11 – Intégration

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On suppose le plan muni d’un repère orthogonal \(\left( {O;\mathop i\limits^ \to  ;\mathop j\limits^ \to  } \right)\) et on définit les points \(I\), \(J\) et \(K\) par \(\overrightarrow {OI}  = \vec i\), \(\overrightarrow {OJ}  = \vec j\) et \(OIKJ\) rectangle.
L’aire du rectangle \(OIKJ\) définit alors l’unité d’aire (u.a.)

I- Notion d’intégration d’une fonction continue positive.

1°) Introduction de l’intégrale comme aire sous une courbe.

Définition : Soit \(f\) une fonction continue et positive sur un intervalle \([a,b]\) avec \(a < b\) et \(C\) sa courbe représentative dans le repère \(\left( {O;\mathop i\limits^ \to  ;\mathop j\limits^ \to  } \right)\).
L’intégrale de \(a\) à \(b\) de \(f\) est le réel noté \(\int_a^b {f\left( x \right)dx} \), égal à l’aire \(A(D)\), exprimée en unités d’aire, du domaine \(D\) délimité par \(C\), l’axe des abscisses et les droites verticales d’équations \(x = a\) et \(x = b\).
Si \(f\) est négative sur \([a,b]\), l’intégrale de \(f\) est l’opposée de l’aire définie ci-dessus : \(\int_a^b {f\left( x \right)dx}  =  – A\left( D \right)\).
Si \(f\) change de signe sur \([a,b]\) , on découpe l’intervalle en intervalles partiels sur lesquels \(f\) garde un signe constant.

Remarque :

  • \(a\) et \(b\) sont les bornes de l’intégrale et \(x\) une variable muette (car n’intervient pas dans les résultats). Elle peut être remplacée par toute autre lettre exceptées \(a\), \(b\) et \(f\).
  • De cette définition, on déduit que, toute fonction continue sur \(\left[ {a;b} \right]\) est intégrable sur \(\left[ {a;b} \right]\).
  • Lorsque \(a = b\), on convient de poser \(\int_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\).

Proposition (positivité de l’intégrale) : Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(\left[ {a;b} \right]\) avec \(a \le b\).

  1. si pour tout réel \(x \in \left[ {a;b} \right]\), \(f\left( x \right) \ge 0\) alors \(\int_a^b {f\left( x \right)dx} \ge 0\).
  2. si pour tout réel \(x \in \left[ {a;b} \right]\), \(f\left( x \right) \le 0\) alors \(\int_a^b {f\left( x \right)dx} \le 0\).
  3. si pour tout réel \(x \in \left[ {a;b} \right]\), \(f\) est constante sur \(\left[ {a;b} \right]\) alors \(\int_a^b {f\left( x \right)dx} = k \times \left( {b – a} \right)\).

Démonstration :
i) et ii) découlent de la définition (par définition d’une aire).

iii) Supposons que pour tout réel \(x \in \left[ {a;b} \right]\), \(f\left( x \right) = k\) où \(k\) est une constante réelle.

  • Si \(k \ge 0\), \(\int_a^b {kdx} \) est l’ai
    re du rectangle de hauteur \(k\) et de base \(b – a\). Or, \(A\left( D \right) = k \times \left( {b – a} \right)\) et \(A\left( D \right) = \int_a^b
    {kdx} \) D’où, \(\int_a^b {kdx} = k \times \left( {b – a} \right)\).
  • Si \(k \le 0\), l’aire du rectangle est l’opposée de \(k \times \left({b – a} \right)\) c’est-à-dire \(A\left( D \right) = – k \times \left( {b – a} \right)\) .Or, \(A\left( D \right) =  – \int_a^b {kdx} \)
    D’où : \(\int_a^b {kdx}  = k \times \left( {b – a} \right)\).

Exemple 1 : Soit \(f\) la fonction définie par \(f\left( x \right) = x – 2\). Calculer \(\int_2^4 {f\left( x \right)dx} \).
Sur \(\left[ {2,4} \right]\), la fonction \(f\) est continue et positive donc cette aire est celle du triangle \(ABC\) .On a \(AB =
4 – 2 = 2\) et \(BC = 2\) d’où \(\int_2^4 {f\left( x \right)dx}  = \frac{{2 \times 2}}{2} = 2\) unités d’aires.

Exemple 2 : Déterminer le signe de \(M = \int_0^2 {{\rm{ }}\frac{{x – 8}}{{{x^3} + 1}}dx} \).
La fonction \(g:x \mapsto \frac{{x – 8}}{{{x^3} + 1}}\) est continue sur \(\left[ {0,2} \right]\) comme fonction rationnelle.
De plus, \(\left( {0 \le x \le 2} \right)\begin{array}{*{20}{c}} \Leftrightarrow \\ \Rightarrow \end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{\left( { – 8 \le x – 8 \le  – 6} \right) \Rightarrow x – 8 \le 0}\\{{x^3} + 1 > 0}\end{array}\) donc \(\frac{{x – 8}}{{{x^3} + 1}} \le 0\) donc \(g\) est négative sur \(\left[ {0,2} \right]\). Il en résulte que \(M \le 0\).

2°) Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle.

Définition : Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(\left[ {a;b} \right]\) (avec \(a < b\)). On appelle valeur moyenne de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(\left[ {a;b} \right]\) le réel noté \(\mu \) et défini par : \(\mu  = \frac{1}{{b – a}}\int_{{\rm{ }}a}^{{\rm{ }}b} {f\left( t \right)dt} \).

Remarque : Mais à quoi correspond ce réel \(\mu \) ? Regardons cela en terme d’aire.
Si \(f\) est continue et positive sur l’intervalle \([a,b]\), \(\int_a^b {f\left( t \right)dt} \) représente l’aire (notée \(A\)) du domaine plan délimité par la courbe représentative de la fonction\(f\), l’axe des abscisses et les droites verticales d’équations \(x = a\) et \(x = b\).
Or, la figure géométrique qui nous est la plus familière et dont on sait calculer simplement l’aire est le rectangle dont l’aire est \(base \times hauteur\).
Construisons alors, sur l’intervalle \(\left[ {a;b} \right]\) un rectangle ; sa base est alors \(b – a\).
Mais que va être sa hauteur ?
On veut que l’aire sous la courbe soit égale à l’aire de ce rectangle de base \(b – a\).
C’est à dire : \(A = \left( {b – a} \right) \times hauteur\) c’est à dire \(\int_a^b {f\left( t \right)dt}  = \left( {b – a} \right) \times hauteur\)
On a alors : \(hauteur = \frac{1}{{b – a}} \times \int_a^b {f\left( t \right)dt} \).
La valeur moyenne \(\mu \) de \(f\) sur \(\left[ {a,b} \right]\) va représenter la hauteur d’un rectangle de base \(b – a\) ayant même aire que le domaine \(D\).
Ce nombre correspond aussi à la valeur de l’unique fonction constante sur \(\left[ {a,b} \right]\) qui a même intégrale que la fonction \(f\) sur \(\left[ {a,b} \right]\).

Théorème : Soit \(a\), \(b\) deux réels tels que \(a < b\) et \(f\) une fonction continue et positive sur l’intervalle \(\left[ {a;b} \right]\).
On note \(\left( {{C_f}} \right)\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal du plan, \(D\) le domaine plan délimité par \(\left( {{C_f}} \right)\), l’axe des abscisses, et les droites d’équations \(x = a\) et \(x = b\). La valeur moyenne \(\mu \) de \(f\) sur l’intervalle \(\left[ {a;b} \right]\) est la hauteur du rectangle de base \(b – a\) ayant même aire que le domaine \(D\) ; c’est-à-dire que \(\mu  = \frac{1}{{b – a}} \times \int_a^b {f\left( x \right)dx} \).

Proposition : théorème de la valeur moyenne
Si \(f\) est une fonction continue sur l’intervalle \(\left[ {a;b} \right]\) alors, il existe un réel \(c \in \left[ {a;b} \right]\) tel que \(m = f\left( c \right)\).
Proposition justifiée par le théorème des valeurs intermédiaires.

Exemple 1 : On reprend l’exemple 1.

Soit \(f\) la fonction définie par \(f\left( x \right) = x – 2\). Calculer \(\int_2^4 {f\left( x \right)dx} \).
On a vu que pour la fonction continue \(f\) définie sur \(\left[ {2;4} \right]\) par, pour tout \(x \in \left[ {2;4} \right]\), \(f\left( x \right) = x – 2\) on avait :
\(\int_2^4 {f\left( x \right)dx}  = \frac{{2 \times 2}}{2} = 2\) u.a.
La valeur moyenne m de \(f\) sur \(\left[ {2;4} \right]\) est : \(m = \frac{1}{{4 – 2}} \times \int_2^4 {f\left( x \right)dx}  = \frac{1}{2} \times 2 = 1\).

Exemple (inapproprié) 3 : On considère la fonction partie entière \(x \mapsto E\left( x \right)\) sur \(I = \left[ { – 1;3} \right[\). Calculer la valeur moyenne de la fonction \(E\) sur\(\;I\).
On a : \(E\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&{{\rm{si}}}&{x \in \left[ { – 1;0} \right[}\\{\rm{0}}&{{\rm{si}}}&{x \in \left[ {0;1} \right[}\\{\rm{1}}&{{\rm{si}}}&{x \in \left[ {1;2} \right[}\\{\rm{2}}&{{\rm{si}}}&{x \in \left[ {2;3} \right[}\end{array}} \right.\)
L’aire cherchée est \(I\left( f \right) = {A_1} + {A_2} + {A_3} + {A_4}\)
\(I\left( f \right) =  – 1 \times \left( {0 + 1} \right) + 0 \times \left( {1 – 0} \right) + 1 \times \left( {2 – 1} \right) + 2\left( {3 – 2} \right) = 2\)
On a alors : \(m = \frac{1}{{3 + 1}} \times 2 = \frac{1}{2}\). 
La droite d’équation \(y = \frac{1}{2}\) est tracée sur l’intervalle \(I\) ci-contre. L’aire hachurée est la même que la somme des aires du graphique ci-dessus.

Corollaire : inégalité de la moyenne
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) avec \(a\) et \(b\) deux réels de \(I\) tels que \(a < b\).
Si pour tout réel \(x \in \left[ {a;b} \right]\), il existe deux réels \(m\) et \(M\) tels que, \(m \le f\left( x \right) \le M\) alors :
\(m\left( {b – a} \right) \le \int_a^b {f\left( x \right)dx}  \le M\left( {b – a} \right)\).

Démonstration : Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) avec \(a\) et \(b\) deux réels de \(\;I\)  tels que \(a < b\) et supposons qu’il existe deux réels \(m\) et \(M\) tels que, pour tout \(x \in \left[ {a;b} \right]:m \le f\left( x \right) \le M\).
Chacune des fonctions \(x \mapsto m\), \(x \mapsto M\) et \(f:x \mapsto f\left( x \right)\)sont continues sur\(\;I\) donc sont intégrables sur tout intervalle de \(I\) donc sont intégrables sur l’intervalle \(\left[ {a;b} \right]\).
Les bornes \(a\) et \(b\) de l’intervalle étant rangées dans le bons sens,
On a : \(\left( {m \le f\left( x \right) \le M} \right) \Rightarrow \left( {\int_a^b {mdx}  \le \int_a^b {f\left( x \right)dx}  \le \int_a^b {Mdx} } \right)\).
Mais comme \(m\) et \(M\) sont des constantes, \(\int_a^b {mdx}  = m \times \left( {b – a} \right)\) et \(\int_a^b {Mdx}  = M \times \left( {b – a} \right)\) donc \(m\left( {b – a} \right) \le \int_a^b {f\left( x \right)dx}  \le M\left( {b – a} \right)\).

Remarque : De cet encadrement, si on connaît \(m\) et \(M\), on peut déduire un encadrement de la valeur moyenne de \(f\) sur \(\left[ {a;b} \right]\).
En effet, comme \(a < b\) alors \(b – a > 0\) donc \(\left( {m\left( {b – a} \right) \le \int_a^b {f\left( x \right)dx}  \le M\left( {b – a} \right)} \right) \Rightarrow m \le \frac{1}{{b – a}}\int_a^b {f\left( x \right)dx}  \le M\) c’est-à-dire, avec la notation du théorème précédent, \(m \le \mu  \le M\).

 

II- Propriétés générales de l’intégrale.

1°) Propriétés de l’intégrale (Elles sont admises).

Théorème : Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \(I\) et \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels de \(I\).

  1. \(\int_a^c {f\left( x \right)dx} + \int_c^b {f\left( x \right)dx}  = \int_a^b {f\left( x \right)dx} \) (relation de Chasles)
  2. \(\int_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\) et \(\int_a^b {f\left( x \right)dx}  =  – \int_b^a {f\left( x \right)dx} \)
  3. Pour \(k\) réel quelconque \(\int_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int_a^b {f\left( x \right)dx} \)
  4. \(\int_a^b {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)dx} = \int_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int_a^b {g\left( x \right)dx} \) (iii) et iv) forment la linéarité de l’intégrale)
  5. Si pour tout réel \(x\) de \(\left[ {a;b} \right]\) avec \(a \le b\) on a \(f\left( x \right) \le g\left( x \right)\) alors \(\int_a^b {f\left( x \right)dx} \le \int_a^b {g\left( x \right)dx} \) (conservation de l’ordre)
  6. Si pour tout réel \(x \in [a,b]\) on a : \(m \le f\left( x \right) \le M\) alors \(m\left( {b – a} \right) \le \int_a^b {f\left( x \right)dx} \le M\left( {b – a} \right)\) (inégalité de la moyenne)
  7. Si pour tout réel \(x \in [a,b]\) on a \(\left| {f\left( x \right)} \right| \le M\) alors \(\left| {\int_a^b {f\left( x \right)dx} } \right| \le M\left( {b – a} \right)\)
  8. Si \(f\) est une fonction continue et paire sur \(\left[ { – a;a} \right]\), \(\int_{ – a}^a {f\left( x \right)dx} = 2\int_0^a {f\left( x \right)dx} \).
  9. Si \(f\) est une fonction continue et impaire sur \(\left[ { – a;a} \right]\), \(\int_{ – a}^a {f\left( x \right)dx} = 0\).
  10. Si \(f\) est une fonction continue sur \(\mathbb{R}\) et périodique de période \(T\), \(\int_a^{a + T} {f\left( x \right)dx} = \int_0^T {f\left( x \right)dx} \)

Démonstration :

1.En prenant \(c = a\) dans la relation de Chasles, celle-ci s’écrit : \(\left( {\int_a^a {f\left( x \right)dx} + \int_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int_a^b {f\left( x \right)dx} } \right) \Leftrightarrow \left( {\int_a^a {f\left( x \right)dx}  = \int_a^b {f\left( x \right)dx}  – \int_a^b {f\left( x \right)dx} } \right) \Leftrightarrow \left( {\int_a^a {f\left( x \right)dx}  = 0} \right)\)
En prenant \(b=a\) et \(c=b\) dans la relation de Chasles, \(\int_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int_b^a {f\left( x \right)dx}  = \int_a^a {f\left( x \right)dx} \) donne \(\int_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int_b^a {f\left( x \right)dx}  = 0\) d’où \(\int_a^b {f\left( x \right)dx}  =  – \int_b^a {f\left( x \right)dx} \).

8. Soit \(a\) et \(b\) deux réels avec \(a \le b\) et supposons que, pour tout réel \(x \in \left[ {a;b} \right]\), on ait \(\left| {f\left( x \right)} \right| \le M\) où \(M\) est un réel positif.
\(\forall x \in \left[ {a;b} \right]\), \(\left( {\left| {f\left( x \right)} \right| \le M} \right) \Leftrightarrow \left( { – M \le f\left( x \right) \le M} \right)\). Comme \(a \le b\), par croissance de l’intégrale, \(\forall x \in \left[ {a;b} \right]\), \(\left( { – M \le f\left( x \right) \le M} \right) \Rightarrow \left( { – \int_a^b {Mdx} \le \int_a^b {f\left( x \right)dx} \le \int_a^b {Mdx} } \right) \Leftrightarrow \left( { – M\left( {b – a} \right) \le \int_a^b {f\left( x \right)dx}  \le M\left( {b – a} \right)} \right)\) d’où, \(\forall x \in \left[ {a;b} \right]\), \(\left( {\left| {f\left( x \right)} \right| \le M} \right) \Rightarrow \left( {\left| {\int_a^b {f\left( x \right)dx} } \right| \le M\left( {b – a} \right)} \right)\).

Conséquences à ii) : Cette relation s’avère très utile pour calculer \(\int_a^b {f\left( t \right)dt} \) lorsque \(f\) est définie par morceaux par exemple sous la forme : \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right)}&{{\rm{si}}}&{x \in \left[ {a;c} \right[}\\{h\left( x \right)}&{{\rm{si}}}&{x \in \left[ {c;b} \right]}\end{array}} \right.\).

Exemple à iv) : Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \([0; + \infty [\) par \(f\left( x \right) = 1,5x + \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) et \(g\left( x \right) = 1,5x\).
\({C_f}\) et \(D\) sont respectivement les courbes représentatives des fonctions \(f\) et \(g\) dans un repère orthogonal. On admet que \({C_f}\) est au-dessus de \(D\).
Calculer l’aire \(A\) du domaine limité par \({C_f}\), l’axe des ordonnées, \(D\) et la droite d’équation \(x = 2\).
L’aire cherchée est la différence entre l’aire sous la courbe \(C\) et l’aire sous la courbe \(D\).
\(\begin{array}{ccccc}A = \int_0^2 {f\left( x \right)dx}  – \int_0^2 {g\left( x \right)dx}  = \int_0^2 {\left( {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right)dx} \\\ = \int_0^2 {\frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} dx = \left[ {\frac{{ – 3}}{{x + 1}}} \right]_{{\rm{ }}0}^{{\rm{ }}2} = 2\end{array}\)
L’aire du domaine limité par \(D\), \(C\), l’axe des ordonnées et la droite d’équation \(x = 2\) est égale à \(2\) unités d’aire.

Exemple à v) : Comparons les deux intégrales \(I = \int_0^1 {{x^2}dx} \) et \(J = \int_0^1 {\sqrt {1 + {x^4}} dx} \).
Pour tout réel \(x\), on a \({x^4} < 1 + {x^4}\). Les deux membres de l’inégalité étant positifs et la fonction \(x \mapsto \sqrt x \) étant strictement croissante sur \(\left[ {0; + \infty } \right[\), on a en particulier pour tout \(x \in \left[ {0;1} \right]\).
\(\left( {{x^4} < 1 + {x^4}} \right) \Rightarrow \left( {{x^2} < \sqrt {1 + {x^4}} } \right)\).
Chacune des fonctions \(x \mapsto {x^2}\) et \(x \mapsto \sqrt {1 + {x^4}} \) étant continue sur \(\left[ {0;1} \right]\) par conservation de l’ordre, on a \(\int_0^1 {{x^2}dx}  < \int_0^1 {\sqrt {1 + {x^4}} dx} \).

Remarque : Attention, à la positivité de l’intégrale ! si \(f\left( x \right) \ge 0\) sur \(\left[ {a,b} \right]\) alors \(\int_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge 0\).
Il y’a deux hypothèses : la fonction \(f\) doit être positive et les bornes de l’intégrale doivent être rangées dans le bon sens c’est à dire que la borne du bas de l’intégrale doit être plus petite que la borne du haut \(a \le b\) .
De plus, la réciproque du théorème est fausse. On peut avoir \(\int_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge 0\) avec \(f\left( x \right) < 0\) sur une partie de \(\left[ {a;b} \right]\).

Exemple : Considérons la fonction \(x \mapsto {x^3}\) sur \(I = [ – 0,5\;;1]\)
On a \(\int_{ – 0,5}^1 {{\rm{  }}{x^3}dx}  = \frac{{15}}{{64}} > 0\) pourtant la fonction \(x \mapsto {x^3}\) est strictement négative sur \([ – 0,5;0[\).

 

III- Primitive et intégrale.

1°) Définition d’une primitive et lien entre deux primitives d’une même fonction.

Définition : Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On appelle primitive de \(f\) sur \(I\), toute fonction \(F\) définie et dérivable sur \(I\), telle que pour tout \(x \in I\), \(F’\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Exemple : La fonction \({F_1}:x \mapsto \frac{1}{3}{x^3} + 3\) est une primitive de la fonction \(f:x \mapsto {x^2}\) sur \(\mathbb{R}\). En effet :
\({F_1}\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme somme de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) avec, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \({F_1}^\prime \left( x \right) = \frac{1}{3} \times \left( {3{x^2}} \right) + 0 = {x^2}\) donc pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \({F_1}^\prime \left( x \right) = f\left( x \right)\).
Mais \({F_2}:x \mapsto \frac{1}{3}{x^3} – \frac{4}{5}\) en est aussi une autre !
Ainsi, une fonction \(f\) peut admettre plusieurs primitives.

Théorème : Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).

  • Si \(f\) admet une primitive \(F\) sur \(I\), alors toutes les fonctions \(x \mapsto F\left( x \right) + k\), où \(k\) est un réel quelconque, sont des primitives de \(f\) sur \(I\).
  • Si \(F\) et \(G\) sont deux primitives de \(f\) sur \(I\) alors il existe un réel \(k\) tel que, pour tout réel \(x\), \(G\left( x \right) = F\left( x \right) + k\).

Démonstration :

  1. Soit \(k\) un nombre réel et \(F\) une primitive de \(f\) sur \(I\).
    Posons, pour tout réel \(x \in I\), \(G\left( x \right) = F\left( x \right) + k\). Comme \(F\) est dérivable sur \(I\) de dérivée \(F’ = f\), la fonction \(G\) est donc dérivable sur \(I\) comme somme de deux fonctions dérivables sur \(I\) de dérivée, pour tout \(x \in I\), \(G’\left( x \right) = F’\left( x \right) + 0 = F’\left( x \right) = f\left( x \right)\) donc \(G\) est une primitive de \(f\) sur \(I\).
  2. Si \(F\) et \(G\) sont deux primitives de \(f\) sur \(I\) alors \(F\) et \(G\) sont dérivables sur \(I\) de dérivée \(G’ = f = F’\) c’est-à-dire, \(G’ – F’ = 0\) et donc \((G – F)’ = 0\). Cela signifie que la fonction \(G – F\) est constante sur \(I\).
    Il existe alors un réel \(k\) tel que : pour tout réel \(x \in I\), \(\left( {G – F} \right)\left( x \right) = k\) c’est à dire, il existe un réel \(k\) tel que, pour tout \(x \in I\): \(G\left( x \right) = F\left( x \right) + k\).

Remarque : Pour i), on dit que si \(f\) admet une primitive sur \(I\) alors \(f\) admet une infinité de primitives sur \(I\) définies à une constante additive près.
Pour ii), deux primitives d’une même fonction différent d’une constante ou encore géométriquement qu’il existe un réel \(k\) tel que la courbe \({C_G}\) représentant la fonction \(G\) dans un repère \(\left( {O;\mathop i\limits^ \to  ;\mathop j\limits^ \to  } \right)\) est l’image de la courbe \({C_F}\) par une translation de vecteur \(k\mathop j\limits^ \to  \).

Exemple : La fonction exponentielle est dérivable sur \(\mathbb{R}\) de dérivée égale à elle-même. Ainsi, toute autre primitive de la fonction exponentielle sur \(\mathbb{R}\) est de la forme \(x \mapsto {e^x} + k\) où \(k\) est une constante réelle. 
Toutefois, parmi toutes les primitives d’une fonction \(f\) donnée, il en existe une et une seule passant par un point de coordonnées données ce qu’assure le corollaire suivant.

Corollaire : Soit \(f\) une fonction définie sur \(I\) qui admet une primitive sur \(I\).
Pour tout réel \({x_0} \in I\) et tout réel \({y_0}\) quelconque, alors il existe une unique primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) vérifiant la condition \(F\left( {{x_0}} \right) = {y_0}\).

Démonstration : Soit \(f\) une fonction définie sur \(I\).
Si \(G\) est une primitive de \(f\) définie sur \(I\) alors toute autre primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) s’écrit, pour tout \(x \in I\), \(F\left( x \right) = G\left( x \right) + k\) où \(k \in \mathbb{R}\).
La condition \(F\left( {{x_0}} \right) = {y_0}\) équivaut à : \(\left( {F\left( {{x_0}} \right) = {y_0}} \right) \Leftrightarrow \left( {{y_0} = G\left( {{x_0}} \right) + k} \right) \Leftrightarrow \left( {k = {y_0} – G\left( {{x_0}} \right)} \right)\).
La valeur de \(k\) étant déterminée de façon unique, il existe donc une unique primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) telle que \(F\left( {{x_0}} \right) = {y_0}\).

Exemple : Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par, pour tout réel \(x\), \(f\left( x \right) = x{e^{ – x}}\).

1°)Montrer qu’il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout réel \(x\), la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par, pour tout réel \(x\), \(F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right){e^{ – x}}\) soit une primitive de \(f\) sur \(I\).

2°)Déterminer la primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) qui prend la valeur \(1\) en \(x = 0\).

 

1°)Supposons qu’il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout réel \(x\), la fonction \(F:x \mapsto F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right){e^{ – x}}\) soit une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

La fonction \(x\mathop \mapsto \limits^u \left( { – x} \right)\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\); d’après le théorème de dérivabilité de la fonction \({e^u}\), la fonction \(x \mapsto {e^{ – x}}\)est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Comme la fonction \(x \mapsto {x^2}\) est aussi dérivable sur \(\mathbb{R}\), la fonction \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) avec, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(F’\left( x \right) = a \times {e^{ – x}} – \left( {ax + b} \right){e^{ – x}} = \left( { – ax + a – b} \right){e^{ – x}}\).
Comme \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), \(F’\left( x \right) = f\left( x \right)\) d’où, pour tout réel \(x\), \(\left( { – ax + a – b} \right){e^{ – x}} = x{e^{ – x}}\). De plus, pour tout réel \(x\), \({e^{ – x}} > 0\) donc pour tout réel \(x\), \( – ax + a – b = x\). Par identification des coefficients des termes de même degré, on a :
Pour tout réel \(x\), \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – a = 1}\\{a – b = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  – 1}\\{b =  – 1}\end{array}} \right.\)

Il existe deux réels \(\left( {a;b} \right) = \left( { – 1; – 1} \right)\) tels que, pour tout réel \(x\), \(F\left( x \right) =  – \left( {x + 1} \right){e^{ – x}}\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

2°)Les primitives de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) sont toutes les fonctions \({F_k}\) de la forme \({F_k}:x \mapsto F\left( x \right) + k = – \left( {x + 1} \right){e^{ – x}} + k\) avec \(k \in \mathbb{R}\).
La condition initiale, \({F_k}\left( 0 \right) = 1\) s’écrit
\(\left( {F\left( 0 \right) + k = 1} \right) \Leftrightarrow \left( { – \left( {0 + 1} \right){e^{ – 0}} + k = 1} \right) \Leftrightarrow \left( { – 1 + k = } \right) \Leftrightarrow \left( {k = 2} \right)\)

Conclusion : L’unique primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) qui prend la valeur \(1\) en \(x = 0\) est la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(x \mapsto  – \left( {x + 1} \right){e^{ – x}} + 2\).

2°) Existence de primitives pour une fonction continue.

Théorème : Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) et \(a\) un réel de \(I\).
La fonction \(F\) définie pour tout réel \(x\) de \(I\) par \(F\left( x \right) = \int_a^x {f\left( t \right)dt} \) est l’unique primitive de la fonction \(f\) sur \(I\) telle que \(F\left( a \right) = 0\).

Démonstration : Montrons que \(F\) est dérivable sur \(I\) c’est-à-dire est dérivable en tout point \({x_0}\) de \(I\). Soit \({x_0} \in I\) et \(h\) un réel non nul tel que \({x_0} + h \in I\). On a : \(F\left( {{x_0} + h} \right) – F\left( {{x_0}} \right) = \int_a^{{x_0} + h} {f\left( t \right)dt}  – \int_a^{{x_0}} {f\left( t \right)dt} \underbrace  = _{{\rm{Chasles}}}\int_{{x_0}}^a {f\left( t \right)dt}  + \int_a^{{x_0} + h} {f\left( t \right)dt}  = \int_{{x_0}}^{{x_0} + h} {f\left( t \right)dt} \).
Comme \(f\) est continue sur \(\left[ {{x_0};{x_0} + h} \right]\) d’après le théorème sur la valeur moyenne d’une fonction, il existe un réel \({c_h} \in \left[ {{x_0};{x_0} + h} \right]\) tel que : \(\left( {\frac{1}{{\left( {{x_0} + h – {x_0}} \right)}}\int_{{x_0}}^{{x_0} + h} {f\left( t \right)dt}  = f\left( {{c_h}} \right)} \right) \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{h}\int_{{x_0}}^{{x_0} + h} {f\left( t \right)dt}  = f\left( {{c_h}} \right)} \right) \Leftrightarrow \left( {\int_{{x_0}}^{{x_0} + h} {f\left( t \right)dt}  = h \times f\left( {{c_h}} \right)} \right)\).
Par suite, pour \(h \ne 0\), on a : \(\frac{{F\left( {{x_0} + h} \right) – F\left( {{x_0}} \right)}}{h} = f\left( {{c_h}} \right)\).
Par ailleurs, \(\left( {{c_h} \in \left[ {{x_0};{x_0} + h} \right]} \right) \Leftrightarrow \left( {{x_0} \le {c_h} \le {x_0} + h} \right)\) or, \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {{x_0} + h} \right) = {x_0}\) donc \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} {c_h} = {x_0}\).
Comme \(f\) est continue sur \(\left[ {{x_0};{x_0} + h} \right]\) donc en \({x_0}\), on a alors : \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f\left( {{c_h}} \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) et donc \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{F\left( {{x_0} + h} \right) – F\left( {{x_0}} \right)}}{h} = f\left( {{x_0}} \right)\).
Ce qui prouve que \(f\) est dérivable en \({x_0}\) de nombre dérivé en \({x_0}\), \(F’\left( {{x_0}} \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Comme \({x_0}\) est choisi arbitrairement dans \(I\), la fonction \(F\) est dérivable en tout point de \(I\) de dérivée, pour tout \(x\) dans \(I\), \(F’\left( x \right) = f\left( x \right)\) ce qui prouve que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\).

De plus, comme \(F\left( a \right) = \int_a^a {f\left( t \right)dt}  = 0\), \(F\) est l’unique primitive de \(f\) sur \(I\) qui s’annule en \(a\).

Autre démonstration dans le cas d’une fonction \(f\) continue positive.
Soit \(f\) une fonction continue et positive sur un intervalle \(I = \left[ {a;b} \right]\) avec \(a \le b\) et supposons de plus que \(f\) est croissante sur \(I = \left[ {a;b} \right]\).
Soit \({x_0} \in I\) et \(h\) un réel non nul tel que \({x_0} + h \in I\).

  • Si \(h > 0\), comme \(f\) est une fonction croissante sur \(I\): \(\left( {{x_0} < {x_0} + h} \right) \Rightarrow \left( {f\left( {{x_0}} \right) \le f\left( {{x_0} + h} \right)} \right)\).
    En notant \(F\left( {{x_0} + h} \right) – F\left( {{x_0}} \right)\) l’aire du rectangle de base \(\left[ {{x_0},{x_0} + h} \right]\) sous la courbe \({C_f}\), comme \(f\) est une fonction croissante, l’aire de \(D\) est comprise entre l’aire des rectangles de base \(\left( {{x_0} + h} \right) – {x_0}\) construit sur l’intervalle \(\left[ {{x_0},{x_0} + h} \right]\) et de hauteur \(f\left( {{x_0}} \right)\) et \(f\left( {{x_0} + h} \right)\) donc \(\left( {{x_0} + h – {x_0}} \right) \times f\left( {{x_0}} \right) \le F\left( {{x_0} + h} \right) – F\left( {{x_0}} \right) \le \left( {{x_0} + h – {x_0}} \right) \times f\left( {{x_0} + h} \right)\)
    C’est-à-dire, \(h \times f\left( {{x_0}} \right) \le F\left( {{x_0} + h} \right) – F\left( {{x_0}} \right) \le h \times f\left( {{x_0} + h} \right)\).
    Comme \(h > 0\), alors :
    \(\left( {h \times f\left( {{x_0}} \right) \le F\left( {{x_0} + h} \right) – F\left( {{x_0}} \right) \le h \times f\left( {{x_0} + h} \right)} \right) \Rightarrow \left( {f\left( {{x_0}} \right) \le \frac{{F\left( {{x_0} + h} \right) – F\left( {{x_0}} \right)}}{h} \le f\left( {{x_0} + h} \right)} \right)\)
  • Si \(h < 0\), comme \(f\) est une fonction croissante sur \(I\;\): \(\left( {{x_0} + h < {x_0}} \right) \Rightarrow \left( {f\left( {{x_0} + h} \right) \le f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).
    En notant \(F\left( {{x_0}} \right) – F\left( {{x_0} + h} \right)\) l’aire du rectangle de base \(\left[ {{x_0} + h,{x_0}} \right]\) sous la courbe \({C_f}\), comme \(f\) est une fonction croissante, l’aire de \(D\) est comprise entre l’aire des rectangles de base \({x_0} – \left( {{x_0} + h} \right)\) construit sur l’intervalle \(\left[ {{x_0} + h,{x_0}} \right]\) et de hauteur \(f\left( {{x_0}} \right)\) et \(f\left( {{x_0} + h} \right)\) et donc
    \(\left( {{x_0} – \left( {{x_0} + h} \right)} \right) \times f\left( {{x_0} + h} \right) \le F\left( {{x_0}} \right) – F\left( {{x_0} + h} \right) \le \left( {{x_0} – \left( {{x_0} + h} \right)} \right) \times f\left( {{x_0}} \right)\)
    C’est-à-dire, \( – h \times f\left( {{x_0} + h} \right) \le F\left( {{x_0}} \right) – F\left( {{x_0} + h} \right) \le  – h \times f\left( {{x_0} + h} \right)\).
    Comme \(h < 0\), alors \(\left( { – h > 0} \right)\) donc \(\left( {f\left( {{x_0} + h} \right) \le \frac{{F\left( {{x_0}} \right) – F\left( {{x_0} + h} \right)}}{{ – h}} \le f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) \(\left( { – h \times f\left( {{x_0} + h} \right) \le F\left( {{x_0}} \right) – F\left( {{x_0} + h} \right) \le  – h \times f\left( {{x_0} + h} \right)} \right) \Rightarrow \left( {f\left( {{x_0} + h} \right) \le \frac{{F\left( {{x_0} + h} \right) – F\left( {{x_0}} \right)}}{h} \le f\left( {{x_0}} \right)} \right)\)
  • De plus, \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {{x_0} + h} \right) = {x_0}\) et comme \(f\) est continue en \({x_0}\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
    D’après le théorème sur la limite des fonctions composées, \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {f\left( {{x_0} + h} \right)} \right) = f\left( {{x_0}} \right)\). D’après le théorème des gendarmes, \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {\frac{{F\left( {{x_0} + h} \right) – F\left( {{x_0}} \right)}}{h}} \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) ainsi, la fonction \(F\) est dérivable en \({x_0}\) avec \(F’\left( {{x_0}} \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) et puisque \({x_0}\) est choisi quelconque dans \(I = \left[ {a;b} \right]\)

On en déduit que \(F\) est dérivable sur\(\;I\), avec, pour tout \(x \in I\) : \(F’\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Remarque : Ce théorème démontre l’existence de primitives d’une fonction continue \(f\) sur un intervalle \(I\). Ainsi, l’équation différentielle \(y’\left( t \right) = f\left( t \right)\) d’inconnue \(y\) admet des solutions sur \(I\) dès que \(f\) est continue sur \(I\), qui sont les fonctions \(F\) définie sur \(I\) par, \(F\left( x \right) = \int_a^x {f\left( t \right)dt}  + k\) où \(a\) est un réel de \(I\) et \(k\) une constante réelle.
L’existence de la fonction \(\ln \) est alors justifiée en considérant l’équation différentielle \(y’\left( t \right) = \frac{1}{t}\). La fonction \(t \mapsto \frac{1}{t}\) est continue sur \(\left] {0; + \infty } \right[\) donc l’équation différentielle admet des solutions sur \(\left] {0; + \infty } \right[\) qui sont de la forme, pour tout \(x \in \left] {0;1} \right[:F\left( x \right) = \int_a^x {\frac{1}{t}dt}  + k\).
En choisissant parmi ces fonctions celle qui vérifie \(F\left( 1 \right) = 0\), on définit alors, la fonction \(\ln \) par : pour tout \(x \in \left] {0;1} \right[\), \(\ln x = \int_1^x {\frac{1}{t}dt} \).
Il permet aussi d’étudier des fonctions définies par une intégrale dont on ne connaît pas de primitives.

Exercice 1 :

Soit \(f\) et \(g\) les fonctions définies sur \(]0; + \infty [\) par \(f\left( x \right) = \ln x\) et \(g\left( x \right) = x\ln x – x\).

1°) Démontrer que \(g\) est une primitive de \(f\).

2°) Trouver la primitive de \(f\) qui s’annule pour\(x = 1\).

 

1°) Les fonctions \(x \mapsto x\) et \(x \mapsto \ln x\) sont dérivables sur \(\left] {0; + \infty } \right[\) donc la fonction \(x \mapsto x\ln x\) est dérivable sur \(\left] {0; + \infty } \right[\)comme produit de fonctions dérivables sur \(\left] {0; + \infty } \right[\). La fonction \(f\) est donc dérivable sur \(\left] {0; + \infty } \right[\)comme somme de fonctions dérivables sur \(\left] {0; + \infty } \right[\).
Pour tout \(x \in \left] {0; + \infty } \right[\), \(g’\left( x \right) = \ln x + x \times \frac{1}{x} – 1 = \ln x\) donc, Pour tout \(x \in \left] {0; + \infty } \right[\), \(g’\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Ainsi, \(g\) est une primitive de \(f\) sur \(\left] {0; + \infty } \right[\).

Comme \(g\) est une primitive de \(f\) sur \(\left] {0; + \infty } \right[\), toutes les primitives de \(f\) sont les fonctions \({F_k}\) définies sur \(\left] {0; + \infty } \right[\) par, pour tout \(x \in \left] {0; + \infty } \right[\), \({F_k}\left( x \right) = x\ln x – x + k\) avec \(k \in \mathbb{R}\).

 

2°) La condition initiale \({F_k}\left( 1 \right) = 0\) équivaut à \(\left( {0 = 1 \times \ln 1 – 1 + k} \right) \Leftrightarrow \left( {k = 1} \right)\)
La valeur de \(k\) étant unique.

L’unique primitive de \(f\) sur \(\left] {0; + \infty } \right[\) vérifiant la condition initiale \(F\left( 1 \right) = 0\) est la fonction \(F:x \mapsto x\ln x – x + 1\).

Exercice 2 :

Soit la fonction \(F\) définie par \(F\left( x \right) = \int_0^x {{e^{ – {t^2}}}dt} \).

1°) Déterminer l’ensemble de définition ainsi que l’existence de \(F\).

2°) a- Montrer que \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) puis, calculer pour tout réel \(x\), \(F’\left( x \right)\) où \(F’\) désigne la dérivée de la fonction \(F\).
b- Etudier les variations de la fonction \(F\) et construire son tableau de variation.

3°) A l’aide de la définition de \(F\) et du tableau de variation, en déduire le signe de \(F\left( x \right)\) sur \(\mathbb{R}\).

 

1°) La fonction \(f:t \mapsto {e^{ – {t^2}}}\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}\) donc est définie et continue sur tout intervalle de \(\mathbb{R}\) donc \(F\) est définie sur \(\left[ {0;x} \right]\) où \(x \in \mathbb{R}\)

Conclusion : \(f\) admet sur \(\mathbb{R}\) une primitive \(F\) elle même définie sur \(\mathbb{R}\).

2°) a- Comme \(F\) est la primitive de \(f\) qui prend la valeur \(0\) en \(x = 0\), la fonction \(F\) est dérivable sur \(\left[ {0;x} \right]\) où \(x \in \mathbb{R}\), avec : pour tout réel \(x\), \(F’\left( x \right) = {\left( {\int_0^x {{e^{ – {t^2}}}dt} } \right)^\prime } = f\left( x \right) = {e^{ – {x^2}}}\).

Pour tout réel \(x\), \(F’\left( x \right) = {e^{ – {x^2}}}\). Pour tout réel \(x\), \({e^{ – {x^2}}} > 0\) donc, pour tout réel \(x\), \(F’\left( x \right) > 0\).

b- D’après le théorème liant signe de la dérivée et monotonie de la fonction, on en déduit que :

La fonction \(F\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

3°) On a \(F\left( 0 \right) = \int_0^0 {{e^{ – {t^2}}}dt} = 0\). Comme \(F\) est croissante sur \(\mathbb{R}\),

Pour tout \(x \in \left] { – \infty ;0} \right]\), \(\left( {x \le 0} \right) \Rightarrow \left( {F\left( x \right) \le 0} \right)\) et pour tout \(x \in \left[ {0; + \infty } \right[\), \(\left( {x \ge 0} \right) \Rightarrow \left( {F\left( x \right) \ge 0} \right)\)

On en déduit que \(F\) est négative sur \(\left] { – \infty ;0} \right]\) et positive sur \(\left[ {0; + \infty } \right[\).

Exercice 3 :

On considère la fonction \(F\) définie pour tout réel \(x \in \left] { – 3;3} \right[\) par \(F\left( x \right) = \int_0^x {\frac{{t + 1}}{{{t^2} – 9}}dt} \).

1°) Justifier l’existence de \(F\) et donner une interprétation de \(F\).

2°) a- Montrer que \(F\) est dérivable sur \(\left] { – 3;3} \right[\) puis calculer, pour tout réel \(x \in \left] { – 3;3} \right[\), \(F’\left( x \right)\) où \(F’\) désigne la dérivée de la fonction \(F\) sur \(I\).
b- Etudier les variations de la fonction \(F\) sur \(\left] { – 3;3} \right[\).
c-  En déduire que \(F\) admet un maximum local sur \(\left] { – 3;3} \right[\) strictement positif.

3°) a- Montrer qu’il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout réel \(t \in \mathbb{R} – \left\{ { – 3;3} \right\}:\frac{{t + 1}}{{{t^2} – 9}} = \frac{a}{{t – 3}} + \frac{b}{{t + 3}}\).
b-  Montrer alors que, pour tout \(x \in \left] { – 3;3} \right[\), \(F\left( x \right) = \frac{1}{3}\ln \left[ {{{\left( {x – 3} \right)}^2} \times \left( {x + 3} \right)} \right] – \ln \left( 3 \right)\).
c-  En déduire la valeur exacte de \(F\left( { – 1} \right)\)puis en donner une valeur approchée à \({10^{ – 4}}\) près.

 

1°) La fonction \(f:t \mapsto \frac{{t + 1}}{{{t^2} – 9}}\) est définie et continue sur \(\mathbb{R} – \left\{ { – 3;3} \right\}\) donc sur tout intervalle de la forme \(\left[ {0;x} \right]\) où \(x \in \left] { – 3;3} \right[\).

La fonction \(f\) étant continue sur \(\left[ {0;x} \right]\) où \(x \in \left] { – 3;3} \right[\) on en déduit que :

la fonction \(F\) existe et est définie sur \(\left] { – 3;3} \right[\).

Comme \(f\) est continue sur \(\left[ {0;x} \right]\) où \(x \in \left] { – 3;3} \right[\), d’après la définition de \(x \mapsto \int_a^x {f\left( t \right)dt} \)

\(F\) représente l’unique primitive de la fonction \(f\) qui prend la valeur \(0\) en \(x = 0\).

2°) a- D’après 1°) b ; \(F\) est la primitive de \(f\) qui vérifie \(F\left( 0 \right) = 0\) donc \(F\) est dérivable sur \(\left] { – 3;3} \right[\) de dérivée, pour tout \(x \in \left] { – 3;3} \right[\):\(F’\left( x \right) = {\left( {\int_0^x {\frac{{t + 1}}{{{t^2} – 9}}dt} } \right)^\prime } = \frac{{x + 1}}{{{x^2} – 9}}\).

Pour tout réel \(x \in \left] { – 3;3} \right[\) \(F’\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{{x^2} – 9}}\).

b-  Soit \(x \in \left] { – 3;3} \right[\). On a \(F'{\left( x \right)^\prime } = \frac{{x + 1}}{{\left( {x – 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\).
Or, d’après le théorème sur le signe d’un trinôme du second degré,
\(\left( {\left( {x – 3} \right)\left( {x + 3} \right) < 0} \right) \Leftrightarrow \left( {x \in \left] { – 3;3} \right[} \right)\).
Et \(\left( {x + 1 > 0} \right) \Leftrightarrow \left( {x >  – 1} \right)\)
On a alors le tableau de signes suivant :

On en déduit que :

si \(x \in \left] { – 3; – 1} \right]\) alors \(F’\left( x \right) \ge 0\) et si \(x \in \left[ { – 1;3} \right[\) alors \(F’\left( x \right) \le 0\).

D’après le théorème liant signe de la dérivée et monotonie de la fonction, on en déduit que :

La fonction \(F\) est croissante sur \(\left] { – 3; – 1} \right]\) et décroissante sur \(\left[ { – 1;3} \right[\).

On en déduit le tableau de variations de la fonction \(F\), à savoir :

c-  La fonction \(F\) est dérivable sur \(\left] { – 3;3} \right[\) donc en particulier en \(x =  – 1\) où la dérivée \(F’\) s’annule et change de signe donc \(F\) admet en \(x =  – 1\) un extremum local.
De plus, \( – 1 < 0\) et comme \(F\) est décroissante sur \(\left[ { – 1;3} \right[\), on a \(F\left( { – 1} \right) > F\left( 0 \right)\) or \(F\left( 0 \right) = 0\) donc \(F\left( { – 1} \right) > 0\)

Conclusion : \(F\) admet un maximum local sur \(\left] { – 3;3} \right[\) \(x =  – 1\) qui est strictement positif

3°) a- Supposons qu’il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout réel \(t \in \mathbb{R} – \left\{ { – 3;3} \right\}\): \(\frac{{t + 1}}{{{t^2} – 9}} = \frac{a}{{t – 3}} + \frac{b}{{t + 3}}\).On a \(\frac{{t + 1}}{{{t^2} – 9}} = \frac{{a\left( {t + 3} \right) + b\left( {t – 3} \right)}}{{\left( {t – 3} \right)\left( {t + 3} \right)}} = \frac{{\left( {a + b} \right)t + \left( {3a – 3b} \right)}}{{\left( {t – 3} \right)\left( {t + 3} \right)}}\)
Comme pour tout \(t \in \mathbb{R} – \left\{ { – 3;3} \right\}\), \({t^2} – 9 \ne 0\), pour tout \(t \in \mathbb{R} – \left\{ { – 3;3} \right\}\)\(t + 1 = \left( {a + b} \right)t + \left( {3a – 3b} \right)\).
Par identification des coefficients des termes de même degré, on a, pour tout \(t \in \mathbb{R} – \left\{ { – 3;3} \right\}\), \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = 1}\\{3a – 3b = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6a = 4}\\{6b = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{2}{3}}\\{b = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\).

Il existe deux réels \(\left( {a;b} \right) = \left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3}} \right)\) tels que, pour tout réel \(t \in \mathbb{R} – \left\{ { – 3;3} \right\}:\frac{{t + 1}}{{{t^2} – 9}} = \frac{2}{{3\left( {t – 3} \right)}} + \frac{1}{{3\left( {t + 3} \right)}}\).

b-  Chacune de ces fonctions étant continue sur \(\left[ {0;x} \right]\) où \(x \in \left] { – 3;3} \right[\), elles sont intégrables sur \(\left[ {0;x} \right]\) où \(x \in \left] { – 3;3} \right[\) et donc,
\(F\left( x \right) = \left[ {\frac{2}{3}\ln \left| {t – 3} \right| + \frac{1}{3}\ln \left| {t + 3} \right|} \right]_{{\rm{ 0}}}^{{\rm{ }}x} = \frac{1}{3}\ln \left[ {{{\left( {x – 3} \right)}^2} \times \left( {x + 3} \right)} \right] – \frac{1}{3}\ln \left[ {{{\left( {0 – 3} \right)}^2} \times \left( 3 \right)} \right]\).
\(F\left( x \right) = \frac{1}{3}\ln \left[ {{{\left( {x – 3} \right)}^2} \times \left( {x + 3} \right)} \right] – \frac{1}{3}\ln \left( {27} \right)\)\( = \frac{1}{3}\ln \left[ {{{\left( {x – 3} \right)}^2} \times \left( {x + 3} \right)} \right] – \frac{1}{3}\ln \left( {{3^3}} \right)\)

Donc, pour tout \(x \in \left] { – 3;3} \right[\), \(F\left( x \right) = \frac{1}{3}\ln \left[ {{{\left( {x – 3} \right)}^2} \times \left( {x + 3} \right)} \right] – \ln \left( 3 \right)\).

c-  Pour \(x =  – 1\), \(F\left( { – 1} \right) = \frac{1}{3}\ln \left[ {{{\left( { – 1 – 3} \right)}^2} \times \left( { – 1 + 3} \right)} \right] – \ln \left( 3 \right) = \frac{1}{3}\ln \left( {32} \right) – \ln 3 = \frac{5}{3}\ln 2 – \ln 3\)
On a \(F\left( { – 1} \right) = \frac{5}{3}\ln 2 – \ln 3 \approx 0,05663\).

La valeur exacte de \(F\left( { – 1} \right)\)est\(\frac{5}{3}\ln 2 – \ln 3\) et une valeur approchée à \({10^{ – 4}}\) près est \(0,0566\).

Exercice 4 :

On considère la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par, pour tout réel \(x\), \(F\left( x \right) = \int_0^x {\frac{1}{{{t^2} + 1}}dt} \).

1°) Justifier l’existence de \(F\) sur \(\mathbb{R}\) et donner une interprétation de \(F\).

2°) a- Montrer que \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) puis calculer, pour tout réel \(x\), \(F’\left( x \right)\) où \(F’\) désigne la dérivée de la fonction \(F\) sur \(I\).
b- Etudier les variations de la fonction \(F\) sur \(\mathbb{R}\).

3°) Calculer \(F\left( 0 \right)\) puis en déduire, pour tout réel \(x\), le signe de \(F\left( x \right)\).

 

1°) La fonction \(f:t \mapsto \frac{1}{{1 + {t^2}}}\) est continue sur \(\mathbb{R}\) comme fonction inverse de la fonction \(t \mapsto 1 + {t^2}\) continue et ne s’annulant pas sur \(\mathbb{R}\) donc,

la fonction \(F\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
Cette fonction \(F\) représente l’unique primitive de la fonction \(f:t \mapsto \frac{1}{{1 + {t^2}}}\) qui prend la valeur \(0\) lorsque \(x = 0\).

2°) a- D’après l’interprétation donnée sur \(F\), la fonction \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), avec : Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(F’\left( x \right) = f\left( x \right)\) donc,

pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(F’\left( x \right) = \frac{1}{{1 + {x^2}}}\).

b- Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(\left( {1 + {x^2} > 0} \right) \Rightarrow \left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}} > 0} \right)\) donc,

pour tout réel \(x\), \(F’\left( x \right) > 0\).

D’après le théorème liant signe de la dérivée et monotonie de la fonction,

la fonction \(F\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Par définition, \(F\left( 0 \right) = \int_0^0 {\frac{1}{{{t^2} + 1}}dt} = 0\). Comme \(F\) est croissante sur \(\mathbb{R}\), on en déduit que :

Si \(x \in \left] { – \infty ;0} \right]\) alors \(F\left( x \right) \le 0\) et s

Si \(x \in \left] { – \infty ;0} \right]\) alors \(F\left( x \right) \le 0\) et si \(x \in \left[ {0; + \infty } \right[\) alors \(F\left( x \right) \ge 0\).

3°) Détermination pratique des primitives des fonctions élémentaires.

Théorème : Si \(F\) et \(G\) sont des primitives des fonctions \(f\) et \(g\) sur l’intervalle \(I\) alors \(F + G\) est une primitive de \(f + g\) sur \(I\).
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), pour tout réel \(k\), \(kF\) est aussi une primitive de \(kf\) sur \(I\).
Démonstration évidente laissée en exercice.

a- Primitives des fonctions usuelles sur l’intervalle \(\underline {\bf{I}}\).

Fonction \({\bf{f}}\) Primitive \({\bf{F}}\) Sur l’intervalle \({\bf{I}} = \)
\(x \mapsto a\) (constante) \(x \mapsto ax + C\) \(\mathbb{R}\)
\(x \mapsto {x^n}\) \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) \(x \mapsto \frac{1}{{n + 1}}{x^{n + 1}} + C\) \(\mathbb{R}\)
\(x \mapsto \frac{1}{{\sqrt x }}\) \(x \mapsto 2\sqrt x + C\) \(\left] {0; + \infty } \right[\)
\(x \mapsto \frac{1}{x}\) \(x \mapsto \ln x + C\) \(\left] {0; + \infty } \right[\)
\(x \mapsto \frac{1}{{{x^n}}}\) \(\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\) et \(\left( {n \ge 2} \right)\) \(x \mapsto – \frac{1}{{n – 1}} \times \frac{1}{{{x^{n – 1}}}} + C\) \(\left] { – \infty ;0} \right[ \cup \left] {0; + \infty } \right[\)
\(x \mapsto {e^x}\) \(x \mapsto {e^x} + C\) \(\mathbb{R}\)
\(x \mapsto {e^{ax}}\) \(x \mapsto \frac{1}{a}{e^{ax}} + C\) \(\mathbb{R}\)
\(x \mapsto \sin x\) \(x \mapsto – \cos x + C\) \(\mathbb{R}\)
\(x \mapsto \cos x\) \(x \mapsto \sin x + C\) \(\mathbb{R}\)
\(x \mapsto 1 + {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) \(x \mapsto \tan x + C\) \(\mathop \cup \limits_{k \in \mathbb Z} \left] { – \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right[\)

b- Formules générales : dans le tableau suivant, \(\underline {\bf{u}}\) désigne une fonction dérivable.

Fonction \({\bf{f}}\) Primitive \({\bf{F}}\) Hypothèses
\(u'{u^n}\) \(\frac{1}{{n + 1}}{u^{n + 1}}\) \(n \in \mathbb{Z}\) et \(n \ne – 1\)
pour tout \(x\) dans \(I\) tel que \(u\left( x \right) \ne 0\) si \(n < – 1\)
\(\frac{{u’}}{{\sqrt u }}\) \(2\sqrt u \) \(u > 0\) sur \(I\)
\(\frac{{u’}}{u}\) \(\ln u\)
\(\ln \left( { – u} \right)\)
Si \(u > 0\) sur \(I\)
Si \(u < 0\) sur \(I\)
\(u'{e^u}\) \({e^u}\)
\(u’\sin u\) \( – \cos u\)
\(u’\cos u\) \(\sin u\)

Exemples utilisant a- :

  • \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^5} – 2{x^3} + 3x – 1\). \(f\) est une fonction polynôme, or les primitives des fonctions de la forme \(x \mapsto {x^n}\) sont de la forme \(x \mapsto \frac{1}{{n + 1}}{x^{n + 1}}\).
    \(F\left( x \right) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{5}{x^{5 + 1}} – 2 \times \frac{1}{4}{x^{3 + 1}} + 3 \times \frac{1}{2}{x^{1 + 1}} – 1 \times x + C = \frac{1}{{15}}{x^6} – \frac{1}{2}{x^4} + \frac{3}{2}{x^2} – x + C\).
  • \(f\left( x \right) = – \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{2}{{\sqrt x }} + \sin x\) \(F\left( x \right) = \frac{1}{x} + 4 \times \sqrt x – \cos x + C = \frac{1}{x} + 4\sqrt x – \cos x + C\).
  • \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} – \frac{1}{{{x^2}}} = 1 – \frac{1}{{{x^2}}}\) \(F\left( x \right) = x + \frac{1}{x} + C\).

Exemples utilisant b- :

  • \(f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\); on pose \(u\left( x \right) = {x^2} + 1\) d’où \(u’\left( x \right) = 2x\) ainsi \(f = \frac{1}{2}\frac{{u’}}{u}\). Or, une primitive de \(\frac{{u’}}{u}\) est \(\ln \left| u \right|\), par suite \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} + 1} \right| + C\) or, \({x^2} + 1 > 0\) donc \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\).
  • \(f\left( x \right) = 2{\left( {3x – 5} \right)^4}\) on pose \(u\left( x \right) = 3x – 5\) donc \(u’\left( x \right) = 3\) ainsi \(f = 2 \times \frac{1}{3} \times u'{u^4}\).
    Or, une primitive de \(u'{u^n}\) est \(\frac{1}{{n + 1}}{u^{n + 1}}\) ici avec \(n = 4\) donc \(F\left( x \right) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{5}{\left( {3x – 5} \right)^5} + C\).
  • \(f\left( x \right) = \frac{{5x}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\) on pose donc ainsi \(f = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{{u’}}{{\sqrt u }}\). Or, une primitive de \(\frac{{u’}}{{2\sqrt u }}\) est \(\sqrt u \) d’où \(F\left( x \right) = 5\sqrt {{x^2} + 3} + C\).
  • \(f\left( x \right) = \frac{2}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\); On pose \(u\left( x \right) = x + 4\) d’où \(u’\left( x \right) = 1\) ainsi, \(f = \frac{{2 \times u’}}{{{u^2}}} = 2 \times \left( {\frac{{u’}}{{{u^2}}}} \right)\).
    Or, une primitive de \(\frac{{u’}}{{{u^2}}}\) est \( – \frac{1}{u}\) donc \(F\left( x \right) = – \frac{2}{{x + 4}} + C\).
  • \(f\left( x \right) = \cos \left( {2x + 1} \right)\). On pose \(u\left( x \right) = 2x + 1\) d’où \(u’\left( x \right) = 2\) ainsi, \(f = \frac{1}{2}u’\sin u\). Or, une primitive de \(u’\sin u\) est \( – \cos u\) donc\(F\left( x \right) = – \frac{1}{2}\sin \left( {2x + 1} \right) + C\).

 

IV- Calculs d’intégrales.

1°) Calcul d’intégrales à partir d’une primitive.

Théorème fondamental du calcul intégral :
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) avec \(a\) et \(b\) deux réels de \(I\).
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) alors \(\int_a^b {f\left( t \right)dt} = \left[ {F\left( t \right)} \right]_a^b = F\left( b \right) – F\left( a \right)\).
Démonstration :
Soit \(G:x \mapsto \int_{{\rm{ }}a}^{{\rm{ }}x} {f\left( t \right)dt} \) la primitive de la fonction \(f\) sur \(I\) vérifiant la condition initiale \(G(a) = 0\).
Si \(F\) est une autre primitive de \(f\) sur \(I\) alors, il existe un réel \(k\) tel que, pour tout réel \(x \in I\;\) : \(G\left( x \right) = F\left( x \right) + k\).
Or, \(G(a) = 0\) donc \(k = – F(a)\) ainsi, \(\int_{{\rm{ }}a}^{{\rm{ }}x} {f\left( t \right)dt} = F\left( x \right) – F\left( a \right)\) et pour \(x = b\), \(\int_{{\rm{ }}a}^{{\rm{ }}b} {f\left( t \right)dt} = F\left( b \right) – F\left( a \right)\).
Exemples :

  • \(\int_0^\pi {\cos xdx} = \left[ {\sin x} \right]_0^\pi = \sin \pi – \sin 0 = 0\).
  • \(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x\cos xdx} = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{2}\sin 2xdx} = \frac{1}{2}\left[ { – \frac{1}{2}\cos 2x} \right]_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{1}{2}\).
  • \(\int_{ – 2}^2 {\left( {{t^4} + 1} \right)dt} = \left[ {\frac{1}{5}{t^5} + t} \right]_{ – 2}^1 = \left( {\frac{1}{5} \times 1 + 1} \right) – \left( {\frac{1}{5} \times \left( { – 32} \right) – 2} \right) = \frac{{48}}{5}\).
  • \(\int_2^4 {\frac{1}{{x\ln x}}dx = } \left[ {\ln \left( {\ln x} \right)} \right]_2^4 = \ln 2\)
  • \(\int_1^2 {\frac{{\ln x}}{x}dx = } \left[ {{{\ln }^2}x} \right]_1^2 = \frac{{{{\ln }^2}2}}{2}\).

2°) Intégration par parties (Hors programme).

Théorème : Soit \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) à dérivées continues sur \(I\). Pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\), on a :\(\int_a^b {u’v} = \left[ {uv} \right]_a^b – \int_a^b {uv’} \).
Démonstration : Soit \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur \(I\) alors la fonction \(uv\) est dérivable sur \(I\) de dérivée : \({\left( {uv} \right)^\prime } = u’v + uv’\).
Comme \(u’\) et \(v’\) sont continues sur \(I\), chacune des fonctions\({\left( {uv} \right)^\prime }\), \(u’v\) et \(uv’\) sont continues sur \(I\) ; en intégrant sur \(\left[ {a,b} \right]\), il vient :
\(\int_a^b {{{\left( {uv} \right)}^\prime }} = \int_a^b {\left( {u’v + uv’} \right)} \underbrace = _{linéarite}\int_a^b {u’v} + \int_a^b {uv’} \) soit encore \(\int_a^b {u’v} = \left[ {uv} \right]_a^b – \int_a^b {uv’} \).
Exemple numérique avec \(\int_{{\rm{ }}0}^{{\rm{ }}1} {t{e^t}dt} = \left[ {t{e^t}} \right]_{{\rm{ }}0}^{{\rm{ }}1} – \int_{{\rm{ }}0}^{{\rm{ }}1} {{e^t}dt} = 1\).

a- Applications.

Cette formule permet de calculer une primitive des fonctions usuelles comme \(\ln \), et bien d’autres encore.
Soit \(x > 0\). \(f\left( x \right) = \int_1^x {\ln tdt} \). On pose \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u’\left( t \right) = 1}\\{v\left( t \right) = \ln t}\end{array}} \right.\) d’où \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u\left( t \right) = t}\\{v’\left( t \right) = \frac{1}{t}}\end{array}} \right.\). Puisque chacune des fonctions \(u’v\), \({\left( {uv} \right)^\prime }\) et \(uv’\) est continue sur . D’après la formule d’intégrations par parties :
\(f\left( x \right) = \left[ {t\ln t} \right]_1^x – \int_1^x {tdt} = x\ln x – x\) avec \(x > 0\).

b- Quelques méthodes élémentaires sur l’intégration par parties.

1°) Polynôme \( \times \) exponentielle : \(\int_{}^{} {P\left( t \right){e^{mt}}dt} \) on pose \(u\left( t \right) = P\left( t \right)\) et \(v’\left( t \right) = {e^{mt}}\).
2°) Polynôme \( \times \) trigonométrique : \(\int_{}^{} {P\left( t \right)\sin \left( {mt} \right)dt} \) ou \(\int_{}^{} {P\left( t \right)\cos mtdt} \), on pose\(u\left( t \right) = P\left( t \right)\) et \(v’\left( t \right) = \sin \left( {mt} \right)\) (ou \(v’\left( t \right) = \cos \left( {mt} \right)\))
3°) Polynôme \( \times \) log : \(\int_{}^{} {P\left( t \right)\ln \left( {mt} \right)dt} \), on pose \(u\left( t \right) = \ln \left( {mt} \right)\) et \(v’\left( t \right) = P\left( t \right)\).
4°) Exponentielle \( \times \) trigonométrique : \(\int_{}^{} {\sin \left( {at} \right){e^{mt}}dt} \), on pose ce que l’on veut, mais deux intégrations par parties successives seront nécessaires.
Exemple : \(\int_0^1 {\left( {t – 2} \right){e^{2t}}dt} \). On pose \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u\left( t \right) = t – 2}\\{v’\left( t \right) = {e^{2t}}}\end{array}} \right.\) d’où \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u’\left( t \right) = 1}\\{v\left( t \right) = \frac{1}{2}{e^{2t}}}\end{array}} \right.\).
Puisque chacune des fonctions \(u’v\), \({\left( {uv} \right)^\prime }\) et \(uv’\) est continue sur \(\left[ {0;1} \right]\), d’après la formule d’intégration par parties : \(\int_0^1 {\left( {t – 2} \right){e^{2t}}dt} = \left[ {\frac{1}{2}\left( {t – 2} \right){e^{2t}}} \right]_0^1 – \int_0^1 {\frac{1}{2}{e^{2t}}dt} = \frac{5}{4} – \frac{1}{{2{e^2}}} – \frac{1}{4}{e^2}\).
Exercice : Aix Marseille (1986) :
1°) Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que, pour tout réel \(u \ne \frac{1}{2}\): \(\frac{{{u^2} – 1}}{{2u – 1}} = au + b + \frac{c}{{2u – 1}}\).
2°) En déduire \(\int_{{\rm{ }} – 1}^{{\rm{ }}0} {\frac{{{x^2} – 1}}{{2x – 1}}} dx\).
3°) Calculer \(\int_{{\rm{ }} – \frac{\pi }{6}}^{{\rm{ }}0} {\frac{{{{\cos }^3}x}}{{1 – 2\sin x}}} dx\).

1°) Supposons qu’il existe trois réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que, pour tout réel \(u \ne \frac{1}{2}\), \(\frac{{{u^2} – 1}}{{2u – 1}} = au + b + \frac{c}{{2u – 1}}\).
Par réduction au même dénominateur, \(\frac{{{u^2} – 1}}{{2u – 1}} = \frac{{2a{u^2} + \left( { – a + 2b} \right)u + \left( { – b + c} \right)}}{{2u – 1}}\).
Ce qui donne pour tout \(u \ne \frac{1}{2}\), \({u^2} – 1 = 2a{u^2} + \left( { – a + b} \right)u + \left( { – b + c} \right)\).
Par unicité de l’écriture d’un polynôme, on a, pour tout réel \(u \ne \frac{1}{2}\):
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a = 1}\\{ – a + 2b = 0}\\{ – b + c = – 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{2}}\\{b = \frac{1}{4}}\\{c = – \frac{3}{4}}\end{array}} \right.\)

Il existe trois réels \(\left( {a,b,c} \right) = \left( {\frac{1}{2},\frac{1}{4}, – \frac{3}{4}} \right)\) tels que, pour tout réel \(u \ne \frac{1}{2}\), \(\frac{{{u^2} – 1}}{{2u – 1}} = \frac{1}{2}u + \frac{1}{4} – \frac{3}{4} \times \frac{1}{{2u – 1}}\).

2°) La fonction \(x \mapsto \frac{{{x^2} – 1}}{{2x – 1}}\) est continue sur \(\left[ { – 1;0} \right]\) donc intégrable sur \(\left[ { – 1;0} \right]\).\(\int_{{\rm{ }} – 1}^{{\rm{ }}0} {\frac{{{x^2} – 1}}{{2x – 1}}} dx = \left[ {\frac{1}{4}{x^2} + \frac{1}{4}x – \frac{3}{8}\ln \left| {2x – 1} \right|} \right]_{ – 1}^0 = \frac{{3\ln 3}}{8}\).
On a pour tout réel \(x \in \left[ { – \frac{\pi }{6};0} \right]\), \(\frac{{{{\cos }^3}x}}{{1 – 2\sin x}} = \frac{{\cos x\left( {{{\cos }^2}x} \right)}}{{1 – 2\sin x}} = \frac{{\cos x\left( {1 – {{\sin }^2}x} \right)}}{{1 – 2\sin x}}\).
En posant \(u\left( x \right) = \sin x\) on a \(u’\left( x \right) = \cos x\).

L’intégrale \(\int_{{\rm{ }} – \frac{\pi }{6}}^{{\rm{ }}0} {\frac{{{{\cos }^3}x}}{{1 – 2\sin x}}} dx\) peut s’écrire \(\int_{{\rm{ }} – \frac{\pi }{6}}^{{\rm{ }}0} {\frac{{{{\cos }^3}x}}{{1 – 2\sin x}}} dx = \int_{ – 1}^0 {\frac{{1 – {u^2}}}{{1 – 2u}}du} = \frac{{3\ln 3}}{8}\).

3°) Approximation ou calcul approché d’une intégrale par la méthode des rectangles.

Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) et \(a\), \(b\) deux réels de \(I\) avec \(a < b\).
On va faire la démonstration dans le cas d’une fonction continue monotone (ici croissante) sur l’intervalle \(\left[ {a;b} \right]\).
Soit \(n\) un entier naturel non nul. On subdivise l’intervalle \(\left[ {a;b} \right]\) en \(n\) intervalles égaux de pas \(h = \frac{{b – a}}{n}\) c’est-à-dire \(\left[ {a;b} \right] = \mathop \cup \limits_{k = 0}^{n – 1} \left[ {{x_k};{x_{k + 1}}} \right]\) où :
\({x_0} = a\), \({x_1} = a + h = a + \frac{{b – a}}{n}\), \({x_2} = {x_1} + h = a + 2\frac{{b – a}}{n}\) jusqu’à \({x_n} = {x_{n – 1}} + h = a + n\frac{{b – a}}{n} = b\).
Soit \(k\) un entier naturel avec \(k \in \left[\kern-0.15em\left[ {0;n – 1}\right]\kern-0.15em\right]\).

Puisque \(f\) est croissante sur l’intervalle \(\left[ {{x_k};{x_{k + 1}}} \right]\), pour tout réel \(x \in \left[ {{x_k};{x_{k + 1}}} \right]\) : \(\left( {{x_k} \le x \le {x_{k + 1}}} \right) \Rightarrow \left[ {f\left( {{x_k}} \right) \le f\left( x \right) \le f\left( {{x_{k + 1}}} \right)} \right]\).
Chacune des fonctions \(x \mapsto f\left( {{x_k}} \right)\), \(x \mapsto f\left( {{x_{k + 1}}} \right)\) (qui sont des fonctions constantes) et \(x \mapsto f\left( x \right)\) (par hypothèse) étant continues sur l’intervalle \(\left[ {a;b} \right]\) donc, sur tout intervalle de la forme \(\left[ {{x_k};{x_{k + 1}}} \right]\) sont alors intégrables sur \(\left[ {{x_k};{x_{k + 1}}} \right]\).
En intégrant sur l’intervalle \(\left[ {{x_k};{x_{k + 1}}} \right]\), on a :
\(\begin{array}{ccccc}\left( {\int_{{x_k}}^{{x_{k + 1}}} {f\left( {{x_k}} \right)dx} \le \int_{{x_k}}^{{x_{k + 1}}} {f\left( x \right)dx} \le \int_{{x_k}}^{{x_{k + 1}}} {f\left( {{x_{k + 1}}} \right)dx} } \right) \Leftrightarrow \left( {f\left( {{x_k}} \right) \times \int_{{x_k}}^{{x_{k + 1}}} {dx} \le \int_{{x_k}}^{{x_{k + 1}}} {f\left( x \right)dx} \le f\left( {{x_{k + 1}}} \right) \times \int_{{x_k}}^{{x_{k + 1}}} {dx} } \right)\\\ {\kern 1pt} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Leftrightarrow \left( {\left( {{x_{k + 1}} – {x_k}} \right)f\left( {{x_k}} \right) \le \int_{{x_k}}^{{x_{k + 1}}} {f\left( x \right)dx} \le \left( {{x_{k + 1}} – {x_k}} \right)f\left( {{x_{k + 1}}} \right)} \right)\end{array}\)
Or, \(\forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {0;n – 1}\right]\kern-0.15em\right]\), \({x_{k + 1}} – {x_k} = \frac{{b – a}}{n}\) d’où : \(\left( {\left( {{x_{k + 1}} – {x_k}} \right)f\left( {{x_k}} \right) \le \int_{{x_k}}^{{x_{k + 1}}} {f\left( x \right)dx} \le \left( {{x_{k + 1}} – {x_k}} \right)f\left( {{x_{k + 1}}} \right)} \right) \Leftrightarrow \left( {\frac{{b – a}}{n}f\left( {{x_k}} \right) \le \int_{{x_k}}^{{x_{k + 1}}} {f\left( x \right)dx} \le \frac{{b – a}}{n}f\left( {{x_{k + 1}}} \right)} \right)\).
En additionnant ces \(n\) inégalités pour \(k\) variant de \(0\) à \(n – 1\), on a pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(\frac{{b – a}}{n}\sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {f\left( {{x_k}} \right)} \le \sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {\int_{{x_k}}^{{x_{k + 1}}} {f\left( x \right)dx} } \le \frac{{b – a}}{n}\sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {f\left( {{x_{k + 1}}} \right)} \)
c’est à dire encore, \(\left( {b – a} \right) \times \frac{1}{n} \times \sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {f\left( {{x_k}} \right)} \le \sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {\int_{{x_k}}^{{x_{k + 1}}} {f\left( x \right)dx} } \le \left( {b – a} \right) \times \frac{1}{n} \times \sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {f\left( {{x_{k + 1}}} \right)} \)
ou, sous forme développée :
\(\left( {b – a} \right) \times \frac{1}{n}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_1}} \right) + \cdots + f\left( {{x_{n – 1}}} \right)} \right] \le \sum\limits_{k = 0}^{k = n – 1} {\int_{{x_k}}^{{x_{k + 1}}} {f\left( x \right)dx} } \le \left( {b – a} \right) \times \frac{1}{n}\left[ {f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) + \cdots + f\left( {{x_n}} \right)} \right]\)\(\left( {b – a} \right) \times \frac{1}{n}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_1}} \right) + \cdots + f\left( {{x_{n – 1}}} \right)} \right] \le \sum\limits_{k = 0}^{k = n – 1} {\int_{{x_k}}^{{x_{k + 1}}} {f\left( x \right)dx} } \le \left( {b – a} \right) \times \frac{1}{n}\left[ { – f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) + \cdots + f\left( {{x_n}} \right)} \right]\)
Posons pour\(n \in \mathbb{N}*\), \({u_n} = \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 0}^{k = n – 1} {f\left( {{x_k}} \right)} \) la double inégalité précédente s’écrit :
\(\left( {b – a} \right) \times {u_n} \le \sum\limits_{k = 0}^{k = n – 1} {\int_{{x_k}}^{{x_{k + 1}}} {f\left( x \right)dx} } \le \left( {b – a} \right) \times \left( {{u_n} + \frac{{f\left( {{x_n}} \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{n}} \right)\) [Inégalité 1]
Mais \(f\left( {{x_0}} \right) = f\left( a \right)\) et \(f\left( {{x_n}} \right) = f\left( b \right)\) d’où le membre de gauche s’écrit \(\left( {b – a} \right) \times \left( {{u_n} + \frac{{f\left( b \right) – f\left( a \right)}}{n}} \right)\)
En posant pour \(n \in \mathbb{N}*\), \({v_n} = {u_n} + \frac{{f\left( b \right)}}{n} – \frac{{f\left( a \right)}}{n}\), on montre que les suites \(\left( {{u_n}} \right)\) et \(\left( {{v_n}} \right)\) sont respectivement croissante et décroissante avec
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{v_n} – {u_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{f\left( b \right) – f\left( a \right)}}{n} = 0\) prouvant ainsi que ces deux suites sont adjacentes. Elles sont alors convergentes et de même limite commune que l’on décide de noter \(\int_a^b {f\left( x \right)dx} \) démontrant ainsi que :
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^{k = n – 1} {\int_{{x_k}}^{{x_{k + 1}}} {f\left( x \right)dx} } = \int_a^b {f\left( x \right)dx} \).
Remarque : L’inégalité [1] fournit une majoration de l’erreur commise qui est \({v_n} – {u_n} = \frac{1}{n}\left( {f\left( b \right) – f\left( a \right)} \right)\).
On peut prendre des intervalles de longueurs « inégales » ; on remplacerait les rectangles par des trapèzes, ou bien supposer \(f\) non monotone. Il devient alors difficile de majorer l’erreur.
Continuons, en se plaçant toujours sous les mêmes hypothèses et supposons établi que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \(\left( {b – a} \right){u_n} \le \int_a^b {f\left( x \right)dx} \le \left( {b – a} \right) \times \left( {{u_n} + \frac{{f\left( b \right)}}{n} – \frac{{f\left( a \right)}}{n}} \right)\).
Cela équivaut à, pour tout entier naturel \(n\) non nul,
\({u_n} \le \frac{1}{{b – a}}\int_a^b {f\left( x \right)dx} \le {u_n} + \frac{{f\left( b \right)}}{n} – \frac{{f\left( a \right)}}{n}\)
La première inégalité, donne de façon évidente : \({u_n} \le \frac{1}{{b – a}}\int_a^b {f\left( x \right)dx} \)
La seconde inégalité, \(\frac{1}{{b – a}}\int_a^b {f\left( x \right)dx} \le {u_n} + \frac{{f\left( b \right)}}{n} – \frac{{f\left( a \right)}}{n}\) s’écrit \(\frac{1}{{b – a}}\int_a^b {f\left( x \right)dx} – \frac{{f\left( b \right) – f\left( a \right)}}{n} \le {u_n}\)
Ce qui donne pour tout entier nature \(n\) non nul, un encadrement de \({u_n}\) : \(\frac{1}{{b – a}}\int_a^b {f\left( x \right)dx} – \frac{{f\left( b \right) – f\left( a \right)}}{n} \le {u_n} \le \frac{1}{{b – a}}\int_a^b {f\left( x \right)dx} \).
Par passage à la limite lorsque \(n\) tend vers \( + \infty \), on a \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{f\left( b \right) – f\left( a \right)}}{n} = 0\) et d’après le théorème des « gendarmes », \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \frac{1}{{b – a}}\int_a^b {f\left( x \right)dx} \) ce qui montre que la suite \({\left( {{u_n}} \right)_n}_{ \ge 1}\) a pour limite la valeur moyenne de \(f\) sur l’intervalle \(\left[ {a;b} \right]\).
Remarque : Il faut savoir à partir d’un encadrement d’une intégrale par une suite passer d’un encadrement de la suite par l’intégrale (ou vice versa).
Exercice :
On considère la fonction \(f\) telle que \(f\left( x \right) = {x^2}\) et \(\left( P \right)\) la parabole représentative de \(f\) dans un repère orthonormal et soit \(n\) un entier naturel non nul.
En découpant l’intervalle \(\left[ {0;1} \right]\) en \(n\) intervalles d’amplitude \(\frac{{1 – 0}}{n} = \frac{1}{n}\) et, en encadrant \(f\) par deux fonctions en escalier sur l’intervalle considéré, montrer que \(\int_0^1 {{x^2}dx} = \frac{1}{3}\).
Résolution :
Soit \(n \in \mathbb{N}*\) et découpons l’intervalle \(\left[ {0;1} \right]\) en \(n\) intervalles d’amplitude \(\frac{1}{n}\).
Considérons alors l’intervalle \(\left[ {\frac{k}{n};\frac{{k + 1}}{n}} \right]\) avec \(k\) entier entre \(0\) et \(n – 1\). Puisque \(f\) est une fonction croissante sur \(\left[ {0;1} \right]\), le minimum de \(f\) sur \(\left[ {\frac{k}{n};\frac{{k + 1}}{n}} \right]\) est \(f\left( {\frac{k}{n}} \right)\) et le maximum est \(f\left( {\frac{{k + 1}}{n}} \right)\). On a alors, pour tout réel \(x \in \left[ {\frac{k}{n};\frac{{k + 1}}{n}} \right]\), par croissance de \(f\) sur \(\left[ {0;1} \right]\) :
\(f\left( {\frac{k}{n}} \right) \le f\left( x \right) \le f\left( {\frac{{k + 1}}{n}} \right)\) et puisque \(f\) est continue sur \(\left[ {0;1} \right]\) donc intégrable sur \(\left[ {0;1} \right]\),
\(\begin{array}{l}f\left( {\frac{k}{n}} \right) \le f\left( x \right) \le f\left( {\frac{{k + 1}}{n}} \right) \Leftrightarrow \left( {\frac{{k + 1}}{n} – \frac{k}{n}} \right) \times f\left( {\frac{k}{n}} \right) \le \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{{k + 1}}{n}} {f\left( x \right)dx} \le \left( {\frac{{k + 1}}{n} – \frac{k}{n}} \right) \times f\left( {\frac{{k + 1}}{n}} \right)\\ {\kern 1pt} \; \, \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{n} \times \frac{{{k^2}}}{{{n^2}}} \le \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{{k + 1}}{n}} {f\left( x \right)dx} \le \frac{1}{n} \times {{\left( {\frac{{k + 1}}{n}} \right)}^2}} \right)\end{array}\)
En ajoutant les aires de tous les rectangles, ce qui revient à faire varier \(k\) de \(0\) à \(n – 1\), on obtient un encadrement de l’intégrale sur \(\left[ {0;1} \right]\) à savoir : \(\frac{1}{n} \times \sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}} \le \int_{{\rm{ 0}}}^{{\rm{ 1}}} {{x^2}dx} \le \frac{1}{n} \times \sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {{{\left( {\frac{{k + 1}}{n}} \right)}^2}} \)
d’où \(\left( {\frac{1}{{{n^3}}} \times \sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {{k^2}} \le \int_{{\rm{ 0}}}^{{\rm{ 1}}} {{x^2}dx} \le \frac{1}{{{n^3}}} \times \sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {{{\left( {k + 1} \right)}^2}} } \right)\)
Or, \(\sum\limits_{k = 0}^n {{k^2}} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\) d’où \(\sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {{k^2}} = \frac{{n\left( {n – 1} \right)\left( {2n – 1} \right)}}{6}\) et \(\sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {{{\left( {k + 1} \right)}^2}} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\)
D’où, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(\frac{{n\left( {n – 1} \right)\left( {2n – 1} \right)}}{{6{n^3}}} \le \int_{{\rm{ 0}}}^{{\rm{ 1}}} {{x^2}dx} \le \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{6{n^3}}}\).
Comme chacun des membres de gauche et de droite converge vers \(\frac{1}{3}\), d’après le théorème des gendarmes, on a

\(\int_0^1 {{x^2}dx} = \frac{1}{3}\).

 

V- Calculs d’aires et de volumes.

1°) Pour les aires.

Théorème : Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies et continues sur un intervalle \(I\) contenant \(a\) et \(b\) avec \(a < b\). Si \(g \le f\) sur \([a,b]\), l’aire en u.a. du domaine plan délimité par les courbes \(\left( {Cf} \right)\) et \(\left( {Cg} \right)\) sur \([a,b]\) est \(\int_a^b {\left( {f\left( t \right) – g\left( t \right)} \right)dt} \).
Exercice :

Le but de l’exercice est de calculer l’aire comprise entre deux courbes \({C_1}\) et \({C_2}\) représentatives des fonctions \({f_1}:x \mapsto {x^2} + 1\) et \({f_2}:x \mapsto – {x^2} + 9\).
Les courbes \({C_1}\) et \({C_2}\) se rencontrent aux points d’abscisses \(x = – 2\) et \(x = 2\).
Sur l’intervalle \(\left[ { – 2;2} \right]\) \({C_2}\) est au dessus de \({C_1}\) d’où l’aire entre ces deux courbes sur \(\left[ { – 2;2} \right]\) est :
\(\begin{array}{l}I = \int_{{\rm{ }} – 2}^{{\rm{ }}2} {\left( {{f_2}\left( x \right) – {f_1}\left( x \right)} \right)dx} \\\,\,\,\, = \int_{{\rm{ }} – 2}^{{\rm{ }}2} {\left( { – 2{x^2} + 8} \right)dx} = \left[ { – \frac{2}{3}{x^3} + 8x} \right]_{{\rm{ }} – 2}^{{\rm{ }}2}\\\,\,\,\, = \frac{{64}}{3}{\rm{u}}{\rm{.a}}{\rm{.}}\end{array}\)
Exercice :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f\left( x \right) = x\left( {1 + {e^{ – x}}} \right)\) et \(\left( {{C_f}} \right)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormal \(\left( {O;\mathop i\limits^ \to ;\mathop j\limits^ \to } \right)\).
1°) a- Etudier les limites de \(f\) en \( – \infty \) et \( + \infty \).
b- Montrer que la droite \(\Delta \) d’équation \(y = x\) est asymptote oblique à \(\left( {{C_f}} \right)\)au voisinage de \( + \infty \) et préciser la position relative de \(\Delta \) et \(\left( {{C_f}} \right)\).
2°) Etudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) puis dresser son tableau de variations (on pourra étudier le signe de la dérivée seconde).
3°) Représenter sur un graphique, d’unité graphique \(2\)cm sur chaque axe, la courbe \(\left( {{C_f}} \right)\) et la droite \(\Delta \).
4°) a- Soit \(\lambda \) un réel strictement positif. Calculer en cm2, l’aire \(A(\lambda )\) du domaine constitué de l’ensemble des points \(M\left( {x;y} \right)\) tels que \(0 \le x \le \lambda \) et\(x \le y \le f\left( x \right)\).
b- Quelle est la limite de cette aire lorsque \(\lambda \) tend vers \( + \infty \) ?

2°) Pour les volumes (Hors programme).

L’espace est muni d’un repère orthogonal \(\left( {O;\mathop i\limits^ \to ;\mathop j\limits^ \to ;\mathop k\limits^ \to } \right)\). On appelle unité de volume le réel positif \(\left\| {\mathop i\limits^ \to } \right\| \times \left\| {\mathop j\limits^ \to } \right\| \times \left\| {\mathop k\limits^ \to } \right\|\).
Théorème :

On considère un solide \(\Sigma \) limité par les deux plans parallèles d’équations \(z = a\) et \(z = b\).
Pour tout réel \(z\) tel que \(a \le z \le b\), on note :

  • \(\left( {{P_z}} \right)\) le plan perpendiculaire à \(\left( {{O_Z}} \right)\) et de cote\(z\),
  • \(\left( {{S_z}} \right)\) l’aire de la section du solide \(\Sigma \) par \(\left( {{P_z}} \right)\).

Si \(S\) est une fonction continue sur \([a,b]\) alors le volume de \(\Sigma \) est \(V\left( \Sigma \right) = \int_a^b {S\left( z \right)dz} \) en unités volumiques.
Exemple : volume d’une boule de rayon \(R\) de centre \(O\).
La section de la boule par un plan de cote \(z\) est un disque dont le rayon est donné par le théorème de Pythagore, \({z^2} + {r^2} = {R^2}\) soit \({r^2} = {R^2} – {z^2}\).
L’aire de ce disque est alors \(S\left( z \right) = \pi \left( {{R^2} – {z^2}} \right)\) et donc le volume de la boule est \(V = \int_{ – R}^R {\pi \left( {{R^2} – {z^2}} \right)dz} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\).
Exemple : Volume d’un solide engendré par la rotation d’une partie de plan autour d’un axe.
L’espace est rapporté à un repère orthogonal \(\left( {O;\mathop i\limits^ \to ;\mathop j\limits^ \to ;\mathop k\limits^ \to } \right)\), on considère la partie du plan \(\left( {O;\mathop i\limits^ \to ;\mathop j\limits^ \to } \right)\) délimitée par la courbe d’équation \(y = f\left( x \right)\) et les droites d’équation \(x = a\), \(x = b\) et l’axe \(\left( {O;\mathop i\limits^ \to } \right)\).En tournant autour de l’axe \(\left( {O;\mathop i\limits^ \to } \right)\), cette partie de plan engendre un solide de révolution limité par les plans parallèles à \(\left( {O;\mathop j\limits^ \to ;\mathop k\limits^ \to } \right)\) d’abscisse respectives \(a\) et \(b\). La section \(\left( S \right)\) du solide par le plan parallèle à \(\left( {O;\mathop j\limits^ \to ;\mathop k\limits^ \to } \right)\) d’abscisse \(x\) est un disque de rayon \(f\left( x \right)\), donc d’aire \(\pi {\left( {f\left( x \right)} \right)^2}\). Le volume de ce solide est en unité de volume \(V = \int_a^b {S\left( x \right)dx} = \pi \int_a^b {f{{\left( x \right)}^2}dx} \)

Exemple : On considère le paraboloïde construit en faisant tourner la parabole d’équation \(y = {x^2}\) sur l’intervalle \(\left[ {0;1} \right]\) autour de l’axe \(\left( {{O_y}} \right)\). Le paraboloïde est un solide compris entre les plans d’équations \(y = 0\) et \(y = 1\), et la section du solide par le plan perpendiculaire à \(\left( {O;\mathop j\limits^ \to } \right)\) est un disque de rayon\(x\), donc d’aire \(\pi {x^2} = \pi y\). Alors le volume de ce paraboloïde (bol) est \(\int_0^1 {\pi ydy} = \int_{y = 0}^{y = 1} {\pi ydy} = \left[ {\frac{\pi }{2}{y^2}} \right]_0^1 = \frac{\pi }{2}\) u.v.

3°) Distance parcourue en cinématique (Hors programme).

Si l’on connaît la vitesse instantanée \(v\left( t \right)\) d’un point \(M\) mobile en fonction de la durée \(t\), alors la distance parcourue par ce mobile entre les dates \({t_1}\) et \({t_2}\) (avec \({t_2} > {t_1}\)) est \(\int_{{t_1}}^{{t_2}} {v\left( t \right)dt} \).
Exemple : Pour \(t > 0\), la vitesse d’un mobile est \(v\left( t \right) = \frac{1}{t}\) en m.s-1. Calculer la distance parcourue entre les temps \(t = 1\) et \(t = 2\) (en seconde), puis entre les temps \(t = 2n\) et \(t = 2n + 1\).
On a \(d = \int_a^b {v\left( t \right)dt} = \ln \frac{a}{b}\). Dans les deux cas, \(\frac{a}{b} = 2\) donc \(d = \ln 2 \approx 0,693\) (m). La distance parcourue est la même pour toutes les durées \([2n,2n + 1]\) avec \(n\) entier naturel.