8 – Fonctions Puissances

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A venir : Lucas

 

 

I – LES FONCTION \(x \mapsto {x^n}\) OU n EST UN ENTIER RELATIF NON NUL

Soit n un entier relatif non nul, \({f_n}\) la fonction \(x \mapsto {x^n}\) et \({C_n}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

 

1°) Cas où n est un entier naturel non nul.

La fonction \({f_n}\) est définie sur \(\mathbb{R}\).

On a \({f_n}\left( { – x} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{f_n}\left( x \right)}&{{\rm{si }} \ n{\rm{ \ est \ pair}}}\\{ – {f_n}\left( x \right)}&{{\rm{si }} \ n{\rm{ \ est \ impair}}}\end{array}} \right.\) ; on étudiera donc \({f_n} \ sur \ [0; + \infty [ ; \ \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {f_n}\left( x \right) =  + \infty \).

La fonction \( {f_n} \) est dérivable sur \([0; + \infty [\) de dérivée \({f’_n}\left( x \right) = n{x^{n – 1}}\) et\({f_n}\)est strictement croissante sur \([0; + \infty [\) .

 

2°) Cas où n est un entier négatif non nul.

La fonction \({f_n}\) est définie sur \(\mathbb{R}^*\).

On a \({f_n}\left( { – x} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{f_n}\left( x \right)}&{{\rm{si }} \ n{\rm{ \ est \ pair}}}\\{ – {f_n}\left( x \right)}&{{\rm{si }} \ n{\rm{ \ est \ impair}}}\end{array}} \right.\) ; on étudiera donc \({f_n} \ sur \ ]0; + \infty [  ; \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {f_n}\left( x \right) =  + \infty }\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {f_n}\left( x \right) = 0}\end{array}} \right.\).

La fonction \({f_n}\) est dérivable sur \(]0; + \infty [\) de dérivée \({f’_n}\left( x \right) = \ – \frac{n}{{{x^{n + 1}}}}\) et \({f_n}\) est strictement décroissante sur \(]0; + \infty [\).

 

II – LA FONCTION RACINE N-IEME

 

1°) Introduction.

Soit n un entier naturel avec \(n \ge 2\) et \({f_n}\) la fonction définie sur \([0; + \infty [\) par \({f_n}\left( x \right) = {x^n}\). Sur cet intervalle, la fonction \({f_n}\) est continue et strictement croissante avec \({f_n}\left( 0 \right) = 0\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {f_n}\left( x \right) =  + \infty \).

D’après le théorème de la bijection, pour tout réel \(y \in [0; + \infty [\) il existe un unique réel \(x \in [0; + \infty [\) tel que \({x^n} = y\) ce que l’on écrit \(x = {y^{\frac{1}{n}}}\). Ce nombre est appelé racine n-ème de y et noté aussi \(\sqrt[n]{y}\).

Proposition :

Pour tous réels \(x \ge 0\) et \(y \ge 0\) : \(\left( {{x^n} = y} \right) \Leftrightarrow \left( {x = \sqrt[n]{y}} \right)\).

Définition : La fonction racine n-ème est la fonction définie sur \([0; + \infty [\)  par \(x \mapsto \sqrt[n]{x}\). 

2°) Propriétés de la fonction racine n-ème.

Proposition :

La fonction racine n-ème est :

i.                  dérivable sur \(]0; + \infty [\) et sa dérivée est la fonction \(x \mapsto \frac{1}{n}{x^{\frac{1}{n} – 1}}\).

ii.                 continue sur \([0; + \infty [\)  

iii.                strictement croissante sur \([0; + \infty [\).

Démonstration.

i.                  Pour tout entier naturel \(n \ge 2\) et pour tout réel \(x \in ]0; + \infty [\), \({f_n}\left( x \right) = {x^{\frac{1}{n}}} = {e^{\frac{1}{n}\ln x}}\). D’après le théorème de dérivation des fonctions                       composées, on a : \({f_n}^\prime \left( x \right) = \frac{1}{n} \times \frac{1}{x} \times {e^{\frac{1}{n}\ln x}} = \frac{1}{n} \times \frac{1}{x} \times {x^{\frac{1}{n}}} = \frac{1}{n}{x^{\frac{1}{n} – 1}}\).

ii.                 La dérivabilité de la fonction \(x \mapsto \sqrt[n]{x}\) sur \(]0; + \infty [\) entraîne sa continuité sur \(]0; + \infty [\). De plus, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {e^{\frac{1}{n}\ln x}} = 0\) et \(\sqrt[n]{0} = 0\) donc la                          fonction racine n-ème est continue en 0, par suite, elle est continue sur \([0; + \infty [\)  .

iii.                Sa dérivée \({f_n}^\prime \left( x \right) = \frac{1}{n} \times \frac{1}{x} \times {e^{\frac{1}{n}\ln x}}\) est strictement positive sur \([0; + \infty [\) ce qui assure la stricte croissance sur \([0; + \infty [\).