6 – Trigonométrie

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TRIGONOMETRIE.

I- COSINUS ET SINUS.

1°) Cosinus et Sinus d’un angle orienté.abc

Définition 1 : Soit A un point du cercle trigonométrique et \(\alpha\) un réel tel que (\(O\bar I;O\bar A)\) \(\equiv\)\(\alpha\)[2π]. On appelle cosinus et sinus de l’angle \(\hat \alpha\) et on note \(\cos(\hat \alpha)\) et \(\sin(\hat \alpha)\), les coordonnées du point A dans le repère (O;\(\vec i\) ;\(\vec j\)) où \(\vec i\)=\(O\bar I\) et \(\vec j\)=\(O\bar J\). Ainsi, \(O\bar A\)=\(\cos(\hat α)\)\(\vec i\)+\(\sin(\hat α)\)\(\vec j\).

Remarques :

i- Si H désigne le projeté orthogonal de A sur l’axe (xx’) et K le projeté orthogonal de A sur (yy’), puisque \(O\bar A\)=\(O\bar H\)+\(O\bar K\) on a alors \(O\bar H\)=\(\cos(\hat α)\)\(\vec i\) et \(O\bar K\)=\(\sin(\hat α)\)\(\vec j\).
ii- Soit \(\alpha\) un réel et \(\hat \alpha\) l’angle dont \(\alpha\) est une mesure en radians. Par la suite on notera plus simplement \(\cos(\hat \alpha)\)=\(\cos( \alpha)\) « confondant » ainsi l’angle et une de ses mesures.
iii- Si \(\alpha\) \(\in\) \( ] 0; \frac{π}{2}[\) alors \(\cos( \alpha)\) et \(\sin( \alpha)\) désignent respectivement le cosinus et le sinus de l’angle géometrique \(A\hat OI\).

2°) Résultats élémentaires.

Propriétés: Pour tout réel x et pour tout entier relatif k:
i- \(\cos^2\alpha\)+\(\sin^2\alpha\)=1
ii- \(-1\le\cos\alpha\le 1\),
iii-\(-1\le\sin\alpha\le 1\),aze
iv-\(\cos(\alpha+2k\pi)\)=\(\cos\alpha\)
v-\(\sin(\alpha+2k\pi)\)=\(\sin\alpha\)

Valeurs remarquables:

Angle \(\alpha\) 0  \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(\pi\)
\(\cos\alpha\) 1  \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) 0 -1
\(\sin\alpha\) 0 \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 1 0

II- TANGENTE ET COTANGENTE.

III- FORMULES DE TRIGONOMETRIE.

Les propriétés qui suivent ont été vues dans le chapitre sur le produit scalaire. Celles portant sur le cosinus et le sinus sont valables pour tout réel x, celles sur la tangente sont valables pour tout réel \(x\in\mathbb R -\{\frac{\pi}{2}+k\pi;k\in\mathbb Z\}\) et celles sur la cotangente pour tout réel \(x\in\mathbb R -\{k\pi;k\in\mathbb Z\}\).

1°) Relations usuelles sur les angles associésasd

a) Angles opposés.(M et M’ sont symétriques par rapport (OI))

\(\cos(-x)=\cos(x)\)  cosinus est une fonction paire
\(\sin(-x)=-\sin(x)\) sinus est une fonction impaire
\(\tan(-x)=-\tan(x)\) tangente est une fonction impaire
\(co\tan(-x)=-co\tan(x)\) cotangente est une fonction impaire

b) Angles supplémentaires.

Deux angles sont dit supplémentaires s’ils ont un côtés commun et leur somme vaut \(\pi\) en radians. Les points M et M’ sont symétriques par rapport à (OJ).zae

\(\cos(\pi-x)=\cos(x)\)
\(\sin(\pi-x)=\sin(x)\)
\(\tan(\pi-x)=-\tan(x)\)
\(co\tan(\pi-x)=-co\tan(x)\)

c) Angles complémentaires.

Deux angles sont dit complémentaires s’ils ont un côtés commun et leur somme vaut \(\frac{\pi}{2}\) en radians. Les points M et M’ sont symétriques par rapport à la première bissectrice.azd

\(\cos(\frac{\pi}{2}-x)=\sin(x)\)
\(\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos(x)\)
\(\tan(\frac{\pi}{2}-x)=\frac{1}{\tan(x)}\)
\(co\tan(\frac{\pi}{2}-x)=\tan(x)\)

d) Angles dont les mesures sont x et x+\(\pi\).

Les points M et M’ sont symétriques par rapport à l’origine.jskqds

\(\cos(x+\pi)=-\cos(x)\)
\(\sin(x+\pi)=-\sin(x)\)
\(\tan(x+\pi)=\tan(x)\)
\(co\tan(x+\pi)=co\tan(x)\)

e) Angles dont les mesures sont \(\alpha et \alpha+\frac{\pi}{2}\).

\(\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin(\alpha)\)desgd
\(\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos(\alpha)\)
\(\tan(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-co\tan(\alpha)\)
\(co\tan(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\tan(\alpha)\)

2°) Formules d’addition (à connaître par cœur)

Théorème:

 Pour tout réel a et b
i- \(\cos(a+b)=\cos a\cos b-sin a\sin b\)
ii-\(\cos(a-b)=\cos a\cos b+sin a\sin b\)
iii-\(\sin(a+b)=\sin a\cos b+sin b\cos a\)
iv-\(\sin(a-b)=\sin a\cos b-sin b\cos a\)

Démonstration:

Il existe au moins deux démonstrations de ces relations, dont une basée sur l’utilisation du produit scalaire. Là voici:
Soit a et b deux réels.
On munit le plan d’un repère orthonormal direct \((O;\vec i;\vec j)\) et soit A et B deux points du cercle trigonométrique d’abscisse curviligne respectives a et b, c’est à dire:jnk
\((\vec i,O\bar A)\equiv a[2\pi] et (\vec i,O\bar B)\equiv b[2\pi]\)
D’après la relation de Chasles, on a:
\((O\bar A;O\bar B)\equiv (O\bar A;\vec i)+(\vec i ;O\bar B) [2\pi]\)
\((O\bar A;O\bar B)\equiv -(\vec i;O\bar A)+(\vec i ;O\bar B) [2\pi]\)
\((O\bar A;O\bar B)\equiv -a+b [2\pi]\)
\((O\bar A;O\bar B)\equiv b-a [2\pi]\)
De plus dans le repère \((O;\vec i;\vec j)\), les coordonnées des vecteurs \(O\bar A\) et \(O\bar B\) sont \(O\bar A (\cos(a);sin(a))\) et \(O\bar B(\cos(b);sin(b))\)
D’après les définitions sur le produit scalaire, on a:
D’une part: \(O\bar A\cdot O\bar B= \cos a\cos b+\sin a\sin b\)
D’autre part: \(O\bar A\cdot O\bar B=||O\bar A||\times||O\bar B||\times\cos(O\bar A;O\bar B)\).
Mais, A et B sont deux points du cercle trigonométrique d’où \(||O\bar A||=||O\bar B||=1\) et \((O\bar A;O\bar B)\equiv b-a [2\pi]\) d’où \(O\bar A\cdot O\bar B= 1\times 1\times\cos(b-a)=\cos(b-a)\).
On en déduit que, pour tout réel a et b, \(\cos(b-a)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\)
Mais comme, la fonction cosinus et paire \(\cos(b-a)=\cos(a-b)\), ainsi:
pour tout réel a et b, \(\cos(a-b)=\cos a\cos b+sin a\sin b\)

Puisque la relation est valable pour tout réel a et b, en substituant à b la valeur (-b), on a:
\(\cos(a+b)=\cos a\cos(-b)+sin a\sin(-b\)\); or \(\cos(-b)=\cos(b)\) et \(\sin(-b)=-\sin(b)\) d’où,
pour tout réel a et b, \(\cos(a+b)=\cos a\cos b-sin a\sin b\)

Enfin, on a la relation \(\sin(x)=\cos(\frac{\pi}{2}-x)\) d’où:
\(\sin(a-b)=\cos(\frac{\pi}{2}-(a-b))=\cos[(\frac{\pi}{2}+b)-a)]\).
En appliquant la formule ii), on a:
\(\sin(a-b)=\cos[(\frac{\pi}{2}+b)-a)]=\cos(\frac{\pi}{2}-b)\cos a+\sin(\frac{\pi}{2}-b)\sin a\)
\(\sin(a-b)=-\sin b \cos a+\cos b\sin a\) d’où \(\sin(a-b)=\sin a\cos b-sin b\cos a\).

Enfin en remplaçant b par (-b), on a:
\(\sin(a+b)=\sin a\cos(-b)-\sin(-b)\cos a\) donc \(\sin(a+b)=\sin a\cos b+sin b\cos a\).

Autre démonstration n’utilisant pas le produit scalaire.

Soit \((O;\vec i;\vec j)\) un ROND et C le cercle trigonométrique de centre O et d’origine I. Soit a et b deux réels tel que:\(a=(O\bar I;O\bar M)[2\pi]\) et \(b=(O\bar M;O\bar M)[2\pi]\)
Soit N un point de C tel que \((O;O\bar M;O\bar N)\) est un ROND.
On a:oo
\(O\bar M=\cos b O\bar M+\sin b O\bar N\)
=\(\cos b(\cos a\vec i+\sin a\vec j)+\sin b[\cos(a+\frac{\pi}{2})\vec i+\sin(a+\frac{\pi}{2})\vec j]\)
= \([\cos a\cos b+\sin b\cos(a+\frac{\pi}{2})]\vec i+[\cos b\sin a+\sin b\sin(a+\frac{\pi}{2})]\vec j\)
Or, comme \(\cos(a+\frac{\pi}{2})=-\sin a\) et \(\sin(a+\frac{\pi}{2})=\sin a\), il vient:
\(O\bar M=(\cos a\cos b-\sin a\sin b)\vec i+(\sin a\cos b+\sin b\cos a)\vec j\).
Par ailleurs, \(O\bar M=\cos (a+b)\vec i+\sin (a+b)\vec j\), ce qui donne par unicité d’un couple de coordonnées dans une base donnée, les formules i et iii.
Pour ii et iv, on utilise la relation a-b=a+(-b) sachant que \(\cos(-x)=\cos(x)\) et \(\sin(-x)=-\sin(x)\)

Exemple:

En décomposant \(\frac{\pi}{12}\) sous la forme de deux fractions, déterminer la valeur exacte de \(\cos\frac{\pi}{12}\).

On a: \(\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\) donc \(cos\frac{\pi}{12}=\cos(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})\) ce qui avec la formule ii donne,
\(cos\frac{\pi}{12}=\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt 2}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}\frac{\sqrt 2}{2}=\frac{\sqrt 2(1+\sqrt 3)}{4}\)
Ainsi,\(\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt 2(1+\sqrt 3)}{4}\)

3°) Formules de duplication et de linérisation.

a) Pour sinus et cosinus.

Théorème: Pour tout réel x:
i- \(\cos 2x=\cos^2 x-\sin ^2 x= 1-2\sin^2 x= 2\cos^2 x- 1\). [formule de duplication]
ii- \(\sin 2x= 2\sin x\cos x\). [formule de duplication]
iii- \(\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}\)                          \(\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}\).[formule de linéralisation]

Démonstration:
i- Dans la formule i) du théorème précédent, on prend a=b=x, ce qui fournit \(\cos 2x=\cos^2 x-\sin ^2 x\). Puis, on utilise la relation fondamentale \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\)
ii- On prend a=b=x dans la formule ii) du théorème précédent.
iii- Ces formules découlent de i.
Avec \(\cos 2x=1-2\sin^2 x\), il vient  \(\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}\) et avec \(\cos 2x= 2\cos^2 x- 1\), il vient \(\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}\).

Exemple: