7 – Produit scalaire

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I/ Définition et premières propriétés.

 1°) Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires.

Définition. Soit \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) deux vecteurs colinéaires. On appelle produit scalaire des vecteurs \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) le nombre réel noté \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v \)  défini par :\(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = \left\{ \begin{array}{l}\left\| {\overrightarrow u } \right\|\left\| {\overrightarrow v } \right\|\\{\rm{ – }}\left\| {\overrightarrow u } \right\|\left\| {\overrightarrow v } \right\|\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}{\rm{lorsque }}\overrightarrow u {\rm{ et }}\overrightarrow v {\rm{ sont de m\^e me sens}}\\{\rm{lorsque }}\overrightarrow u {\rm{ et }}\overrightarrow v {\rm{ sont de sens contraire}}\end{array}\)
Définition. On appelle carré scalaire du vecteur \(\mathop u\limits^ \to  \), le produit scalaire de \(\mathop u\limits^ \to  \) par lui-même, c’est à dire \(\mathop u\limits^ \to  \)×\(\mathop u\limits^ \to  \). Par définition, on a alors, \(\mathop u\limits^ \to  \)×\(\mathop u\limits^ \to  \)=\({\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|^2}\).

Remarque.  Lorsque l’un des vecteurs \(\mathop u\limits^ \to  \) ou \(\mathop v\limits^ \to  \) est nul, on a : \(\mathop u\limits^ \to  \)×\(\mathop v\limits^ \to  \)=0.

Proposition.   Soit\(\mathop i\limits^ \to  \) un vecteur unitaire. Si \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) sont deux vecteurs tels que \(\mathop u\limits^ \to   = x\mathop i\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to   = x’\mathop i\limits^ \to  \) où \(\left( {x;x’} \right) \in I{R^2}\)alors, \(\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\| \cdot \left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\| = \left| {xx’} \right|\).

Démonstration.

Soient \(\left( {x;x’} \right) \in I{R^2}\) tel que \(\mathop u\limits^ \to   = x\mathop i\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to   = x’\mathop i\limits^ \to  \). On a : \(\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\| = \left\| {x\mathop i\limits^ \to  } \right\| = \left| x \right|\left\| {\mathop i\limits^ \to  } \right\| = \left| x \right|\) et \(\left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\| = \left\| {x’\mathop i\limits^ \to  } \right\| = \left| {x’} \right|\left\| {\mathop i\limits^ \to  } \right\| = \left| {x’} \right|\) ainsi \(\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\| \cdot \left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\| = \left| x \right|{\rm{ }}\left| {x’} \right| = \left| {xx’} \right|\).

Corollaire. Soient \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) deux vecteurs colinéaires et \(\left( {x;x’} \right) \in I{R^2}\).

i- Si \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) sont de même sens alors \(\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\| \cdot \left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\| = xx’\),

ii- Si \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) sont de sens contraire alors \(\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\| \cdot \left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\| =  – xx’\).

 

 

Démonstration.

D’après la proposition, \(\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\| \cdot \left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\| = \left| {xx’} \right|\).

  • Si \(\mathop u\limits^ \to \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) sont de même sens, x et x’ sont de même signe et donc \(xx’\) est positif, d’où \(\left| {xx’} \right| = xx’\) et par suite \(\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\| \cdot \left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\| = xx’\).
  • Si \(\mathop u\limits^ \to \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) sont de sens contraire, x et x’ sont de signe opposé et donc \(xx’\) est négatif, d’où \(\left| {xx’} \right| =  – xx’\) et par suite \(\left\| {\overrightarrow u } \right\|{\rm{ }}\left\| {\overrightarrow v } \right\| =  – xx’\).

On conclut en disant que \(\mathop u\limits^ \to  \)×\(\mathop v\limits^ \to  \)=\(xx’\).

Propriétés.Soit \(\mathop u\limits^ \to  \), \(\mathop v\limits^ \to  \) et \(\mathop w\limits^ \to  \) trois vecteurs colinéaires.i-                    \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \left( {\mathop v\limits^ \to   + \mathop w\limits^ \to  } \right) = \mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   + \mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop w\limits^ \to  \) ; le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition.ii-                  \(\forall \alpha  \in IR\), \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \left( {\alpha \mathop v\limits^ \to  } \right) = \alpha \left( {\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to  } \right)\).

Démonstration.

Soient \(\mathop u\limits^ \to  \), \(\mathop v\limits^ \to  \) et \(\mathop w\limits^ \to  \) trois vecteurs colinéaires à un vecteur unitaire \(\mathop i\limits^ \to  \). \(\exists \left( {x;y;z} \right) \in I{R^3}\) : \(\mathop u\limits^ \to   = x\mathop i\limits^ \to  \), \(\mathop v\limits^ \to   = y\mathop i\limits^ \to  \) et \(\mathop w\limits^ \to   = z\mathop i\limits^ \to  \).

  • On a \(\mathop u\limits^ \to \cdot \mathop v\limits^ \to   = xy\) et \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop w\limits^ \to   = xz\) donc \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   + \mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop w\limits^ \to   = xy + xz\) ; par ailleurs, \(\mathop v\limits^ \to   + \mathop w\limits^ \to   = \left( {y + z} \right)\mathop i\limits^ \to  \) et \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \left( {\mathop v\limits^ \to   + \mathop w\limits^ \to  } \right) = x\left( {y + z} \right) = xy + xz\) donc \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \left( {\mathop v\limits^ \to   + \mathop w\limits^ \to  } \right) = \mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   + \mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop w\limits^ \to  \).
  • Soit \(\alpha \in IR\), \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \left( {\alpha \mathop v\limits^ \to  } \right) = x\left( {\alpha y} \right) = \alpha xy = \alpha \left( {xy} \right)\) et \(\alpha \left( {\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to  } \right) = \alpha \left( {xy} \right)\) d’où \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \left( {\alpha \mathop v\limits^ \to  } \right) = \alpha \left( {\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to  } \right)\).

2°) Cas de deux vecteurs quelconques.

Définition. Soit \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) deux vecteurs et notons \(\mathop {v’}\limits^ \to  \) le projeté orthogonal de \(\mathop v\limits^ \to  \) sur \(\mathop u\limits^ \to  \).On pose \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = \mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop {v’}\limits^ \to  \).  a
Définition 2.  Soit \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) deux vecteurs non nuls avec \(\mathop u\limits^ \to   = \overrightarrow {OA} \) et \(\mathop v\limits^ \to   = \overrightarrow {OB} \). Soit B’ le projeté orthogonal de B sur \(\left( {OA} \right)\). Le produit scalaire de \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \)est défini par \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB’} \).

Remarque.

  • \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   \ge 0\) si et seulement si \(\overrightarrow {OA} \) et \(\overrightarrow {OB’} \) ont même sens.
  • \(\mathop u\limits^ \to \cdot \mathop v\limits^ \to   \le 0\) si et seulement si \(\overrightarrow {OA} \) et \(\overrightarrow {OB’} \) sont de sens contraire.

Exemple.

Soit ABC un triangle rectangle en A.

On a \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AB}  = A{B^2}\) car le projeté orthogonal de C sur \(\left( {AB} \right)\) est le point B.

On a \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 0\) puisque C se projette en B sur \(\left( {AB} \right)\).

Corollaire. Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul.

Exemple

Soit ABCD un carré de côté a et I le milieu du segment \(\left[ {AD} \right]\). On cherche à calculer le produit scalaire \(\overrightarrow {IB}  \cdot \overrightarrow {IC} \).
On a \(\overrightarrow {IB}  \cdot \overrightarrow {IC}  = \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AB} } \right) \cdot \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow {IA}  \cdot \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {IC} \).
En projetant le point C sur la droite (AD), on a \(\overrightarrow {IA}  \cdot \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow {IA}  \cdot \overrightarrow {ID}  =  – \left\| {\overrightarrow {IA} } \right\| \times \left\| {\overrightarrow {ID} } \right\| =  – \frac{1}{4}{a^2}\)
et en projetant le point C sur la droite (AB), on a \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AB}  = {a^2}\)
donc \(\overrightarrow {IB}  \cdot \overrightarrow {IC}  =  – \frac{1}{4}{a^2} + {a^2} = \frac{3}{4}{a^2}\).

3°) Extension de la notion d’orthogonalité.

Proposition.   Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Démonstration.

  • Si \(\mathop u\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to  \) ou \(\mathop v\limits^ \to   = \mathop 0\limits^ \to  \) alors \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = 0\).
  • Réciproquement, soient \(\mathop u\limits^ \to \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) deux vecteurs non nuls, tel que \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = 0\). Prenons \(\mathop u\limits^ \to   = \overrightarrow {OA} \) et \(\mathop v\limits^ \to   = \overrightarrow {OB} \) et notons B’ le projeté orthogonal de B sur \(\left( {OA} \right)\) ; alors \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = 0\) équivaut \(\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = 0\) équivaut \(\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB’}  = 0\) équivaut à \(\overrightarrow {OB’}  = \mathop 0\limits^ \to  \) c’est à dire \(O = B’\). Le triangle OBA est un triangle rectangle en O et prouve que \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) sont orthogonaux.

On a alors : \(\left( {\mathop u\limits^ \to   \bot \mathop v\limits^ \to  } \right) \Leftrightarrow \left( {\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = 0} \right)\).

Exemple.

Soit ABCD un carré de côté, I et J sont les milieux respectifs des segment \(\left[ {AB} \right]\) et \(\left[ {BC} \right]\). On veut montrer que les droites \(\left( {AJ} \right)\) et (DI) sont perpendiculaires.

On a \(\overrightarrow {AI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\) et \(\overrightarrow {DI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB} } \right)\) donc,
\(\overrightarrow {AJ}  \cdot \overrightarrow {DI}  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB} } \right) = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {DB} } \right)\)
Comme ABCD est un carré, \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {DB}  = 0\) et \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BD}  = B{A^2}\) et \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {DA}  =  – \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AD}  =  – A{D^2}\).
Par conséquent, \(\overrightarrow {AJ}  \cdot \overrightarrow {DI}  = B{A^2} – A{D^2} = 0\) ce qui prouve que les droites (AJ) et (DI) sont perpendiculaires.

4°) Autres expressions du produit scalaire.

Théorème.     Soient \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) deux vecteurs non nuls. \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to  \)\( = \left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|\left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\|\cos \left( {\mathop u\limits^ \to  {\rm{,}}\mathop v\limits^ \to  } \right)\).

Démonstration.

La relation est vraie lorsque les vecteurs sont colinéaires, soit qu’ils aient même sens \(\cos \left( {\mathop u\limits^ \to  ,\mathop v\limits^ \to  } \right) = 1\) : \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = \left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|\left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\|\), soit qu’ils aient des sens contraires \(\cos \left( {\mathop u\limits^ \to  ,\mathop v\limits^ \to  } \right) =  – 1\) ce qui donne \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   =  – \left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|\left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\|\).

Si les vecteurs \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) ne sont pas colinéaires, posons \(\mathop u\limits^ \to   = \overrightarrow {OA} \) et \(\mathop v\limits^ \to   = \overrightarrow {OB} \) et \(\theta  \equiv \left( {\mathop u\limits^ \to  ;\mathop v\limits^ \to  } \right){\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\).

Lorsque \( \theta \) est aigu Lorsque \( \theta \) est obtus
a a
\(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OH} \)\(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = OA \times OH\cos \left( \theta  \right)\) \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OH} \)\(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  =  – OA \times OH \times \cos \left( {\pi  – \theta } \right)\)\(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = OA \times OH\cos \left( \theta  \right)\)

Autre démonstration.

Soit \(\mathop i\limits^ \to  \) le vecteur unitaire associé au vecteur \(\mathop u\limits^ \to  \), c’est à dire \(\mathop i\limits^ \to   = \frac{{\mathop u\limits^ \to  }}{{\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|}}\). Soit a une mesure de l’angle orienté du couple de vecteurs \(\left( {\mathop u\limits^ \to  {\rm{;}}\mathop v\limits^ \to  } \right)\). On a \(\left( {\mathop i\limits^ \to  {\rm{;}}\mathop v\limits^ \to  } \right) = \alpha {\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\). Le projeté orthogonal de \(\mathop v\limits^ \to  \) sur \(\mathop u\limits^ \to  \) s’écrit \(\overrightarrow {OH}  = \left( {\left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\|\cos \alpha } \right)\mathop i\limits^ \to  \) or, \(\mathop u\limits^ \to  \)et \(\overrightarrow {OH} \) étant colinéaires, on a \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to   = \mathop u\limits^ \to   \cdot \overrightarrow {OH}  = \left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|\left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\|\cos \alpha \).

Exemple : Exercice 2. [4,5 point – 25 min]

a

Soit ABCD un carré de côté a, où a est un réel strictement positif.On désigne par I le milieu du segment [BC] et par q l’angle\(I\hat AC\).

1°) Calculer les longueurs AC et AI en fonction de a. Exprimer alors le produitscalaire \(\overrightarrow {AI}  \cdot \overrightarrow {AC} \)en fonction de a et de \(\cos \left( \theta  \right)\). [1,25 pt]

Soit a un réel strictement positif.
Comme ABCD est un carré de coté a, le triangle ABC est un triangle rectangle en B. D’après le théorème de Pythagore, \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2}\) d’où \(AC = a\sqrt 2 \).
Comme I est un point de [BC], on a aussi \(A{I^2} = A{B^2} + B{I^2} = {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{5}{4}{a^2}\) d’où \(AI = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
A l’aide de la propriété du produit scalaire, on a : \(\overrightarrow {AI}  \cdot \overrightarrow {AC}  = AI \times AC \times \cos \left( \theta  \right)\) ce qui donne :
Pour tout réel a strictement positif , \(\overrightarrow {AI}  \cdot \overrightarrow {AC}  = {a^2}\frac{{\sqrt {10} }}{2} \times \cos \left( \theta  \right)\).

2°) En utilisant le fait que \(\overrightarrow {AI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\), montrer que\(\overrightarrow {AI}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \frac{3}{2}{a^2}\). [1,25 pt]

Comme I est le milieu de [BC], on a \(\overrightarrow {AI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\) d’où :
\(\overrightarrow {AI}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)\)

Comme \(\overrightarrow {AC} \)se projette orthogonalement sur \(\overrightarrow {AB} \), on a alors \(\overrightarrow {AI}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {{a^2} + 2{a^2}} \right) = \frac{3}{2}{a^2}\).

Pour tout réel a strictement positif , \(\overrightarrow {AI}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \frac{3}{2}{a^2}\)

3°) Déduire des deux expressions de \(\overrightarrow {AI}  \cdot \overrightarrow {AC} \) la valeur exacte de \(\cos \left( \theta  \right)\) puis donner une valeur approchée, à \({10^{ – 2}}\)près par défaut, de q en degrés. [1,5 pt]

Pour tout réel \(a \in IR_ + ^*\), \(\overrightarrow {AI}  \cdot \overrightarrow {AC}  = {a^2}\frac{{\sqrt {10} }}{2} \times \cos \left( \theta  \right)\) et \(\overrightarrow {AI}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \frac{3}{2}{a^2}\) donc \(\left( {{a^2}\frac{{\sqrt {10} }}{2} \times \cos \left( \theta  \right) = \frac{3}{2}{a^2}} \right) \Leftrightarrow \left( {\cos \left( \theta  \right) = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}} \right)\).

La valeur exacte de \(\cos \left( \theta  \right)\) est \(\cos \left( \theta  \right) = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\).
Avec la calculatrice, on obtient \(\theta  \approx 18,43^\circ \).

4°) Que peut-on déduire de la valeur de cet angle q [0,5 pt]

Comme la valeur de l’angle est indépendante du coté a du carré, on en déduit que
Dans n’importe quel carré, la valeur de l’angle \(I\hat AC\)est indépendante de la longueur du côté a du carré.

II/ Les propriétés du produit scalaire.

1°) Symétrie du produit scalaire.

Théorème. Soient \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \) deux vecteurs : \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = \overrightarrow v  \cdot \overrightarrow u \). (Symétrie du produit scalaire)

Démonstration.

D’après le théorème précédent, lorsque\(\mathop u\limits^ \to  \) et\(\mathop v\limits^ \to  \) sont non nuls, on a \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to  \)\( = \left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|\left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\|\cos \left( {\mathop u\limits^ \to  {\rm{,}}\mathop v\limits^ \to  } \right)\) et \(\mathop v\limits^ \to   \cdot \mathop u\limits^ \to  \)\( = \left\| {\mathop v\limits^ \to  } \right\|\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|\cos \left( {\mathop v\limits^ \to  {\rm{,}}\mathop u\limits^ \to  } \right)\) mais \(\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = \cos \left( {\overrightarrow v ;\overrightarrow u } \right)\) d’où l’égalité.

 2°) Opérations sur le produit scalaire.

Théorème.     Pour tous vecteurs, \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) et \(\overrightarrow w \) et pour tout réel a, on a :

i- \(\overrightarrow u  \cdot \left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow w } \right) = \overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  + \overrightarrow u  \cdot \overrightarrow w \),
ii- \(\overrightarrow u  \cdot \left( {\alpha \overrightarrow v } \right) = \alpha \left( {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v } \right)\).

Démonstration.

  • Soient \(\overrightarrow {OA} \), \(\overrightarrow {OB} \) et \(\overrightarrow {OC} \) trois représentants des vecteurs \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) et \(\overrightarrow w \) et prenons \(\overrightarrow {OD} \) comme représentant du vecteur \(\overrightarrow v + \overrightarrow w \).
\(\overrightarrow u  \cdot \left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow w } \right) = \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OH} \)et \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {O{H_2}} \)puis \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow w  = \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {O{H_1}} \)ainsi \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  + \overrightarrow u  \cdot \overrightarrow w  = \overrightarrow {OA}  \cdot \left( {\overrightarrow {O{H_1}}  + \overrightarrow {O{H_2}} } \right)\)mais \(\overrightarrow {O{H_2}}  = \overrightarrow {{H_1}H} \) car \(\overrightarrow {OB} \)se projette en \(\overrightarrow {O{H_2}} \) et \(\overrightarrow {CD} \) se projette en \(\overrightarrow {{H_1}{{\rlap{–} H}_2}} \)donc \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  + \overrightarrow u  \cdot \overrightarrow w  = \overrightarrow {OA}  \cdot \left( {\overrightarrow {O{H_1}}  + \overrightarrow {{H_1}H} } \right) = \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OH} \)d’où l’égalité.
  • Soit a un réel non nul et \(\mathop u\limits^ \to \), \(\mathop v\limits^ \to  \) deux vecteurs quelconques. Montrons que \(\mathop u\limits^ \to  {\rm{ }} \cdot {\rm{ }}\left( {\alpha \mathop v\limits^ \to  } \right) = \alpha  \times \left( {\mathop u\limits^ \to  {\rm{ }} \cdot {\rm{ }}\mathop v\limits^ \to  } \right)\).
  • Montrons que si \(\mathop u\limits^ \to  \), \(\mathop v\limits^ \to  \) sont orthogonaux alors \(\mathop u\limits^ \to  {\rm{ }} \cdot {\rm{ }}\left( {\alpha \mathop v\limits^ \to  } \right) = \alpha  \times \left( {\mathop u\limits^ \to  {\rm{ }} \cdot {\rm{ }}\mathop v\limits^ \to  } \right) = 0\).

Si \(\overrightarrow u \) est orthogonal à \(\overrightarrow v \), alors \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = 0\). De plus, \(\alpha \overrightarrow v \) est un vecteur colinéaire à \(\overrightarrow v \) donc \(\overrightarrow u \) et \(\alpha \overrightarrow v \) sont orthogonaux donc \(\overrightarrow u  \cdot \left( {\alpha \overrightarrow v } \right) = 0\) ce qui établit la relation \(\overrightarrow u  \cdot \left( {\alpha \overrightarrow v } \right) = \alpha \left( {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v } \right)\).

Supposons à présent \(\mathop u\limits^ \to  \), \(\mathop v\limits^ \to  \)non orthogonaux. Soit O, A, B et C quatre points distincts du plan tels que \(\mathop u\limits^ \to   = \overrightarrow {OA} \), \(\mathop v\limits^ \to   = \overrightarrow {OB} \) et \(\alpha \mathop v\limits^ \to   = \overrightarrow {OC} \). On note H le projeté orthogonal de A sur (OC).Montrer que \(\alpha  \times \left( {\mathop u\limits^ \to  {\rm{ }} \cdot {\rm{ }}\mathop v\limits^ \to  } \right) – \mathop u\limits^ \to   \cdot \left( {\alpha \mathop v\limits^ \to  } \right) = 0\).

Supposons \(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow v \) non orthogonaux. Soient \(\overrightarrow {OA} \), \(\overrightarrow {OB} \) et \(\overrightarrow {OC} \) trois représentants des vecteurs \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) et \(\alpha \overrightarrow v \) et notons H le projeté orthogonal de A sur (OC).

On a \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OH}  \cdot \overrightarrow {OB} \) donc, pour tout réel a non nul :\(\alpha \left( {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v } \right) = \alpha \left( {\overrightarrow {OH}  \cdot \overrightarrow {OB} } \right)\)

par ailleurs, \(\overrightarrow u  \cdot \left( {\alpha \overrightarrow v } \right) = \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH}  \cdot \overrightarrow {OC} \)

par soustraction, \(\alpha \left( {\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to  } \right) – \mathop u\limits^ \to   \cdot \left( {\alpha \mathop v\limits^ \to  } \right) = \)\(\alpha \left( {\overrightarrow {OH}  \cdot \overrightarrow {OB} } \right) – \overrightarrow {OH}  \cdot \overrightarrow {OC}  =  \cdot \overrightarrow {OH}  \cdot \left( {\alpha \overrightarrow {OB}  – \overrightarrow {OC} } \right)\)

et comme \(\overrightarrow v \) et \(\alpha \overrightarrow v \) sont colinéaires, on a \(\overrightarrow {OC}  = \alpha \overrightarrow {OB} \) d’où \(\alpha \left( {\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to  } \right) – \mathop u\limits^ \to   \cdot \left( {\alpha \mathop v\limits^ \to  } \right) = 0\)ce qui prouve que \(\alpha \left( {\mathop u\limits^ \to   \cdot \mathop v\limits^ \to  } \right) = \mathop u\limits^ \to   \cdot \left( {\alpha \mathop v\limits^ \to  } \right)\).

3°) En déduire la propriété voulue.

Pour tout réel a non nul et, pour tout vecteurs \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \), on a \(\mathop u\limits^ \to  {\rm{ }} \cdot {\rm{ }}\left( {\alpha \mathop v\limits^ \to  } \right) = \alpha  \times \left( {\mathop u\limits^ \to  {\rm{ }} \cdot {\rm{ }}\mathop v\limits^ \to  } \right)\).

 

Exercice.

Soit ABC un triangle quelconque. Soit H le point d’intersection des hauteurs issues de A et de B.

1°) Justifier que \(\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BH}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 0\).

Montrer par le calcul que \(\overrightarrow {CH}  \cdot \overrightarrow {AB}  = 0\).

Quelle propriété connue vient-on de démontrer ?

1°) (AH) est perpendiculaire à (BC) donc \(\overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 0\) et (BH) est perpendiculaire à (AC) donc \(\overrightarrow {BH}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 0\).

 

2°) \(\overrightarrow {CH}  \cdot \overrightarrow {AB}  = \left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AH} } \right) \cdot \overrightarrow {AB} \)\( = \overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {AB} \)\( = \overrightarrow {CA}  \cdot \left( {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {HB} } \right) + \overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {AB} \)\( = \overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {AB} \)                         \( = \overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {CA}  + 0 + \overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {AB} \)\( = \overrightarrow {AH}  \cdot \left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \overrightarrow {AH}  \cdot \overrightarrow {CB} \)=0

 

3°) (CH) est donc la troisième hauteur du triangle ce qui prouve que les hauteurs d’un triangle sont concourantes.

3°) Applications.

Corollaire.     Le produit scalaire de deux vecteurs reste inchangé si on ajoute à l’un d’eux un vecteur orthogonal à l’autre.

Preuve. D’après la relation \(\overrightarrow u  \cdot \left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow w } \right) = \overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  + \overrightarrow u  \cdot \overrightarrow w \). Si \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow w \), on a \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow w  = \mathop 0\limits^ \to  \) et donc \(\overrightarrow u  \cdot \left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow w } \right) = \overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v \) et la relation demeure.

4°) Normes et produit scalaire.

Théorème. Pour tous vecteurs \(\mathop u\limits^ \to  \) et \(\mathop v\limits^ \to  \), on a :i-                    \({\left\| {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right\|^2} = {\left\| {\overrightarrow u } \right\|^2} + {\left\| {\overrightarrow v } \right\|^2} + 2{\rm{ }}\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v \),ii-                  \({\left\| {\overrightarrow u  – \overrightarrow v } \right\|^2} = {\left\| {\overrightarrow u } \right\|^2} + {\left\| {\overrightarrow v } \right\|^2} – 2{\rm{ }}\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v \),iii-                \(\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right) \cdot \left( {\overrightarrow u  – \overrightarrow v } \right) = {\left\| {\overrightarrow u } \right\|^2} – {\left\| {\overrightarrow v } \right\|^2}\)

Démonstration évidente.

  • on a \({\left\| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right\|^2} = \left( {\mathop u\limits^ \to   + \mathop v\limits^ \to  } \right) \cdot \left( {\mathop u\limits^ \to   + \mathop v\limits^ \to  } \right) = {\left\| {\overrightarrow u } \right\|^2} + {\left\| {\overrightarrow v } \right\|^2} + 2{\rm{ }}\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v \). Cette égalité fournit une autre expression du produit scalaire, \({\rm{ }}\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = \frac{1}{2}\left[ {{{\left\| {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right\|}^2} – {{\left\| {\overrightarrow u } \right\|}^2} – {{\left\| {\overrightarrow v } \right\|}^2}} \right]\).

Dans un quadrilatère ABCD où l’on pose \(\mathop u\limits^ \to   = \overrightarrow {AB} \), \(v = \overrightarrow {AC} \) et \(\mathop u\limits^ \to   + \mathop v\limits^ \to   = \overrightarrow {AD} \), on a \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\left( {A{D^2} – A{B^2} – A{C^2}} \right)\)

 

III/ Produit scalaire et configurations.

1°) Caractérisation du cercle de diamètre [AB].

 

Théorème.     Soit A et B deux points distincts du plan.

Le cercle de diamètre \(\left[ {AB} \right]\) est l’ensemble des points M du plan tel que \(\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MB}  = 0\).

Démonstration.

  • Si M est confondu avec l’un des points A ou B alors l’un des deux vecteurs est le vecteur nul et la relation est satisfaite.
  • Supposons M distinct des points A et B.
  • Si M est un point du cercle de diamètre \(\left[ {AB} \right]\), alors d’après le théorème de l’angle droit, les droites \(\left( {MA} \right)\) et \(\left( {MB} \right)\) sont perpendiculaires et donc les vecteurs \(\overrightarrow {MA} \) et \(\overrightarrow {MB} \) sont orthogonaux d’où \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB}  = 0\).
  • Réciproquement, supposons \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB}  = 0\), alors les droites \(\left( {MA} \right)\) et \(\left( {MB} \right)\) sont perpendiculaires, et donc M est un point du cercle de diamètre \(\left[ {AB} \right]\).

2°) Projection orthogonale.

 

Proposition.   Soit \(\overrightarrow u \) un vecteur unitaire d’un axe.

Le projeté orthogonal du vecteur \(\overrightarrow v \) sur \(\overrightarrow u \) est le vecteur \(\overrightarrow {v’} \)=\(\left( {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v } \right){\rm{ }}\overrightarrow u \).

 

Démonstration.

\(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow {v’} \) sont colinéaires, donc il existe un réel k tel que \(\overrightarrow {v’}  = k\overrightarrow u \). Or \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = \overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {v’}  = \overrightarrow u  \cdot k\overrightarrow u  = k{\overrightarrow {{\rm{ }}u} ^2}\), mais comme \(\overrightarrow u \) est un vecteur unitaire, on a \({\overrightarrow u ^2} = {\left\| {\overrightarrow u } \right\|^2} = 1\) et donc \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = k\). En reportant dans la relation \(\overrightarrow {v’}  = k\overrightarrow u \), on a \(\overrightarrow {v’} \)=\(\left( {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v } \right){\rm{ }}\overrightarrow u \).

 

Corollaire. Dans une base orthonormale \(\left( {\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\), lorsque \(\overrightarrow u  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j \) alors \(x = \overrightarrow u  \cdot \overrightarrow i \) et \(y = \overrightarrow u  \cdot \overrightarrow j \).

 

 

 

3°) Transformations de \(\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MB} \), \(M{A^2} + M{B^2}\), \(M{A^2} – M{B^2}\).

 

Théorème de la médiane.Soit A et B deux points distincts du plan et I le milieu de \(\left[ {AB} \right]\) ; alors pour tout point M du plan, on a :i-                    \(\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MB}  = M{I^2} – \frac{{A{B^2}}}{4}\),ii-                  ,iii-                \(M{A^2} – M{B^2} = 2{\rm{ }}\overrightarrow {IM}  \cdot \overrightarrow {AB} \).

 

Démonstration.

Remarquons d’abord que comme I est le milieu de \(\left[ {AB} \right]\), on a \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \) et que \(IA = IB = \frac{{AB}}{2}\).

  • \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB}  = \left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right) = {\overrightarrow {MI} ^2} + \overrightarrow {MI}  \cdot \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \overrightarrow {IA}  \cdot \overrightarrow {IB} \)

=\({\overrightarrow {MI} ^2} + \overrightarrow {MI}  \cdot \overrightarrow 0  + \left( { – \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right) = M{I^2} – \frac{{A{B^2}}}{4}\).

ii et  iii

\(M{A^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {IA}  – \overrightarrow {IM} } \right)^2} = {\overrightarrow {IA} ^2} – 2\overrightarrow {IA}  \cdot \overrightarrow {IM}  + {\overrightarrow {IM} ^2}\)\( = \frac{{A{B^2}}}{4} – 2\overrightarrow {IA}  \cdot \overrightarrow {IM}  + I{M^2}\)

\(M{B^2} = {\overrightarrow {MB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {IB}  – \overrightarrow {IM} } \right)^2}\)\( = {\overrightarrow {IB} ^2} – 2\overrightarrow {IB}  \cdot \overrightarrow {IM}  + {\overrightarrow {IM} ^2}\)\( = \frac{{A{B^2}}}{4} – 2\overrightarrow {IB}  \cdot \overrightarrow {IM}  + I{M^2}\)

Par addition, on a \(M{A^2} + M{B^2} = 2 \times \frac{{A{B^2}}}{4} – 2\overrightarrow {IM}  \cdot \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) + 2I{M^2}\)=\(2M{I^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}\)

Par soustraction,   \(M{A^2} – M{B^2} = 2\overrightarrow {IM}  \cdot \left( {\overrightarrow {IB}  – \overrightarrow {IA} } \right) = 2\overrightarrow {IM}  \cdot \overrightarrow {AB} \).

 

Remarque.      Ces relations sont à connaître par cœur ainsi que leur démonstration.

 

 

  • Analyticité du produit scalaire.

 

1°) Expression analytique du produit scalaire.

 

Théorème.     Dans une base orthonormale \(\left( {\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) le produit scalaire de deux vecteurs \(\overrightarrow u {\rm{ }}\left( {x;y} \right)\) et \(\overrightarrow v {\rm{ }}\left( {x’;y’} \right)\) est \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = xx’ + yy’\).

 

Démonstration.

Soit \(\left( {\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) une base orthonormale. On a :

\(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j } \right) \cdot \left( {x’\overrightarrow i  + y’\overrightarrow j } \right) = xx'{\overrightarrow i ^2} + \left( {xy’ + x’y} \right){\rm{ }}\overrightarrow i  \cdot \overrightarrow j  + yy’\overrightarrow {{j^2}} \) mais \(\overrightarrow i  \cdot \overrightarrow j  = 0\) et \(\left\| {\overrightarrow i } \right\| = \left\| {\overrightarrow j } \right\| = 1\) par choix de la base d’où \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = xx’ + yy’\).

 

Remarques.     On retrouve les résultats suivants

  • \(\left( {\overrightarrow u \bot \overrightarrow v } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = 0 \Leftrightarrow xx’ + yy’ = 0\).
  • Si \(\overrightarrow u {\rm{ }}\left( {x;y} \right)\), \(\left\| {\overrightarrow u } \right\| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).
  • Lorsque \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) et \(B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\), on a \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} – {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} – {y_A}} \right)}^2}} \).

 

 

 

2°) Vecteur normal à une droite.

 

Définition.      Etant donnée une droite D du plan, tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de la droite D est appelé vecteur normal à D.

 

Remarques.

  • Soit D une droite d’équation \(ax + by = c\) avec \(\left( {a;b;c} \right) \in I{R^3}\) et \(\left( {a;b} \right) \ne \left( {0;0} \right)\). D admet pour vecteur normal, le vecteur \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\). En effet, si \({\overrightarrow u _D}\left( { – b;a} \right)\) est un vecteur directeur de D, on a \({\overrightarrow u _D} \cdot \overrightarrow n = \left( { – b} \right) \times a + a \times b =  – ab + ab = 0\), ce qui prouve que les vecteurs \({\overrightarrow u _D}\) et \(\overrightarrow n \) sont orthogonaux.
  • Soit D une droite non parallèle à l’axe des ordonnées, d’équation réduite \(y = mx + p\). Le vecteur \({\overrightarrow u _D}\left( {1;m} \right)\) est un vecteur directeur de la droite D et \(\overrightarrow n \left( {m; – 1} \right)\) est un vecteur normal à D.

 

 

 

3°) Equation d’une droite définie par un vecteur normal.

 

Théorème.     Soit \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) un vecteur non nul. Une droite D admettant \(\overrightarrow n \) comme vecteur normal, a une équation cartésienne de la forme \(ax + by = c\) avec \(\left( {a;b;c} \right) \in I{R^3}\) et \(\left( {a;b} \right) \ne \left( {0;0} \right)\).

La réciproque est vraie.

Démonstration.

  • Soit D une droite admettant le vecteur non nul \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) comme vecteur normal et passant par le point \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\). Soit \(M\left( {x;y} \right)\) un point du plan.

Le point \(M\left( {x;y} \right)\) appartient à la droite D si et seulement si \(\overrightarrow n  \cdot \overrightarrow {AM}  = 0\) si et seulement si \(a\left( {x – {x_A}} \right) + b\left( {y – {y_A}} \right) = 0\) si et seulement si \(ax + by = a{x_A} + b{y_A}\). En posant \(c = a{x_A} + b{y_A}\), on a que \(M \in D \Leftrightarrow ax + by = c\) ce qui prouve que la droite D a bien une équation de la forme voulue avec \(\left( {a;b} \right) \ne \left( {0;0} \right)\) puisque \(\overrightarrow n \) est un vecteur non nul.

  • La réciproque est déjà traitée : c’est la remarque 1 de la définition précédente.

 

 

Exemple.         Soit \(A\left( { – 1;2} \right)\), \(B\left( {3;1} \right)\) et \(C\left( {2;4} \right)\).

1°) En notant I le milieu du segment [AB], donner une équation cartésienne de la médiatrice du segment [AB].

2°) Donner une équation cartésienne de la hauteur issue de A.

 

1°) Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées \(I\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\). Or la médiatrice du segment [AB] admet le vecteur \(\overrightarrow {AB} \left( {4; – 1} \right)\) comme vecteur normal. Ainsi, \(M\left( {x;y} \right)\) appartient à la médiatrice du segment [AB] si et seulement si \(\overrightarrow {IM}  \cdot \overrightarrow {AB}  = 0\) si et seulement si \(8x – 2y = 5\).

2°) Le vecteur \(\overrightarrow {BC} \left( { – 1;3} \right)\) étant un vecteur normal à la hauteur issue de A, les vecteur \(\overrightarrow {BC} \) et \(\overrightarrow {AM} \left( {x + 1;y – 2} \right)\) sont orthogonaux si et seulement si \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AM}  = 0\) si et seulement si \( – x + 3y = 7\).

 

 

 

4°) Equation cartésienne d’un cercle.

 

 

  • Cercle défini par son centre W et son rayon r.

 

Définition.      Soit W et M deux points distincts du plan et r un nombre réel positif. On appelle cercle de centre W et de rayon r l’ensemble des points M du plan tels que \(\Omega M = r\).

Lorsque W et M sont confondus, donc lorsque \(r = 0\), on appelle ce cercle, le cercle point W.

 

 

Théorème.     Dans un repère orthonormal \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) l’équation cartésienne d’un cercle de centre \(\Omega \left( {\alpha ;\beta } \right)\) et de rayon \(r \in I{R_ + }\) est : \({\left( {x – \alpha } \right)^2} + {\left( {y – \beta } \right)^2} = {r^2}\).

 

Démonstration.

D’après la définition, un point \(M\left( {x;y} \right)\) appartient au cercle \(C\left( {\Omega ;r} \right)\) avec \(\Omega \left( {\alpha ;\beta } \right)\) et \(r \in I{R_ + }\) si et seulement si \(\Omega M = r\)Û \(\Omega {M^2} = {r^2}\)Û\({\left( {x – \alpha } \right)^2} + {\left( {y – \beta } \right)^2} = {r^2}\).

 

Exemple.         L’équation du cercle \(C\left( {O;1} \right)\) est \({x^2} + {y^2} = 1\).

  • Reconnaître l’équation d’un cercle.

 

Si on développe l’équation obtenue précédemment, il vient :

\({x^2} + {y^2} – 2\alpha x – 2\beta y = {r^2} – {\alpha ^2} – {\beta ^2}\).

La question de la réciproque se pose alors. Toute équation de la forme \({x^2} + {y^2} + ax + by = c\) où \(\left( {a;b;c} \right) \in I{R^3}\) est-elle l’équation d’un cercle dont on pourrait connaître les coordonnées du centre ainsi que le rayon ?

 

Utilisons la forme canonique du trinôme du second degré. On a :

\({x^2} + {y^2} + ax + by = c \Leftrightarrow \left( {{x^2} + ax} \right) + \left( {{y^2} + by} \right) = c \Leftrightarrow \left( {{x^2} + ax + \frac{{{a^2}}}{4}} \right) – \frac{{{a^2}}}{4} + \left( {{y^2} + by + \frac{{{b^2}}}{4}} \right) – \frac{{{b^2}}}{4} = c\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{b}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{4} + c\).

On voit alors que sous cette forme, une condition nécessaire et suffisante pour que \({x^2} + {y^2} + ax + by = c\) soit l’équation d’un cercle est que \(\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{4} + c \ge 0\). On pose alors \({r^2} = \)\(\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{4} + c\). On obtient ainsi l’équation d’un cercle de centre \(\Omega \left( { – \frac{a}{2}; – \frac{b}{2}} \right)\) et de rayon \(r = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + 4c} }}{2}\).

 

 

Théorème.     Dans un repère orthonormal \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) l’équation \({x^2} + {y^2} + ax + by = c\) où \(\left( {a;b;c} \right) \in I{R^3}\) est :i-       celle d’un cercle de centre \(\Omega \left( { – \frac{a}{2}; – \frac{b}{2}} \right)\) et de rayon \(r = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + 4c} }}{2}\) si \({a^2} + {b^2} + 4c > 0\),ii-     celle d’un cercle point \(\Omega \left( { – \frac{a}{2}; – \frac{b}{2}} \right)\) si \({a^2} + {b^2} + 4c = 0\),iii-   l’ensemble vide si \({a^2} + {b^2} + 4c < 0\).

 

  • Cercle défini par son diamètre.

 

Théorème.     Soit A et B deux points distincts du plan. L’ensemble des points M du plan tels que \(\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MB}  = 0\) est le cercle de diamètre \(\left[ {AB} \right]\).

 

Démonstration.

  • Les points A et B vérifient la relation car le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.
  • Si M est un point du plan distinct des points A et B tel que \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB}  = 0\). Ceci

revient à dire que les vecteurs \(\overrightarrow {MA} \) et \(\overrightarrow {MB} \) sont orthogonaux et donc que les droites \(\left( {MA} \right)\) et \(\left( {MB} \right)\) sont perpendiculaires en M. D’après le théorème de l’angle droit, le point M appartient au cercle de diamètre \(\left[ {AB} \right]\).

  • Si M est un point du cercle de diamètre \(\left[ {AB} \right]\), toujours d’après le théorème de

l’angle droit, les droites \(\left( {MA} \right)\) et \(\left( {MB} \right)\) sont perpendiculaires en M et donc \(\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MB}  = 0\).

 

 

Théorème.     Soit C un cercle de centre W et A un point de C. Un point M du plan appartient à la tangente à C en A si et seulement si \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {A\Omega }  = 0\).

 

Exemple.

Dans un repère orthonormal, on considère le cercle \(C\left( {\Omega ;5} \right)\) avec \(\Omega \left( {1; – 4} \right)\).

1°) Déterminer une équation cartésienne du cercle C.

2°) Montrer que le point \(A\left( {5; – 1} \right)\) appartient au cercle C.

3°) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à C au point A.

 

 

 

 

 

 

 

  • Lignes de niveau et fonction scalaire de Leibniz.

 

1°) Nature du problème.

 

Il s’agit de déterminer des lieux géométriques, c’est à dire des ensembles de points vérifiant une certaine relation. Soit \(f:\begin{array}{*{20}{c}}{P \to IR}\\{M \mapsto f\left( M \right)}\end{array}\) et k un réel donné. On cherche l’ensemble \({\Gamma _k} = \left\{ {M \in P/f\left( M \right) = k;k \in IR} \right\}\), où \(f\left( M \right)\) prend les formes suivantes :

\(f\left( M \right) = \overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {OM} \), \(f\left( M \right) = M{A^2} – M{B^2}\), \(f\left( M \right) = M{A^2} + M{B^2}\), \(f\left( M \right) = M{A^2} – {\lambda ^2}M{B^2}\), \(f\left( M \right) = \alpha M{A^2} + \beta M{B^2}\) et \(f\left( M \right) = \frac{{MA}}{{MB}}\).

Ces ensembles de points sont appelés lignes de niveau de l’application f.

 

Définition.

Soit f une application définie sur une partie U du plan à valeurs dans IR. Soit k un nombre réel. On appelle ligne de niveau de k, l’ensemble des points U du plan tels que \(f\left( M \right) = k\).

 

2°) Etude de \(f\left( M \right) = \overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {OM} \).

 

Soit \(\overrightarrow u \) un vecteur fixé non nul, O un point donné du plan et k un nombre réel. On cherche l’ensemble \({\Gamma _k}\) défini par \({\Gamma _k} = \left\{ {M \in P/\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {OM}  = k{\rm{ }};{\rm{ }}k \in IR} \right\}\).

Si k=0 alors \({\Gamma _0} = \left\{ {M \in P/\mathop u\limits^ \to   \cdot \overrightarrow {OM}  = 0{\rm{ }}} \right\}\). Ainsi, M appartient à \({\Gamma _0}\)si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow {OM} \)sont orthogonaux donc si et seulement si M est sur la droite passant par O et de vecteur normal \(\overrightarrow u \).

Si \(k \ne 0\).

Considérons la droite D de vecteur directeur \(\overrightarrow u \) passant par le point O et soit M un point du plan non situé sur la droite D. Appelons H le projeté orthogonal de M sur D.Par définition du produit scalaire, \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {OM}  = \overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {OH} \) donc\(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {OM}  = k \Leftrightarrow \overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {OH}  = k\)

Comme \(\overrightarrow {OH} \)est le projeté orthogonal de \(\overrightarrow {OM} \)sur le vecteur \(\mathop u\limits^ \to  \), le vecteurs \(\overrightarrow {OH} \) et \(\mathop u\limits^ \to  \)sont colinéaires donc il existe un réel a  tel que \(\overrightarrow {OH}  = \alpha  \times \mathop u\limits^ \to  \) d’où

\(\left( {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {OM}  = \overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {OH} } \right) \Leftrightarrow \left( {\mathop u\limits^ \to   \cdot \overrightarrow {OH}  = \alpha  \times {{\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|}^2}} \right)\) mais \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {OH}  = k\)donc \(\left( {\alpha  \times {{\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|}^2} = k} \right) \Leftrightarrow \left( {\alpha  = \frac{k}{{{{\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|}^2}}}} \right)\)

On en déduit que \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {OM}  = k\) équivaut à \(\overrightarrow {OH}  = \frac{k}{{{{\left\| {\mathop u\limits^ \to  } \right\|}^2}}} \times \mathop u\limits^ \to  \).

L’ensemble \({\Gamma _k}\) cherché est la droite orthogonale à l’axe \(\left( {O;\overrightarrow u } \right)\) passant par le point H dont l’abscisse sur cet axe est \(\frac{k}{{{{\left\| {\overrightarrow u } \right\|}^2}}}\).

Théorème.

Soit \(\overrightarrow u \) un vecteur non nul et O un point du plan. Pour tout réel k fixé, l’ensemble des points M du plan tels que \(f\left( M \right) = \overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {OM} \) est une droite orthogonale à \(\overrightarrow u \).

 

 

Autre méthode (analytique).

Considérons le plan muni d’un repère orthonormé \(\left( {O;\mathop i\limits^ \to  ,\mathop j\limits^ \to  } \right)\) et soit \(\mathop u\limits^ \to  \)un vecteur non nul de coordonnées \(\left( {a;b} \right)\) où \(\left( {a;b} \right) \in I{R^2}\)avec\(\left( {a;b} \right) \ne \left( {0;0} \right)\). Soit \(M\left( {x;y} \right)\) un point du plan. D’après l’expression analytique du produit scalaire, on a alors, \(\mathop u\limits^ \to   \cdot \overrightarrow {OM}  = ax + by\).

Donc, pour tout réel k, \(\left( {\mathop u\limits^ \to   \cdot \overrightarrow {OM}  = k} \right) \Leftrightarrow \left( {ax + by = k} \right)\).

Avec cette dernière écriture, on reconnaît que les lignes de niveau k de f sont les droites de vecteur normal \(\mathop u\limits^ \to  \left( {a;b} \right)\) passant par le point \(H\left( {\frac{{ka}}{{{a^2} + {b^2}}};\frac{{kb}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\).

 

2°) Etude de \(f\left( M \right) = M{A^2} – M{B^2}\)

 

Soit A et B deux points fixés du plan et notons O le milieu du segment [AB]. On cherche l’ensemble \({\Gamma _k} = \left\{ {M \in P/M{A^2} – M{B^2} = k{\rm{ }};{\rm{ }}k \in IR} \right\}\).

Soit M un point du plan tel que \(f\left( M \right) = M{A^2} – M{B^2}\). D’après le théorème de la médiane,

\(f\left( M \right) = \left( {\overrightarrow {MA}  – \overrightarrow {MB} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right)\)\( = 2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {OM} \). D’où, pour \(k \in IR\), \(f\left( M \right) = k\)Û \(2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {OM}  = k\). Les points A et B étant fixés, on peut poser \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB} \) et on est ramené au problème précédent avec \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {OM}  = \frac{k}{2}\).

Les lignes de niveau k de f sont les droites perpendiculaires à (AB).

 

Remarque.

Lorsque k décrit IR, toute droite orthogonale à (AB) est une ligne de niveau de f.

 

 

 

3°) Etude de \(f\left( M \right) = M{A^2} + M{B^2}\).

 

Soit A et B deux points fixés du plan et notons O le milieu du segment [AB]. On cherche l’ensemble \({\Gamma _k} = \left\{ {M \in P/M{A^2} + M{B^2} = k{\rm{ }};{\rm{ }}k \in IR} \right\}\).

Soit M un point du plan tel que \(f\left( M \right) = M{A^2} + M{B^2}\). D’après le théorème de la médiane,

\(f\left( M \right) = 2M{O^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}\). D’où, pour \(k \in IR\), \(f\left( M \right) = k\)Û \(2M{O^2} + \frac{{A{B^2}}}{2} = k\) Û \(M{O^2} = \frac{{2k – A{B^2}}}{4}\).

  • Si \(k \ge \frac{{A{B^2}}}{2}\), \({\Gamma _k}\) est le cercle de centre O de rayon \(r = \frac{{\sqrt {2k – A{B^2}} }}{2}\),
  • Si \(k < \frac{{A{B^2}}}{2}\), \({\Gamma _k} = \emptyset \).

 

Remarques.

  • Si \(k = \frac{{A{B^2}}}{2}\), \({\Gamma _k}\) est le cercle point O.
  • Si \(k = A{B^2}\), \(r = \frac{{AB}}{2}\), \({\Gamma _k}\) est le cercle de diamètre [AB].
  • Lorsque k décrit l’intervalle \(\left[ {\frac{{A{B^2}}}{2}; + \infty } \right[\), le réel \(\frac{{\sqrt {2k – A{B^2}} }}{2}\) décrit IR; ainsi tout cercle de centre O est une ligne de niveau de l’application f.

 

4°) Etude de \(f\left( M \right) = M{A^2} – {\lambda ^2}M{B^2}\)\(\lambda  \in I{R_ + } – \left\{ 1 \right\}\).

 

Soit A et B deux points fixés du plan. On cherche l’ensemble :

\({\Gamma _k} = \left\{ {M \in P/M{A^2} – {\lambda ^2}M{B^2} = k{\rm{ }};{\rm{ }}k \in IR} \right\}\).

On a \(f\left( M \right) = M{A^2} – {\lambda ^2}M{B^2} = \left( {\overrightarrow {MA}  – \lambda \overrightarrow {MB} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {MA}  + \lambda \overrightarrow {MB} } \right)\) ; en notant I le barycentre du système \(\left\{ {\left( {A;1} \right),\left( {B;\lambda } \right)} \right\}\) et J celui de \(\left\{ {\left( {A;1} \right),\left( {B; – \lambda } \right)} \right\}\), on a :

\(f\left( M \right) = \left[ {\left( {1 + \lambda } \right)\overrightarrow {MI} } \right] \cdot \left[ {\left( {1 – \lambda } \right)\overrightarrow {MJ} } \right] = \left( {1 – {\lambda ^2}} \right)\overrightarrow {MI}  \cdot \overrightarrow {MJ} \) donc \(f\left( M \right) = k\)Û \(\overrightarrow {MI}  \cdot \overrightarrow {MJ}  = \frac{k}{{1 – {\lambda ^2}}}\) puisque \(\lambda  \in I{R_ + } – \left\{ 1 \right\}\).

On pose \(K = \frac{k}{{1 – {\lambda ^2}}}\). Soit G le milieu du segment [IJ]. D’après le théorème de la médiane, \(\overrightarrow {MI}  \cdot \overrightarrow {MJ}  = K\)Û \(M{G^2} – \frac{{I{J^2}}}{4} = K \Leftrightarrow M{G^2} = K + \frac{{I{J^2}}}{4}\)

  • Si \(K \ge – \frac{{I{J^2}}}{4}\), \({\Gamma _k}\) est le cercle de centre G milieu de [IJ] et de rayon \(r = \frac{{\sqrt {4K + I{J^2}} }}{2}\),
  • Si \(K < – \frac{{I{J^2}}}{4}\), \({\Gamma _k} = \emptyset \).

 

 

 

5°) Etude de \(f\left( M \right) = \alpha M{A^2} + \beta M{B^2}\).

  • Si \(\alpha + \beta  = 0\) avec \(\left( {\alpha ;\beta } \right) \ne \left( {0;0} \right)\), on a \(\beta  =  – \alpha \) et donc \(\alpha M{A^2} + \beta M{B^2} = \alpha \left( {M{A^2} – M{B^2}} \right)\), déjà vu au 2°).
  • Si \(\alpha + \beta  \ne 0\), considérons le barycentre G du système \(\left\{ {\left( {A;\alpha } \right),\left( {B;\beta } \right)} \right\}\). On a alors, \(f\left( M \right) = \left( {\alpha  + \beta } \right)M{G^2} + \alpha G{A^2} + \beta G{B^2}\).

Ainsi, \(\left( {f\left( M \right) = k} \right) \Leftrightarrow \left( {M{G^2} = \frac{{k – \alpha G{A^2} – \beta G{B^2}}}{{\alpha  + \beta }}} \right)\)

\( \circ \)           Si \(\alpha  = \beta  = 1\), c’est le théorème de la médiane, \(G = O\) déjà vu c’est le cas 3°).

\( \circ \)           Si \(\alpha  = 1\) et \(\beta  =  – {\lambda ^2}\), c’est le cas 4°).

\( \circ \)Dans les autres cas, on a \(M{G^2} = \frac{{k – \alpha G{A^2} – \beta G{B^2}}}{{\alpha  + \beta }}\) on pose \(K = \frac{{k – \alpha G{A^2} – \beta G{B^2}}}{{\alpha  + \beta }}\).

  • Si \(K \ge 0\), \({\Gamma _k}\) est le cercle de centre G et de rayon \(\sqrt K \).
  • Si \(K < 0\), \({\Gamma _k} = \emptyset \).

 

6°) Etude de \(f\left( M \right) = \frac{{MA}}{{MB}}\), avec M distinct de B.

 

Soit A et B deux points fixés du plan. On cherche l’ensemble :

\({\Gamma _k} = \left\{ {M \in P/\frac{{MA}}{{MB}} = k{\rm{ }};{\rm{ }}k \in I{R_ + }} \right\}\).

Soit M un point du plan, et \(k \in I{R_ + }\), \(\frac{{MA}}{{MB}} = k \Leftrightarrow M{A^2} – {k^2}M{B^2} = 0\).

  • Si \(k = 1\), \(\frac{{MA}}{{MB}} = 1 \Leftrightarrow MA = MB\) et \({\Gamma _k}\) est la médiatrice du segment \(\left[ {AB} \right]\),
  • Si \(k \ne 1\), c’est un cas particulier de 4°).

 

 

Exercices sur les équations de droites.

Soit la droite D d’équation cartésienne \(ax + by + c = 0\) avec \(\left( {a;b;c} \right) \in I{R^3}\) et \(\left( {a;b} \right) \ne \left( {0;0} \right)\) et \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) un point du plan. On note \(H\left( {{x_H};{y_H}} \right)\) le projeté orthogonal du point A sur la droite \(\Delta \).

1°) Donner les coordonnées d’un vecteur normal \(\overrightarrow n \) à la droite \(\Delta \).

2°) Calculer de deux manières différentes le produit scalaire \(\overrightarrow n  \cdot \overrightarrow {AH} \).

3°) En déduire que la distance du point A à la droite \(\Delta \) est donnée par : \(AH = \frac{{\left| {a{x_A} + b{y_A} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

4°) Application numérique ; calculer la distance des points \(A\left( {6;3} \right)\) et \(B\left( { – 5;2} \right)\) à la droite D d’équation \(4x + 3y = 12\).

5°) Soit deux droites parallèles D et D’ d’équations cartésiennes respectives \(ax + by + c = 0\) avec \(\left( {a;b;c} \right) \in I{R^3}\) et \(\left( {a;b} \right) \ne \left( {0;0} \right)\) et \(a’x + b’y + c’ = 0\) avec \(\left( {a;b;c} \right) \in I{R^3}\) et \(\left( {a’;b’} \right) \ne \left( {0;0} \right)\).

  • Soit A un point appartenant à D et A’ le projeté orthogonal de A sur D’. La distance AA’ est la distance des droites D et D’. Démontrer en utilisant 3°) que \(AA’ = \frac{{\left| {c – c’} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
  • Calculer la distance des droites D d’équation \(2x + y – 4 = 0\) et D’ d’équation \(2x + y + 1 = 0\).