4 – Vecteurs et droites

cours pdf

VECTEURS ET DROITES

I- LES VECTEURS

1°) Généralités

  • A tout couple de points \((A;B)\) distincts du plan est associé un vecteur noté \(\vec{AB}\), que l’on peut noter par la lettre \(\vec{u}\) appelé un représentant du vecteur \(\vec{AB}\).
  • Lorsque \(A=B\), on pose \(\vec{AA}=\vec{0}\) et on dit que \(\vec{0}\) est le vecteur nul.
  • Quels que soient le vecteur \(\vec{u}\) et le point \(A\) du plan, il existe un unique point \(G\) du plan tel que \(\vec{AG}=\vec{u}\).
  • La norme du vecteur \(\vec{AB}\) est la longueur \(AB\), on la note \(||\vec{AB}||\) et ainsi \(||\vec{AB}||=AB\).

2°) Egalité de deux vecteurs

  • Deux vecteurs sont égaux si et seulement si.

– Tous les deux sont les vecteurs nuls,

-ou bien ont le même sens , même direction, même norme.

  • Lorsque les points \(A, B, C\) et \(D\) ne sont pas alignés, \(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si \(\vec{AB}=\vec{DC}\).

image001

 

3°)  Addition de vecteurs

  • Relation de Chasles: Soient \(A, B\) et \(C\) trois points distincts du plan, \(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\).
  • Règle du parallélogramme: Soit \(ABCD\) un parallélogramme, \(\vec{AB}+\vec{AC}=\vec{AD}\).

4°)  Multiplication d’un vecteur par un réel

  • Soit \(\vec{u}\) un vecteur non nul et \(k\) un réel non nul. Le vecteur \(k\vec{u}\) est défini de la façon suivante :

– même direction que le vecteur \(\vec{u}\);

– de même sens si \(k>0\) ou de sens opposé si \(k<0\);

– de norme \(||k\vec{u}||=|k|\times||\vec{u}||\).

  • Si \(k=0\) ou \(\vec{u}=\vec{0}\) alors \(k\vec{u}=\vec{0}\).
  • Règles de calculs. Pour tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{u}\) et pour tout réels \(α\) et \(β\), on a :

– \(α(\vec{u}+\vec{v})=α\vec{u}+α\vec{v}\);

-\(α(β\vec{u})=(αβ)\vec{u}\);

-\((α+β)\vec{u}=α\vec{u}+β\vec{u}\);

– \(k=0\) ou \(\vec{u}=\vec{0}\) si est seulement si \(k\vec{u}=\vec{0}\).

II- VECTEURS COLINEAIRES

1°)  Généralités sur les vecteurs colinéaires 

Définition : On dit que deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s’ils ont la même direction.

Remarques:

  • Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan ;
  • deux vecteurs \(\vec{AB}\) et  \(\vec{CD}\) sont colinéaires si et seulement si, ils ont même direction  (c’est à dire \((AB)\) parallèle à \((CD)\)) ce qui équivaut à, il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{AB}=k\vec{CD}\).

Théorème:

Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement si, il existe un réel \(k\) non nul tel que \(\vec{u}=k\vec{v}\).

Démonstration:

  • Sens\(\Leftarrow\)

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs  et \(k\) un réel tel que \(\vec{u}=k\vec{v}\). Alors par définition du produit d’un vecteur par un réel, les vecteurs \(\vec{u}\) et \(k\vec{v}\) ont la même direction donc sont colinéaires.

  • Sens\(\Rightarrow\)

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs colinéaires et soient \(A, B\) et \(C\) trois points du plan tels que \(\vec{AB}=\vec{u}\) et \(\vec{AC}=\vec{v}\). Comme \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires alros \((AB)//(AC)\). De plus, \(\begin{cases} A∈(AB)\\ A ∈(AC) \end{cases}\) donc les points \(A, B\) et \(C\) sont alignés.

Premier cas:

fdhSi \(A∈]BC[ \); posons \(k=\dfrac{AB}{AC}\). On a :

  • \(||\vec{u}||=||k\vec{v}||\); en effet, \(AB=\dfrac{AB}{AC}\times AC\);
  • \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont de sens opposé ;
  • \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) ont même direction, celle de la droite \(AB\).

Il existe donc un réel \(k<0\), avec \(k=-\dfrac{AB}{AC}\), tel que \(\vec{u}=k\vec{v}\).

Deuxième cas:

dh

 Si \(B∈]AC[ \); posons \(k=\dfrac{AB}{AC}\). On a :

  • \(||\vec{u}||=||k\vec{v}||\); en effet, \(AB=\dfrac{AB}{AC}\times AC\);
  • \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont de même sens;
  • \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) ont même direction, celle de la droite \(AB\).

Il existe donc un réel \(k>0\), avec \(k=\dfrac{AB}{AC}\), tel que \(\vec{u}=k\vec{v}\).

2°) Condition de colinéarité de deux vecteurs

On suppose la plan muni d’un repère \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right)\) .

Propriétés: 

Soit \(\vec{u}(x;y)\) et \(\vec{u’}(x’;y’)\) deux vecteurs.

  1. \(\vec{u}=\vec{u’}\)\(\Leftrightarrow \)\(\begin{cases} x=x’  \\y=y’\end{cases}\).
  2. \(\vec{u}+\vec{u’}(x+x’;y+y’)\).
  3. \(k\vec{u}(kx;ky) \).

Proposition: Deux vecteurs \(\vec{u}(x;y)\) et \(\vec{v}(x’;y’)\) sont colinéaires si et seulement si \(xy’-x’y=0\). Le réel \(xy’-x’y=0\) est appelé déterminant des \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) et noté \(det(\vec{u};\vec{v})\) dans la bas \(\left(\vec{i};\vec{j}\right)\).

Démonstration♥:

Soit \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right)\)  un repère du plan dans lequel les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ont pour coordonnées respectives \((x;y)\) et \((x’;y’)\).

  • Sens \(\Rightarrow\)
    • Dans le cas où l’un des vecteurs est le vecteur nul, alors la relation \(xy’-x’y=0\) est vérifiée.
    • Si aucun des deux vecteurs est le vecteur nul, comme \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires alors il existe un réel \(k\) non nul tel que \(\vec{u}=k\vec{v}\) où \(\vec{u}(x;y)\) et \(k\vec{v}(kx’;ky’)\). Ainsi, \(\left(\vec{u}=k\vec{v}\right)\)\(\Leftrightarrow \)\(\begin{cases} x=kx’  \\y=ky’\end{cases}\). On a donc, \(xy’-x’y=kx’y’-kx’y’=k\times 0=0\).
  • Sens \(\Leftarrow\)

Comme \(\vec{u}\), par exemple, n’est pas le vecteur nul, l’une de ses coordonnées est non nulle : par exemple son abscisse \(x\). Posons \(k=\dfrac{x’}{x}\).

Si \(xy’-x’y=0\) alors \(xy’=x’y\) donc \(y’=\dfrac{x’}{x}y\) c’est à dire \(y’=ky\).

Puisque \(\begin{cases} x=kx’  \\y=ky’\end{cases}\) alors il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u}=k\vec{v}\) ce qui prouve que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.

III- CARACTERISATION ANALYTIQUE D’UNE DROITE

1°)  Vecteurs directeurs d’une droite

Définition : On appelle vecteur directeur d’une droite \(D\) tout vecteur non nul dont la direction est celle de la droite \(D\).

Remarque : 

  • Dire que \(\vec{u}=\vec{AB}\) est un vecteur directeur de la droite \(D\) signifie que \(\vec{u}≠\vec{0}\) et que \((AB)//D\).
  • Une droite a une infinité de vecteur directeur.

2°)Equations cartésiennes d’une droite

Théorème :

  1. Toute droite \(D\) du plan a une équation cartésienne de la forme \(ax+by=c\) avec \((a;b;c)∈\mathbb R³\) et \((a;b)≠(0;0)\).
  2. Réciproquement, l’ensemble des points \(M(x;y)\) du plan tels que \(ax+by=c\) où \((a;b;c)∈\mathbb R³\) et \((a;b)≠(0;0)\), est une droite de vecteur directeur \(\vec{u_{D}}(-b;a)\).

Démonstration♥:

Montrons 1.

Soit \(D\) une droite du plan muni d’un repère \(\left(O;\vec{i};\vec{j}\right)\) et \(M(x;y)\) un point du plan.

Soit \(A(x_{A};y_{A})\) un point de \(D\) et \(\vec{u}(α;β)\) un vecteur directeur de \(D\) avec \((α;β)∈(\mathbb R)^{2}\).

\((M∈D) \Leftrightarrow\)\((\vec{AM}\) et \(\vec{u}\) colinéaires\()\) or \(\vec{AM}(x-x_{A};y-y_{A})\) donc

\((M∈D)  \Leftrightarrow [(x-x_{A})\times β-(y-_{A}) \times α=0] \Leftrightarrow [βx-αy-(βx_{A}-αy_{A})=0]\) 

\((M∈D) \Leftrightarrow (βx-αy=βx_{A}-αy_{A})\).