1 – Divisibilité dans \(\mathbb Z\)

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Préliminaire :
On note \(\mathbb{N}\) (respectivement \(\mathbb{Z}\)) l’ensemble des entiers naturels (respectivement l’ensemble des entiers relatifs). Lorsqu’on parlera d’entier, on désignera un élément de \(\mathbb{Z}\).
Les sous-ensembles de \(\mathbb{N}\) possède (l’axiome de récurrence) la propriété suivante :
Tout sous-ensemble non vide et majoré de \(\mathbb{N}^{*}\) possède un plus grand élément non nul (propriété qui sera utile pour l’existence du \(pgcd\))
Tout sous-ensemble non vide de \(\mathbb{N}^{*}\) possède un plus petit élément non nul (pour le \(ppcm\)).

Exemple :
\({\rm E} = \left\{ {2n + 5/n \in \mathbb{N}} \right\}\) possède comme plus petit élément \(5\).
Pour démontrer l’égalité de deux ensembles \({\rm E}\) et \(F\), on procède par double inclusion (\({\rm E} \subset F\) et \(F \subset {\rm E}\)).

I- Divisibilité dans \(\underline {\mathbb Z} \).

1°) Multiples et diviseurs d’un entier relatif.

Définition :
Soit \(a\) et \(b\) deux entiers. On dit que \(a\) est un multiple de \(b\) s’il existe un entier \(k\) tel que \(a = b \times k\).

On dit aussi que \(b\) est un diviseur de \(a\) ou que \(b\) divise \(a\). On note alors \(b\left| a \right.\) pour signifier que \(b\) divise \(a\).

Exemple : \(12 = 3 \times 4\), \(3\) et \(4\) sont des diviseurs de \(12\) ou encore \(12\) est un multiple de \(3\) et de \(4\).

Remarques :

  1. L’entier \(0\) est multiple de tout entier car \(0 = b \times 0\) (ici \(k = 0\)) ; mais \(0\) n’a qu’un seul multiple : lui même (car \(0 \times k = 0\) pour tout entier naturel \(k\)).
  2. Tout entier non nul, admet une infinité de multiples.
  3. Tout entier non nul \(n\) admet au moins quatre diviseurs \(1\), \(\left( { – 1} \right)\), \(n\) et \(\left( { – n} \right)\) (car \(n = 1 \times n\), ici \(k = n\)) et \(n = n \times 1\) (ici \(k = 1\)).

Exercice :

Démontrer que la somme de trois entiers relatifs consécutifs est divisible par \(3\).
Soit \(n\) un entier relatif. Trois entiers relatifs peuvent s’écrire, \(n – 1\), \(n\) et \(n + 1\).
Leur somme : \(\left( {n – 1} \right) + n + \left( {n + 1} \right) = 3n\) et un multiple de \(3\), d’où la conclusion.

Propriétés :
Soit \(a\), \(b\) et \(c\) trois entiers.

  1. Si \(\left. a \right|{\rm{ }}b\) alors \(\left. {\left( { – a} \right)} \right|{\rm{ }}b\),
  2. Si \(\left. a \right|{\rm{ }}b\) et si \(b \ne 0\) alors \(\left| a \right| \le \left| b \right|\),
  3. Si \(\left. a \right|{\rm{ }}b\) et si \(\left. b \right|{\rm{ }}a\) alors \(a = b\) ou \(a = – b\) (avec \(a\) et \(b\) tous deux non nuls).
  4. Si \(\left. a \right|{\rm{ }}b\) alors \(\left. a \right|{\rm{ }}bc\),
  5. Si \(\left. a \right|{\rm{ }}b\) et \(\left. b \right|{\rm{ }}c\) alors \(\left. a \right|{\rm{ }}c\),
  6. Si \(\left. a \right|{\rm{ }}b\) et \(\left. a \right|{\rm{ }}c\) alors \(\left. a \right|{\rm{ }}b + c\), \(\left. a \right|{\rm{ }}b – c\) et plus généralement \(\left. a \right|{\rm{ }}bx + cy\) avec \(x\) et \(y\)
  7. Si \(\left. a \right|{\rm{ }}b\) et \(\left. a \right|{\rm{ }}c\) et si (\(b \ge c\)) alors \(\left. a \right|{\rm{ }}b – c\).
  8. Dans \(\mathbb N\), si \(\left. a \right|{\rm{ }}b\) et \(b \ne 0\) alors \(a \le b\) (le diviseur est plus petit que le multiple !)

Démonstration :

  1. Si \(\left. a \right|{\rm{ }}b\), par définition, il existe un entier naturel \(k\) tel que \(b = a \times k\) ce qui s‘écrit \(b = \left( { – a} \right) \times \left( { – k} \right)\) et montre que \(\left. {\left( { – a} \right)} \right|{\rm{ }}b\).
  2. Si \(\left. a \right|{\rm{ }}b\), par définition, il existe un entier naturel \(k\) tel que \(b = a \times k\) ce qui implique \(\left| b \right| = \left| a \right| \times \left| k \right|\) et puisque \(b \ne 0\), alors \(\left| k \right| \ne 0\) d’où \(\left| a \right| \le \left| b \right|\).
  3. Avec ces deux conditions, on a \(\left| a \right| \le \left| b \right|\) et \(\left| b \right| \le \left| a \right|\) qui impliquent \(\left| a \right| = \left| b \right|\) soit encore \(a = b\) ou \(a = – b\).
  4. Si \(\left. a \right|{\rm{ }}b\), par définition, il existe un entier \(k\) tel que \(b = a \times k\) donc pour tout entier \(c\) non nul : \(b \times c = a \times k \times c\) c’est à dire \(b \times c = a \times \left( {kc} \right)\).
    Mais \(k\) et \(c\) sont deux entiers donc leur produit est un entier ; posons \(K = kc\). Ainsi, il existe un entier \(K\) tel que \(b \times c = a \times K\) ce qui montre que \(bc\) est un multiple de \(a\), soit \(\left. a \right|{\rm{ }}bc\).
  5. Si \(\left. a \right|{\rm{ }}b\), par définition, il existe un entier \({k_1}\) tel que \(b = a \times {k_1}\) et si \(\left. b \right|{\rm{ }}c\), il existe un entier \({k_2}\) tel que \(c = b \times {k_2}\). Ainsi \(c = a \times {k_1} \times {k_2}\). Mais \({k_1}\) et \({k_2}\) sont deux entiers donc leur produit est un entier ; posons \(K = {k_1}{k_2}\). Ainsi, il existe un entier \(K\) tel que \(c = a \times K\), ce qui prouve que \(c\) est un multiple de \(a\) soit puisque \(a\) est non nul \(\left. a \right|{\rm{ }}c\).
  6. Si \(\left. a \right|{\rm{ }}b\) et \(\left. a \right|{\rm{ }}c\), par définition, il existe deux entiers \({k_1}\) et \({k_2}\) tels que \(b = a \times {k_1}\) et \(c = a \times {k_2}\). Soit \(x\) et \(y\) deux entiers, on a par addition \(bx + cy = ax{k_1} + ay{k_2}\) soit encore \(bx + cy = a \times \left( {x{k_1} + y{k_2}} \right)\) et comme \(x{k_1} + y{k_2}\) est un entier, en posant \(k = x{k_1} + y{k_2}\) il vient \(bx + cy = a \times k\) et montre que \(\left. a \right|{\rm{ }}bx + cy\).
    Par suite, en prenant \(x = y = 1\) puis \(x = 1\) et \(y =  – 1\), on a les résultats.
  7. Est laissée en exercice.

Exemple :
Comment choisir l’entier naturel \(n\) pour que \(n + 8\) soit un multiple de \(n\) ?
\(n + 8\) est un multiple de \(n\) si et seulement si il existe un entier \(k\) tel que \(n + 8 = nk\). \(n\) étant un entier naturel, on en déduit que \(n + 8 > 0\) et donc que \(k \ge 2\) parce que \(k = 1\) est visiblement impossible. Ensuite, on peut écrire : \(\left( {k – 1} \right)n = 8\), donc \(n\) est un diviseur de \(8\), \(n \in \left\{ {1;2;4;8} \right\}\).
Autre façon. \(n\left| n \right.\) donc \(\left. n \right|n + 8 \Leftrightarrow \left. n \right|\left( {n + 8 – n} \right) \Leftrightarrow \left. n \right|8\).

2°) Principe du raisonnement inductif .

Méthode :
Pour résoudre dans \(\mathbb{Z}\) une équation du type \(f\left( x \right)g\left( y \right) = a\) connaissant les diviseurs de \(a\), on utilise un raisonnement inductif.

  • \(f\left( x \right)\) et \(g\left( y \right)\) sont des diviseurs associés de \(a\);
  • on utilise un critère de tri, qui permet de réduire le nombre de couples de diviseurs de \(a\) à envisager ;
  • On conclut en faisant une vérification si le raisonnement ne se fait pas équivalences.

Exemple :
\(1^\circ )\) Ecrire la liste des diviseurs de \(56\) dans \(\mathbb{Z}\).
\(2^\circ )\) Déterminer les entiers relatifs \(x\) et \(y\) tels que \(\left( {2x + 1} \right)y = 56\).
\(1^\circ )\) \(Div_{\mathbb Z}\left( {56} \right) = \left\{ { – 56; – 28; – 14; – 8; – 7; – 4; – 2; – 1;1;2;4;7;8;14;28;56} \right\}\).
\(2^\circ )\) Si \(\left( {2x + 1} \right)y = 56\) alors \(2x + 1\) et \(y\) sont des diviseurs associés de \(56\). Or \(2x + 1\) n’est pas un multiple de \(2\), donc d’après 1°):
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 1 =  – 1}\\{y =  – 56}\end{array}} \right.ou\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 1 =  – 7}\\{y =  – 8}\end{array}} \right.ou\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 1 = 1}\\{y = 56}\end{array}} \right.ou\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 1 = 7}\\{y = 8}\end{array}} \right.\).
Donc \(\left( {x;y} \right)\) peut être l’un des couples \(\left( { – 1; – 56} \right)\), \(\left( { – 4; – 8} \right)\), \(\left( {0;56} \right)\) ou \(\left( {4;8} \right)\).
Réciproquement, on vérifie que chacun de ces quatre couples est solution de l’équation.

 

II- La division euclidienne.

1°) Division euclidienne dans\(\underline {\mathbb N} \).

Théorème :
Soit \(a\) et \(b\) deux entiers naturels avec \(b\) non nul. Il existe un unique couple d’entiers naturels \(q\)et \(r\) tels que :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = bq + r}\\{0 \le r < b}\end{array}} \right.\).
Dans cette écriture, dite division euclidienne de \(a\) par \(b\), \(a\) est appelé le dividende, \(b\) le diviseur, \(q\) le quotient et \(r\) le reste.

Démonstration :
Puisque \(b\) est un entier naturel strictement positif, la suite des multiples de \(b\) est strictement croissante. Ecrivons ces multiples de \(0\) jusqu’à \(\left( {a + 1} \right)b\).
\(0\) ; \(b\) ; \(2b\) ; \(3b\) ; ……. ; \(qb\) ; \(\left( {q + 1} \right)b\) ; …. ; \(\left( {a + 1} \right)b\).
Comme \(\left( {a + 1} \right)b > a\), \(a\) est nécessairement soit l’un des multiples de \(b\) écrits, soit compris entre deux multiples de \(b\) consécutifs.

  • Cas \(1\). Si \(a\) est un multiple de \(b\), par définition de la divisibilité, il existe un entier naturel \(q\) tel que \(a = bq\).
  • Cas \(2\). Si \(a\) n’est pas un multiple de \(b\) alors \(a\) est dans un intervalle de la forme \(\left] {bq;\left( {q + 1} \right)b} \right[\).

Les deux cas ci-dessus permettent d’affirmer qu’il existe un entier relatif \(q\) tel que \(bq \le a < \left( {q + 1} \right)b\).
Soit \(r\) la distance de \(a\) à \(bq\), ainsi \(a = bq + r\) ce qui donne dans la double inégalité précédente :
\(0 \le r < b\) ;
Ce qui prouve l’existence du couple \(\left( {q;r} \right)\). L’unicité se fait comme en bas.
(Hors programme).

  • Existence de \(q\) et \(r\).
  • Premier cas : si \(0 \le a < b\), le couple \(\left( {q;r} \right) = \left( {0;a} \right)\) convient car \(a = b \times 0 + a\).
  • Second cas : Supposons que \(a \ge b\) avec \(a\) et \(b\) deux entiers naturels strictement positifs.
    On va utiliser le lemme suivant :
    Dans l’ensemble \(\mathbb{N}\) des entiers naturels, toute partie non vide admet un plus petit élément.
    Soit \({\rm M}\) l’ensemble des multiples de \(b\) strictement supérieurs à \(a\). L’entier \(2b \times a\) est un multiple de \(b\) et est strictement plus grand que \(a\) puisque \(b \ge 1\) et \(a \ne 0\); donc \(2b \times a \in {\rm M}\) et donc \({\rm M}\) est non vide.
    D’après le lemme, \({\rm M}\) admet un plus petit élément, c’est à dire un multiple de \(b\), strictement supérieur à \(a\) mais tel que le multiple précédent soit inférieur ou égal à \(a\).
    Il existe donc un entier naturel \(q\) tel que \(qb \le a < \left( {q + 1} \right)b\).
    Par ailleurs, \(b \le a\) et on a \(b \le a < \left( {q + 1} \right)b\) donc \(b < \left( {q + 1} \right)b\) et comme \(b\) est non nul \(1 < q + 1\) c’est à dire \(0 < q\); ainsi \(q\) est un entier naturel (strictement positif).
    Posons \(r = a – bq\). Comme \(a\), \(b\) et \(q\) sont des entiers naturels, il en est de même pour \(r\).
    De \(qb \le a\), on déduit que \(a – bq \ge 0\) et donc que \(r \ge 0\) ce qui fait de \(r\) un entier naturel.
    De \(a < \left( {q + 1} \right)b\) on a \(a < qb + b\) c’est à dire \(a – bq < b\) soit encore \(r < b\) ; ainsi \(0 \le r < b\).
    Conclusion : dans tous les cas, il existe deux entiers naturels \(q\) et \(r\) tels que \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = bq + r}\\{0 \le r < b}\end{array}} \right.\).
  • Unicité de \(q\) et \(r\).
    Supposons qu’il existe deux couples d’entiers naturels \(\left( {q;r} \right)\) et \(\left( {q’;r’} \right)\) tels que : \(a = bq + r\) avec \(0 \le r < b\) et \(a = bq’ + r’\) avec \(0 \le r{\rm{ ‘}} < b{\rm{ }}’\). Montrons que ces deux couples sont les mêmes.
    De \(a = bq + r\) et \(a = bq’ + r’\) on obtient que \(b\left( {q – q’} \right) = r’ – r\) avec \(q – q’\) entier et \(r’ – r\) multiple de b.
    De \(0 \le r < b\) on obtient que \( – b <  – r \le 0\) d’ou par addition avec \(0 \le r{\rm{ ‘}} < b{\rm{ }}’\) on a : \( – b < r’ – r < b\).
    Ainsi \(r’ – r\) est un multiple de \(b\) strictement compris entre \( – b\) et \(b\) or il ne peut y en avoir qu’un, c’est \(0\). Par suite \(r = r’\).
    En reportant dans \(b\left( {q – q’} \right) = r’ – r\), on a \(b\left( {q – q’} \right) = 0\) c’est à dire \(q = q’\) car \(b \ne 0\).

D’où l’unicité du couple \(\left( {q;r} \right)\).

Exemple : 
Effectuer la division euclidienne de \(16321\) par \(37\).
Réponse : \(16321 = 37 \times 441 + 4\) avec \(0 \le 4 \le 37\).

Corollaire :
Soit \(a\) et \(b\) deux entiers naturels avec \(b\) non nul.

  1. Dans le cas de la division euclidienne de \(a\) par \(b\), il n’y a que \(b\) restes possibles qui sont : \(0\), \(1\), …, \(b – 1\)

Le lien entre divisibilité et division euclidienne se fait naturellement à savoir que : \(b\) divise \(a\) si et seulement si le reste \(r\) de la division euclidienne de \(a\) par \(b\) est nul.

Exemple :
Dire qu’un entier naturel \(a\) est divisible par \(2\), c’est dire que les restes possibles dans la division euclidienne de cet entier par \(2\) sont \(0\) ou \(1\). Lorsque ce reste est \(0\), on dit que \(a\) est pair, lorsque ce reste est \(1\), on dit que \(a\) est impair.
Dans la division euclidienne d’un entier naturel par \(3\) les restes possibles sont \(0\), \(1\) ou \(2\).

Exercice :
Soit \(N\) un entier naturel.
Quand on divise \(N\) par \(4\), le reste dans la division euclidienne est \(3\).
Quand on divise \(N\) par \(5\), le quotient reste inchangé mais le reste est \(1\). Quel est ce nombre \(N\) ?
Soit \(q\) le quotient de la division euclidienne de \(N\) par \(4\) ; on a alors \(N = 4 \times q + 3\). On a de même, puisque le quotient est inchangé \(N = 5 \times q + 1\).
Ce qui amène à l’égalité : \(4 \times q + 3 = 5 \times q + 1\) soit \(q = 2\) et donc \(N = 11\).
On vérifie bien alors que \(11 = 4 \times 2 + 3 = 5 \times 2 + 1\).

Exercice :
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), l’entier \(n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)\) est divisible par \(3\).
Les restes possibles dans la division euclidienne de \(n\) par \(3\) sont : \(0\), \(1\) ou \(2\). Ainsi, il existe un entier naturel \(p\) tel que \(n = 3p\), \(n = 3p + 1\) ou \(n = 3p + 2\). et remplacer successivement.

2°) La division euclidienne dans \(\underline {\mathbb Z} \).

Théorème :
Soit \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs avec \(b\) non nul. Il existe un unique entier relatif \(q\) et un unique entier naturel \(r\), tels que :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = bq + r}\\{0 \le r < \left| b \right|}\end{array}} \right.\)

Démonstration :
Se déduit du théorème ci-dessus à partir de la division euclidienne de \(a\) par \(b\).

Exemple :
Prenons : \(a = 37\) et  \(b =  – 11\). On a \(37 = 11 \times 3 + 4\) soit encore \(37 = \left( { – 11} \right) \times \left( { – 3} \right) + 4\).
\(a =  – 37\) et \(b = 11\). On a \(37 = 11 \times 3 + 4\) soit encore \( – 37 =  – \left( {11 \times 3} \right) – 4 = 11 \times \left( { – 3} \right) – 4\) et pour obtenir un reste positif et strictement inférieur à \(11\), on écrit, \( – 37 = 11 \times \left( { – 3} \right) – 11 + 11 – 4 = 11 \times \left( { – 4} \right) + 7\).

Exercice :
Déterminer le reste de la division euclidienne de \(a\left( n \right)\) par \(b\left( n \right)\).
Pour se faire, on peut commencer par exprimer le dividende en fonction du diviseur.
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Quel est le reste de la division euclidienne de \({\left( {n + 2} \right)^2}\) par \(n + 4\), puis de \(7n + 16\) par \(2n + 3\) ?
\({\left( {n + 2} \right)^2} = {n^2} + 4n + 4 = \left( {n + 4} \right)n + 4\) avec \(0 \le 4 < n + 4\) (car \(n > 0\)). Donc cette division a pour reste \(4\).
\(7n + 16 = 3\left( {2n + 3} \right) + n + 7\).
\(N + 7\) est le reste dans la division si \(0 \le n + 7 \le 2n + 3\), c’est-à-dire \(n > 4\).
Dans le cas ou \(0 < n \le 4\), \(n + 7\) est supérieur au diviseur \(2n + 3\), donc on augmente le quotient de \(1\) : \(7n + 16 = 4\left( {2n + 3} \right) + 4 – n\). On vérifie que \(0 \le 4 – n < 2n + 3\).
Conclusion : Si \(n \ge 5\), le reste est \(n + 7\); si \(0 < n \le 4\), le reste est \(4 – n\).

 

III- Ecriture des entiers naturels dans une base choisie.

1°) Présentation générale.

Définition :
Soit \(b\) un entier naturel fixé (avec \(b \ge 2\)). Tout entier naturel \(a\) non nul, s’écrit de façon unique sous la forme :
\(a = {a_n} \times {b^n} + {a_{n – 1}} \times {b^{n – 1}} +  \ldots  + {a_i} \times {b^i} +  \cdots  + {a_1} \times b + {a_0}\)
où \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et pour tout \(i \in \left[ {0;n} \right]\) : \({a_i} \in \mathbb N\) avec \(0 \le {a_i} < b\) et \({a_n} \ne 0\).

Remarques :

  1. On convient de symboliser le nombre \(a\) dans la base \(b\) par l’écriture : \({\overline {{a_n}{a_{n – 1}} \cdots {a_1}{a_0}} ^{\left( b \right)}}\).
  2. La représentation symbolique d’un nombre \(a\) dans la base \(b\) nécessite l’utilisation de b symboles \(0\), \(1\), …, \(b – 1\) appelés chiffres.

Exemple :

  • En base \(10\), \(5803 = 5 \times {10^3} + 8 \times {10^2} + 0 \times {10^1} + 3\).

2°) Base \(\underline {2}\) ou système binaire.

Il est utilisé de nos jours pour le traitement électronique de l’information et utilise deux chiffres \(0\) et \(1\).
\({\overline {1001} ^{\left( 2 \right)}} = 1 \times {2^3} + 0 \times {2^2} + 0 \times {2^1} + 1\)
ainsi le nombre \({\overline {1001} ^{\left( 2 \right)}}\) écrit dans la base \(2\) représente le chiffre \(9\) dans la base \(10\).
Comment écrire un nombre donné en base \(10\) dans une base \(b\) ? Faisons le avec la base \(2\).
Ecrivons \(143\) (donné en base \(10\)) en base \(2\).
Cela repose sur des divisions euclidiennes successives.

 

\(143\) (en base \(10\)) s’écrit \({\overline {10001111} ^{\left( 2 \right)}}\) que l’on écrit \(143 = \)\({\overline {10001111} ^{\left( 2 \right)}}\).
En effet :

\(\begin{array}{l}143 = 2 \times 71 + 1\\\quad \,\,\, = 2 \times \left( {2 \times 35 + 1} \right) + 1 = 35 \times {2^2} + 1 \times 2 + 1\\\quad \,\,\, = \left( {2 \times 17 + 1} \right) \times {2^2} + 1 \times 2 + 1\\\quad \,\,\, = 17 \times {2^3} + 1 \times {2^2} + 1 \times 2 + 1\\\quad \,\,\, = \left( {2 \times 8 + 1} \right) \times {2^3} + 1 \times {2^2} + 1 \times 2 + 1\\\quad \,\,\, = 8 \times {2^4} + 1 \times {2^3} + 1 \times {2^2} + 1 \times 2 + 1\\\quad \,\,\, = {2^7} + 1 \times {2^3} + 1 \times {2^2} + 1 \times 2 + 1\\\quad \,\,\, = 1 \times {2^7} + 0 \times {2^6} + 0 \times {2^5} + 0 \times {2^4} + 1 \times {2^3} + 1 \times {2^2} + 1 \times 2 + 1\end{array}\)

Exercice :

1°) Ecrire en base \(2\) les nombres suivants données en base \(10\) : \(26\) et \(100\).

2°) Effectuer l’addition suivante : \({\overline {10101} ^{\left( 2 \right)}} + {\overline {10001} ^{\left( 2 \right)}} = {\overline {100110} ^{\left( 2 \right)}}\) (addition posée).

3°) Le principe de l’addition s’étend (en base quelconque) avec le système de la retenue.

 

IV- Critères de divisibilité.

Ces critères concernent un nombre écrit en base \(10\).

Théorème :
Un entier écrit en base \(10\) est divisible par :

  1. \(2\) si et seulement si le chiffre de ses unités est pair,
  2. \(3\) si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par \(3\),
  3. \(5\) si et seulement si le chiffre de ses unités est \(0\) ou \(5\),
  4. \(9\) si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par \(9\),
  5. \(10\) si et seulement si son dernier chiffre est \(0\)

Démonstration (de quelques critères) :
Soit \(a\) un entier écrit en base \(10\), c’est à dire :
\(a = {a_n} \times {10^n} + {a_{n – 1}} \times {10^{n – 1}} +  \ldots  + {a_i} \times {10^i} +  \cdots  + {a_1} \times 10 + {a_0}\).

  1. On a \(10 = 2 \times 5\) soit encore \(10 = 2{k_1}\) avec \({k_1} \in \mathbb N\). Par suite, pour tout entier naturel \(n\) non nul : \({10^n} = {2^n} \times {5^n} = 2 \times \left( {{2^{n – 1}} \times {5^n}} \right) = 2 \times {k_n}\) où \({k_n} \in \mathbb N\).
    Ainsi, \(a = 2 \times \left( {{k_n} + {k_{n – 1}} +  \cdots  + {k_1}} \right) + {a_0}\)\({a_0}\) notée égalité \(\left[ 1 \right]\).
  • Sens \( \Rightarrow \).
    Si \(a\) est divisible par \(2\), alors il existe un entier naturel \(k\) tel que \({a_0} = 2 \times k\). L’égalité \(\left[ 1 \right]\) s’écrit \(2 \times k = \left( {{k_n} + {k_{n – 1}} +  \cdots  + {k_1}} \right) + {a_0}\) c’est à dire \(2 \times \left( {k – {k_n} – {k_{n – 1}} –  \cdots  – {k_1}} \right) = {a_0}\). Comme \(k\), \({k_1}\), …, \({k_n}\) sont des entiers et que la somme, différence d’entiers est une entier, on peut poser \(K = k – {k_n} – … – {k_0}\) et donc \(2 \times K = {a_0}\) ce qui prouve que \({a_0}\) est divisible par \(2\).
  • Sens \( \Leftarrow \).
    Si \({a_0}\) est divisible par \(2\), alors il existe un entier naturel \(k\) tel que \({a_0} = 2 \times k\). L’égalité \(\left[ 1 \right]\) s’écrit \(a = 2 \times \left( {{k_n} + {k_{n – 1}} +  \cdots  + {k_1}} \right) + 2 \times k\) c’est à dire \(a = 2 \times \left( {{k_n} + {k_{n – 1}} +  \cdots  + {k_1} + k} \right)\). En posant \(K = {k_n} + {k_{n – 1}} +  \cdots  + {k_1} + k\) qui est un entier, on a : \(a = 2 \times K\) ce qui prouve que \(a\) est divisible par \(2\).

Conclusion : \(a\) est divisible par \(2\) si et seulement si \({a_0}\) est divisible par \(2\) c’est à dire pair.

  1. On a \(10 = 3 \times 3 + 1 = 3 \times {k_1} + 1\) avec \({k_1} \in \mathbb N\).

Et \({10^2} = {\left( {3 \times 3 + 1} \right)^2} = {3^2} \times {3^2} + 2 \times 3 \times 3 \times 1 + {1^2} = 3 \times \left( {{3^3} + 3 \times 2 \times 1} \right) + 1\) ce qui s’écrit

\({10^2} = 3 \times {k_2} + 1\) avec \({k_2} \in \mathbb N\).

On démontre et on admettra que pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a \({10^n} = {\left( {3 \times 3 + 1} \right)^n} = 3 \times {k_n} + 1\).

Ainsi,\(\begin{array}{l}a = {a_n} \times \left( {3{k_n} + 1} \right) + {a_{n – 1}} \times \left( {3 \times {k_{n – 1}} + 1} \right) +  \ldots  + {a_1} \times \left( {3 \times {k_1} + 1} \right) + {a_0}\\\;\;\; = 3 \times \left( {{a_n}{k_n} + {a_{n – 1}}{k_{n – 1}} +  \cdots  + {a_1}{k_1}} \right) + \left( {{a_n} + {a_{n – 1}} +  \ldots  + {a_1} + {a_0}} \right)\end{array}\).

À nouveau, séparer les \(2\) implications.

Exemples :

  • \(1532 = 2 \times \left( {500 + 250 + 15 + 1} \right) = 2 \times 766\). Comme \(766\) est un entier, \(1532\) est divisible par \(2\).
  • \(271\) est-il divisible par \(3\)? La somme des chiffres est égale à \(10\) qui n’est pas divisible par \(3\), donc \(271\) n’est pas divisible par \(3\).
  • \(1000 = 10 \times 100\), ainsi \(1000\) est divisible par \(10\).

Exercice :
On donne le nombre \({\overline {3506} ^{\left( {12} \right)}}\).

  • Ce nombre est-il divisible par \(3\)?
  • La correspondance de ce nombre en base \(10\) est-elle divisible par \(3\)?