \(5\) juillet \(2000\) : \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}9&5\\9&2\\4&0\end{array}} \right)\).
Le bilan des ventes les \(4\) et \(5\) juillet \(2000\) est \(C = A + B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{21}&{12}\\{17}&7\\7&2\end{array}} \right)\).

2°) Multiplication d’une matrice par un réel.

Définition 9 : Le produit d’une matrice \(A\) par un réel \(k\) est la matrice \(kA\) de même dimension que la matrice \(A\), obtenue en multipliant chaque élément de \(A\) par le réel \(k\).

Exemple 8 : Le \(6\) juillet \(2000\), toutes les ventes ont augmentée de \(100\% \) par rapport au jour précédent. Quel le bilan des vente le \(6\) juillet \(2000\) ?
\(D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2 \times 9}&{2 \times 5}\\{2 \times 9}&{2 \times 2}\\{2 \times 4}&{2 \times 0}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{18}&{10}\\{18}&4\\8&0\end{array}} \right)\).

Attention. La division par un réel non nul n’existe pas ; on multiplie la matrice par l’inverse de ce réel.

Exercice : On donne \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}x&5\\0&{2x}\end{array}} \right)\) et \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}y&7\\{ – 1}&{3y}\end{array}} \right)\).

1°) Trouver \(x\) et \(y\) pour que \(A + B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&{12}\\{ – 1}&{17}\end{array}} \right)\).

2°) Trouver \(x\) et \(y\) pour que \(2A – 4B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 5}&{ – 18}\\4&{ – 16}\end{array}} \right)\).

 

1°) \(A + B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y}&{12}\\{ – 1}&{2x + 3y}\end{array}} \right)\) et

\(\begin{array}{l}A + B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&{12}\\{ – 1}&{17}\end{array}} \right) \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y}&{12}\\{ – 1}&{2x + 3y}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&{12}\\{ – 1}&{17}\end{array}} \right)\\\quad \quad \,\,\,\quad \quad \quad \quad \quad  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 4}\\{2x + 3y = 17}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  – 5}\\{y = 9}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)

2°) \(2A – 4B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2x}&{10}\\0&{4x}\end{array}} \right) – \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{4y}&{28}\\{ – 4}&{12y}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2x – 4y}&{ – 18}\\4&{4x – 12y}\end{array}} \right)\) ainsi, \(2A – 4B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 5}&{ – 18}\\4&{ – 16}\end{array}} \right)\) si et seulement si \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2x – 4y}&{ – 18}\\4&{4x – 12y}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 5}&{ – 18}\\4&{ – 16}\end{array}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x – 4y =  – 5}\\{4x – 12y =  – 16}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\).

3°) Propriétés de l’addition de deux matrices et de la multiplication d’une matrice par un réel.

Théorème : Soit\(A\), \(B\) et \(C\) trois matrices de même format et soit \(k\) et \(k’\) deux réels.

  • \(A + B = B + A\) Commutativité.
  • \(\left( {A + B} \right) + C = A + \left( {B + C} \right)\)              Associativité.
  • \(k \cdot \left( {A + B} \right) = k \cdot A + k \cdot B\) Distributivité à gauche de la multiplication par rapport à l’addition.
  • \(\left( {k + k’} \right) \cdot A = k \cdot A + k’ \cdot A\).
  • \(k\left( {k’ \cdot A} \right) = \left( {k \cdot k’} \right) \cdot A\).

Exemple 9 : On donne \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{ – 5}&6\end{array}} \right)\) et \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 1}\\0&5\end{array}} \right)\). Résoudre l’équation matricielle en \(X\;\) : \(2\left( {A + X} \right) – B = 3B – A\).

\(2\left( {A + X} \right) – B = 3B – A \Leftrightarrow X = \frac{1}{2}\left( {4B – 3A} \right) \Leftrightarrow X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}}&{ – 5}\\{ – \frac{{15}}{2}}&1\end{array}} \right)\).

Exercice : On donne \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ – 3}\\2&0\end{array}} \right)\) et \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}&0\\{\sqrt 2 }&{ – \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right)\).

1°) Calculer la matrice \(M = 4A + B\sqrt 2 \).
2°) Déterminer la matrice \(X\) telle que \(X – A = B\sqrt 2 \)

 

III- Produit matriciel.

1°) Multiplication d’une matrice ligne par une matrice colonne.

Définition :
Soit \(n\) un entier naturel non nul et soit \(A = {\left( {{a_{1j}}} \right)_{1 \le j \le n}}\) une matrice uniligne et \(B = {\left( {{b_{i1}}} \right)_{1 \le i \le n}}\) une matrice unicolonne.
La multiplication de la matrice \(A\) par la matrice \(B\) dans cet ordre, est la matrice produit à \(1\) ligne et \(1\) colonne définie par :
\(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{11}}}\\{{b_{21}}}\\ \vdots \\{{b_{n1}}}\end{array}} \right) = {a_{11}}{b_{11}} + {a_{12}}{b_{21}} +  \cdots  + {a_{1n}}{b_{n1}} = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{1k}}{b_{k1}}} \)

2°) Produit de deux matrices.

Définition : Soit \(A \in M\left( {m;n} \right)\) et \(B \in M\left( {n;p} \right)\). Le produit \(C = A \times B\), dans cet ordre, est la matrice de \(M\left( {m;p} \right)\) obtenue de la façon suivante, l’élément \({c_{ik}}\) est le produit de la \(i\)-ème ligne de \(A\) par la \(k\)-ème colonne de \(B\).
En posant \(A = {\left( {{a_{ij}}} \right)_{\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le i \le m}\\{1 \le j \le n}\end{array}}}\) et \(B = {\left( {{b_{jk}}} \right)_{\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le j \le n}\\{1 \le k \le p}\end{array}}}\)
\(\begin{array}{l}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}& \cdots &{{a_{1j}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\{{a_{i1}}}& \cdots &{{a_{ij}}}& \cdots &{{a_{in}}}\\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\{{a_{m1}}}& \cdots &{{a_{mj}}}& \cdots &{{a_{mn}}}\end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{11}}}& \cdots &{{b_{1k}}}& \cdots &{{b_{1p}}}\\ \vdots &{}& \vdots &{}& \vdots \\{{b_{j1}}}& \cdots &{{b_{jk}}}& \cdots &{{b_{jp}}}\\ \vdots &{}& \vdots &{}& \vdots \\{{b_{n1}}}& \cdots &{{b_{nk}}}& \cdots &{{b_{np}}}\end{array}} \right) = \\\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}} \times {b_{11}} +  \cdots  + {a_{1n}} \times {b_{n1}}}& \cdots &{{a_{11}} \times {b_{1k}} +  \cdots  + {a_{1n}} \times {b_{nk}}}& \cdots &{{a_{11}} \times {b_{1p}} +  \cdots  + {a_{1n}} \times {b_{np}}}\\ \vdots &{}& \vdots &{}& \vdots \\{{a_{i1}} \times {b_{11}} +  \cdots  + {a_{in}} \times {b_{n1}}}& \cdots &{{c_{ik}}}& \cdots &{{a_{i1}} \times {b_{1k}} +  \cdots  + {a_{in}} \times {b_{jp}}}\\ \vdots &{}& \vdots &{}& \vdots \\{{a_{m1}} \times {b_{11}} +  \cdots  + {a_{mn}} \times {b_{n1}}}& \cdots &{{a_{m1}} \times {b_{1k}} +  \cdots  + {a_{mn}} \times {b_{nk}}}& \cdots &{{a_{m1}} \times {b_{1p}} +  \cdots  + {a_{mn}} \times {b_{np}}}\end{array}} \right)\end{array}\)

où  \({c_{ik}} = {a_{i1}} \times {b_{1k}} + {a_{i2}} \times {b_{2k}} +  \cdots  + {a_{ij}}{b_{jk}} +  \cdots  + {a_{in}} \times {b_{np}} = \sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}{b_{jk}}} \).

Exemple 10 :

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 1}\\3&2\\6&7\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\2&3\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \times 1 + \left( { – 1} \right) \times 2}&{1 \times 4 + \left( { – 1} \right) \times 3}\\{3 \times 1 + 2 \times 2}&{3 \times 4 + 2 \times 3}\\{6 \times 1 + 7 \times 2}&{6 \times 4 + 7 \times 3}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&1\\7&{18}\\{20}&{45}\end{array}} \right)\).

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 1}\\0&1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 3}\\6&7\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \times 1 + \left( { – 1} \right) \times 6}&{1 \times \left( { – 3} \right) + \left( { – 1} \right) \times 7}\\{0 \times 1 + 1 \times 6}&{0 \times \left( { – 3} \right) + 1 \times 7}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 5}&{ – 10}\\6&7\end{array}} \right)\) et

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 3}\\6&7\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 1}\\0&1\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \times 1 + \left( { – 3} \right) \times 0}&{1 \times \left( { – 1} \right) + \left( { – 3} \right) \times 1}\\{6 \times 1 + 7 \times 0}&{6 \times \left( { – 1} \right) + 7 \times 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 4}\\6&1\end{array}} \right)\)

On constate alors que le produit matriciel n’est pas commutatif !

Propriétés : Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois matrices et \(k\) un nombre réel.

  1. \(A \cdot \left( {B \cdot C} \right) = \left( {A \cdot B} \right) \cdot C\) (associativité de la multiplication)
  2. \(k\left( {AB} \right) = \left( {kA} \right)B = A\left( {kB} \right)\)
  3. \(A \times \left( {B + C} \right) = AB + AC\), \(\left( {A + B} \right) \cdot C = AC + BC\) (distributivité)

Remarque : \(A \times B \ne B \times A\).

Exercice :
Trois étudiants \({e_1}\), \({e_2}\) et \({e_3}\) passent quatre épreuves (\({E_1}\) :mathématiques, \({E_2}\) :Physique, \({E_3}\) : Chimie, \({E_4}\) : Culture générale).
Deux concours \({C_1}\) et \({C_2}\) se basent sur les notes de ces quatre épreuves mais avec des coefficients différents.
La matrice des notes est \(N = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{12}&{11}&{13}&{15}\\8&9&{10}&{11}\\{15}&{13}&{13}&6\end{array}} \right)\) où, \({n_{ij}}\) est la note de l’étudiant \({e_i}\) à l’épreuve \({E_j}\).
La matrice des coefficients est \(Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}8&5\\6&4\\4&4\\2&3\end{array}} \right)\), \({q_{ij}}\) représente le coefficient de l’épreuve \({E_i}\) pour le concours \({C_j}\).

1°) Exprimer à l’aide de \(N\) et \(Q\), la matrice \(T\) du total des points de ces étudiants aux deux concours puis la calculer.
2°) Déterminer la matrice \(D\) telle que \(TD\) représente la moyenne de chaque étudiant aux deux concours. Calculer ces moyennes.

 

1°) On a \(N \in M\left( {3;4} \right)\) et \(Q \in M\left( {4;2} \right)\). La matrice \(NQ\) est une matrice parfaitement définie, élément de \(M\left( {3;2} \right)\) et représente la matrice \(T\) du total des points de ces étudiants aux deux concours.
On a : \(T = N \times Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{12}&{11}&{13}&{15}\\8&9&{10}&{11}\\{15}&{13}&{13}&6\end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}8&5\\6&4\\4&4\\2&3\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{244}&{201}\\{180}&{149}\\{262}&{197}\end{array}} \right)\)
Au premier concours, l’étudiant \({e_1}\) obtient \(244\) points, l’étudiant \({e_2}\) : \(180\) points et l’étudiant \({e_3}\) : \(262\) points.
Au second concours, l’étudiant \({e_1}\) obtient \(201\) points, l’étudiant \({e_2}\) : \(149\) points et l’étudiant \({e_3}\) : \(197\) points.
2°) La moyenne d’un étudiant est la somme du produit de chaque note obtenue par le coefficients respectif de la matière divisé par la somme des coefficients.
\(D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{20}}}&{\frac{1}{{16}}}\end{array}} \right)\)
La matrice des moyennes est \(M = T \times D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{244}&{201}\\{180}&{149}\\{262}&{197}\end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{1/20}\\{1/16}\end{array}} \right) \times \frac{1}{2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{1981}}{{160}}}\\{\frac{{293}}{{32}}}\\{\frac{{1633}}{{160}}}\end{array}} \right)\)

Exercice :
Deux usines \({U_1}\) et \({U_2}\) fabriquent trois modèles de voitures \({M_1}\), \({M_2}\) et \({M_3}\). La matrice de production du premier semestre \(2010\) est \(P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{15,1}&{20,9}&{12,3}\\{13,8}&{22,2}&{11,4}\end{array}} \right)\) où \({p_{ij}}\) représente le nombre de voitures en milliers de modèle \({M_1}\) produites par l’usine \({U_1}\). Celle du second semestre \(2010\) est \(P’ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{14,3}&{23,2}&{11,1}\\{12,6}&{21,9}&{13,5}\end{array}} \right)\).

1°) Exprimer en fonction de \(P\) et \(P’\), la matrice de production moyenne mensuelle puis la calculer.
2°) A la sortie de ces usines, chaque modèle \({M_1}\), \({M_2}\) et \({M_3}\) produit est vendu respectivement \(8000\) €, \(5000\) € et \(10000\) €.
Calculer à l’aide de matrices, le chiffre d’affaires (montant total des ventes) de ces deux usines en \(2010\).

1°) La matrice de production annuelle \(S\) est la somme des matrices de production semestrielle, ce qui donne pour l’année \(2010\) :
\(S = P + P’ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{15,1}&{20,9}&{12,3}\\{13,8}&{22,2}&{11,4}\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{14,3}&{23,2}&{11,1}\\{12,6}&{21,9}&{13,5}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{29,4}&{44,1}&{23,4}\\{26,4}&{44,1}&{24,9}\end{array}} \right)\).
Donc, la matrice de production moyenne mensuelle est :
\({P_{mois}} = \frac{1}{{12}}S = \frac{1}{{12}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{29,4}&{44,1}&{23,4}\\{26,4}&{44,1}&{24,9}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2,45}&{3,675}&{1,95}\\{2,2}&{3,675}&{2,075}\end{array}} \right)\).
Les coefficients \({p_{ij}}\) de cette matrice sont exprimés en milliers de voitures.

2°) Introduisons la matrice colonne \(C\) qui représente le prix unitaire de vente (en milliers) de chaque modèle de voitures ; ainsi, \(C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}8\\5\\{10}\end{array}} \right)\).
Le chiffre d’affaires de ces deux usines en \(2010\) est :
\(S \times C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{29,4}&{44,1}&{23,4}\\{26,4}&{44,1}&{24,9}\end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}8\\5\\{10}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{689,7}\\{680,7}\end{array}} \right)\) en milliers de milliers d’euros.
Le chiffre d’affaires de l’usine  \({U_1}\) est de \(689,7\) millions d’euros et celui de l’usine \({U_2}\) de \(680,7\) millions d’euros.