14 – Droites et plans de l’espace

Droites et plans de l’espace.

 

I- Caractérisation barycentrique des droites et plans de l’espace.

1°) Cas de la droite et du segment.

Proposition.   Soit A et B deux points distincts de l’espace.

i-                   La droite (AB) est l’ensemble des barycentres des points A et B.

ii-                 Le segment [AB] est l’ensemble des barycentres des points A et B affectés de coefficients de même signe.

Démonstration:

  • Soit M un point de la droite (AB). Il existe alors un réel k tel que \(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} \), ce qui s’écrit encore, \(\overrightarrow {AM}  – k\left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB} } \right) = \mathop 0\limits^ \to  \) soit \(\left( {1 – k} \right)\overrightarrow {AM}  + k\overrightarrow {MB}  = \mathop 0\limits^ \to  \). Comme \(\left( {1 – k} \right) + k = 1\) qui est non nul, M est le barycentre du système \(\left\{ {\left( {A,1 – k} \right),\left( {B,k} \right)} \right\}\).

Réciproquement, soit a et b deux réels tels que \(a + b \ne 0\) et M le barycentre du système \(\left\{ {\left( {A,a} \right),\left( {B,b} \right)} \right\}\). Par définition, \(\overrightarrow {AM}  = \frac{a}{{a + b}}\overrightarrow {AB} \) ce qui prouve que \(M \in \left( {AB} \right)\).

  • Soit M un point du segment [AB] ; Il existe alors un réel k tel que \(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} \). Comme M est entre A et B, on a \(\overrightarrow {AM} \) et \(\overrightarrow {AB} \) de même sens donc \(k \ge 0\) donc l’égalité vectorielle \(\overrightarrow {AM}  = k\overrightarrow {AB} \) implique \(AM = kAB\). De plus, AM\( \le \) AB d’où \(k \le 1\).

Un calcul similaire à i) montre que M est le barycentre du système \(\left\{ {\left( {A,1 – k} \right),\left( {B,k} \right)} \right\}\) et puisque \(0 \le k \le 1\), les coefficients k et \(1 – k\) sont positifs donc de même signe.

2°) Cas du plan et de l’intérieur d’un triangle.

Proposition.   Soit A, B et C trois points non alignés de l’espace.

i-                   Le plan (ABC) est l’ensemble des barycentres des points A, B et C.

ii-                 L’intérieur du triangle (ABC) est l’ensemble des barycentres des points A, B et C affectés de coefficients de même signe.

Démonstration.

  • Soit M un point du plan (ABC). Comme les vecteurs \(\overrightarrow {AM} \), \(\overrightarrow {AB} \)et \(\overrightarrow {AC} \) sont coplanaires, il existe alors deux réels x et y tels que \(\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AB}  + y\overrightarrow {AC} \), ce qui s’écrit encore, \(\left( {1 – x – y} \right)\overrightarrow {MA}  + x\overrightarrow {MB}  + y\overrightarrow {MC}  = \mathop 0\limits^ \to  \). Comme \(\left( {1 – x – y} \right) + x + y = 1\) qui est non nul, M est le barycentre du système \(\left\{ {\left( {A,1 – x – y} \right),\left( {B,x} \right),\left( {C,y} \right)} \right\}\).

Réciproquement, soit a, b et c trois réels tels que \(a + b + c \ne 0\) et M le barycentre du système \(\left\{ {\left( {A,a} \right),\left( {B,b} \right),\left( {C,c} \right)} \right\}\). Par définition, \(\overrightarrow {AM}  = \frac{a}{{a + b + c}}\overrightarrow {AB}  + \frac{b}{{a + b + c}}\overrightarrow {AC} \) ce qui prouve que \(M \in \left( {ABC} \right)\).

  • Soit M un point de l’intérieur du triangle (ABC).
    • Si M est en A, alors il est barycentre \(\left\{ {\left( {A,a} \right),\left( {B,0} \right),\left( {C,0} \right)} \right\}\).chap-droites-plans-espaces
    • Si M n’est pas en A, alors la droite (AM) coupe le segment [BC] en un point A’ qui est le barycentre partiel du système \(\left\{ {\left( {B,b} \right),\left( {C,c} \right)} \right\}\) où b et c sont deux réels positifs tels que \(b + c \ne 0\).Comme M est à l’intérieur du triangle (ABC) et sur (AA’), il est sur le segment [AA’] donc M est le barycentre du système \(\left\{ {\left( {A,a} \right),\left( {A’,a’} \right)} \right\}\) avec a et a’ positifs et \(a + a’ \ne 0\).


Posons \(\lambda  = b + c\), on a l>0 ; par homogénéité du barycentre, en multipliant les coefficients du système par \(\frac{\lambda }{{a’}}\), M est barycentre du système \(\left\{ {\left( {A,a\frac{\lambda }{{a’}}} \right),\left( {A’,\lambda } \right)} \right\}\) et donc barycentre du système \(\left\{ {\left( {A;a\frac{\lambda }{{a’}}} \right),\left( {b,b} \right),\left( {C,c} \right)} \right\}\). Puisque la somme des coefficients est non nulle, le théorème est démontré.

II- Représentations paramétriques de droites et plans de l’espace.

On suppose l’espace muni d’un repère orthonormal \(\left( {O;\mathop i\limits^ \to  ,\mathop j\limits^ \to  ,\mathop k\limits^ \to  } \right)\).

1°) Cas d’une droite.

Une droite D de l’espace est définie par un point \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\) et un vecteur directeur \(\mathop n\limits^ \to  \left( {a,b,c} \right)\), ce que l’on note \(D = \left( {A;\mathop n\limits^ \to  } \right)\).

Un point M(x,y,z) de l’espace est un point de la droite D si et seulement si, il existe un réel t tel que \(\overrightarrow {AM}  = t\mathop n\limits^ \to  \).

Théorème.

Une droite D de l’espace passant par un point \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\) et de vecteur directeur \(\mathop n\limits^ \to  \left( {a,b,c} \right)\), admet pour représentation paramétrique :

(S) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_A} + ta}\\{y = {y_A} + tb}\\{z = {z_A} + tc}\end{array}} \right.\)   \(t \in \mathbb{R}\)..

Remarque.

On dit que (S) est un système d’équations paramétrique de la droite (D).

 

Exemple.         Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite passant par les points \(A\left( {1;2; – 1} \right)\) et \(B\left( {3;1; – 1} \right)\).

Un point M(x;y;z) de l’espace est sur la droite (AB) si et seulement si, il existe un réel t tel que \(\overrightarrow {AM}  = t\overrightarrow {AB} \), ce qui s’exprime par :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 – t}\\{z =  – 1}\end{array}} \right.\)            , \(t \in \mathbb{R}\)..

 

Exercice.         Montrer que les deux représentations paramétriques suivantes désignent la même droite.

(S1) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 3t}\\{y = 4t}\\{z = 1 – t}\end{array}} \right.\)       et         (S2) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4 – 9t}\\{y = 4 – 12t}\\{z = 3t}\end{array}} \right.\)           où \(t \in \mathbb{R}\)..

(S1) représente la droite (D1) passant par \(A\left( {1,0,1} \right)\) et de vecteur \(\mathop u\limits^ \to  \left( {3;4, – 1} \right)\).

(S2) représente la droite (D2) passant par \(A\left( {4,4,0} \right)\) et de vecteur \(\mathop v\limits^ \to  \left( { – 9; – 12,3} \right)\).

On a \(\mathop v\limits^ \to   = 3\mathop u\limits^ \to  \) donc \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) sont colinéaires. A est un point de (D1) s’il existe un réel t tel que les coordonnées de A vérifient (S2).

On a \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = 4 – 9t}\\{0 = 4 – 12t}\\{1 = 3t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}\) d’où AÎS2 donc (S1) et (S2) sont confondues.

 

Exercice.         Déterminer l’intersection de deux droites définies paramétriquement par :

(D1) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y =  – 3 + 2t}\\{z = 2 – t}\end{array}} \right.\)          et             (D2) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 3t}\\{y =  – 1 – t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\)            où \(t \in \mathbb{R}\)..

Un point M(x,y,z) appartient à D1 et D2 si et seulement s’il existe un réel t et un réel s tel que

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + t = 2 + 3s}\\{ – 3 + 2t =  – 1 – s}\\{2 – t = 1 + s}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{s = 0}\end{array}} \right.\). Le point commun est \(I\left( {2; – 1;0} \right)\).

2°) Cas d’un plan.

Définir un plan de l’espace, c’est se donner deux vecteurs \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) non colinéaires et un point A de ce plan.

De la définition des vecteurs coplanaires, on déduit qu’un plan est l’ensemble des points M de l’espace, tels que : \(\overrightarrow {AM}  = x\overrightarrow {AB}  + y\overrightarrow {AC} \), où x et y sont deux réels.

Théorème.

Un plan P de l’espace passant par un point \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\) et de vecteurs directeurs \(\mathop u\limits^ \to  \left( {a,b,c} \right)\),  et \(\mathop v\limits^ \to  \left( {a’,b’,c’} \right)\) admet pour représentation paramétrique :

(S) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_A} + ta + sa’}\\{y = {y_A} + tb + sb’}\\{z = {z_A} + tc + sc’}\end{array}} \right.\)        \((t,s) \in {\mathbb{R}^2}\).

 

III- Intersection de plans et droites.

1°) Intersection de deux plans.

Définition.

Deux plans P et Q de vecteurs normaux respectifs \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) sont colinéaires.

Dans le cas contraires, les plans sont sécants selon une droite.

 chap-droites-plans-espaces-2 chap-droites-plans-espaces-3


Exemple.
(Déterminer une représentation paramétrique d’une droite définie comme intersection de deux plans.)

On donne les plans P1 et P2 d’équations respectives \(2x + y – z + 2 = 0\) et \(x + 2y – z + 1 = 0\).

Prouvez que ces deux plans sont sécants et donner une représentation paramétrique de leur droite d’intersection.

Les plans P1 et P2 ont pour vecteurs normaux respectifs \(\mathop {{n_1}}\limits^ \to  \left( {2,1, – 1} \right)\) et \(\mathop {{n_2}}\limits^ \to  \left( {1,2, – 1} \right)\) qui ne sont pas proportionnels, donc les deux plans sont sécants selon une droite D.

Un point \(M\left( {x;y;z} \right)\) de l’espace est sur la droite D si et seulement si \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y – z + 2 = 0}\\{x + 2y – z – 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x – y + 1 = 0}\\{z = x + 2y + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = x + 1}\\{z = 3x + 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{1}{3}z}\\{x = \frac{1}{3}z – 1}\\{z \in IR}\end{array}} \right.\).

Comme z est un réel, on peut poser z=t, d’où une représentation paramétrique de la droite D est : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{1}{3}z}\\{x = \frac{1}{3}z – 1}\\{z \in IR}\end{array}} \right.\). Cette droite passe par le point \(\left( { – 1;0;0} \right)\) et admet pour vecteur directeur \(\mathop {{v_D}}\limits^ \to  \left( {\frac{1}{3},\frac{1}{3},1} \right)\).

2°) Intersection d’une droite et d’un plan.

Intuitivement, une droite de l’espace peut être :

  • contenue dans un plan,
  • disjointe du plan,
  • sécante en un point à ce plan.
Théorème.

Soit P un plan d’équation cartésienne  de vecteur normal \(\mathop n\limits^ \to  \left( {a,b,c} \right)\) et D une droite de l’espace passant par le point \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\) et de vecteur directeur \({\mathop v\limits^ \to  _D}\left( {\alpha ,\beta ,\gamma } \right)\).

L’intersection de P et de la droite D, si elle existe, est donnée par la résolution du système :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha t + {x_A}}\\{y = \beta t + {y_A}}\\{z = \gamma t + {z_A}}\\{ax + by + cz + d = 0}\end{array}} \right.\).


Exemple.
         Déterminer l’intersection d’une droite et d’un plan.

Soit \(A\left( {2;1; – 2} \right)\),\(B\left( { – 1;2;1} \right)\) et P le plan d’équation \(2x – y + z = 2\).

Prouver que la droite (AB) rencontre le plan (P) en un point I puis préciser les coordonnées de I.

  • (P) et (AB) sécants.

La droite (AB) de vecteur directeur \(\overrightarrow {AB} \left( { – 3,1,3} \right)\) est sécante au plan (P) de vecteur normal \(\mathop n\limits^ \to  \left( {2; – 1;1} \right)\) si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow {AB} \) et \(\mathop n\limits^ \to  \) ne sont pas orthogonaux.

Comme \(\overrightarrow {AB} \).\(\mathop n\limits^ \to  \)\( =  – 6 – 1 + 3 = 4 \ne 0\), le plan P et la droite (AB) sont sécants ; il existe donc un point I à la fois sur D et sur (P).

  • Coordonnées du point I.

Une équation paramétrique de la droite (AB) passant par I est donnée par : il existe un réel t tel que \(\overrightarrow {AI}  = t\overrightarrow {AB} \) soit \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 – 3t}\\{y = 1 + t}\\{z =  – 2 + 3t}\end{array}} \right.\) ; \(t \in \mathbb{R}\)..

Dire que I appartient à (P) signifie que ses coordonnées \(\left( {x;y;z} \right)\) vérifient l’équation \(2x – y + z = 2\) d’où le système \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 – 3t}\\{y = 1 + t}\\{z =  – 2 + 3t}\\{2x – y + z – 2 = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 – 3t}\\{y = 1 + t}\\{z =  – 2 + 3t}\\{2\left( {2 – 3t} \right) – \left( {1 + t} \right) + \left( { – 2 + 3t} \right) – 2 = 0}\end{array}} \right.\) ce qui donne \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{11}}{4}}\\{y = \frac{3}{4}}\\{z =  – \frac{{11}}{4}}\\{t =  – \frac{1}{4}}\end{array}} \right.\).