12 – Probabilités

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I – LE VOCABULAIRE DES ÉVÉNEMENTS ET DES PROBABILITÉS

1°) Définitions et vocabulaire

Définition : expérience aléatoire : On appelle expérience aléatoire, une expérience dans laquelle le résultat obtenu ne dépend que du hasard.

Exemple 1

  • Dans le lancer d’une pièce de monnaie on ne peut prédire à priori, si c’est pile ou face qui sortira.
  • Dans le lancer d’un dés, l’une des six faces apparaîtra, mais on ne peut dire laquelle.

 

Définition : éventualité ou issue : On appelle éventualité ou issue, un résultat d’une expérience aléatoire.

Exemple 2

  • Dans le lancer d’une pièce de monnaie, « obtenir pile » est une issue possible, « obtenir face » aussi.
  • Dans le lancer d’un dé « obtenir un six » est un résultat possible, comme « obtenir trois » ou tout autre face numérotée du dé.

 

Définition : Univers : On appelle univers des possibles, et on note \(\Omega\), l’ensemble constitué de toutes les issues possibles.

Lorsque le nombre d’éléments dans \(\Omega\), est fini, on appelle cardinal de \(\Omega\), et on note \(Card(\Omega)\) ce nombre d’éléments.

Exemple 3

  • Dans le lancer d’une pièce de monnaie, l’univers des issues possibles est \(\Omega=\{Pile ;Face\}\) ; \(Card(\Omega)=2\). L’usage veut que l’on note \(P\) pour pile et \(F\) pour face.
  • Dans le lancer d’un dé, l’univers des possibles est \(\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}\) ; \(Card(\Omega)=6\).
  • Ne confondez pas l’univers \(\Omega\) constitué de toutes les issues possibles et son cardinal \(Card(\Omega)\) qui lui est un nombre.

 

2°) Evénements associés à une expérience aléatoire

Définition : événement : Une partie des résultats de l’univers, liée à une propriété, est appelée un événement. On parle aussi de résultats favorables à un événement.

Comprenons bien qu’avec le langage des ensembles, un événement est un sous-ensemble de \(\Omega\) constitué d’éléments de \(\Omega\).

Exemple 4

Dans le lancer du dés, l’univers \(\Omega\) est constitué des six issues possibles \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\).

  • « obtenir un nombre pair » est un événement de \(\Omega\). Il est constitué des trois éventualités, « obtenir 2 », ou « obtenir 4 » ou « obtenir 6 ». On peut noter cet événement \(A=\{2;4;6\}\) ; on a alors \(Card(A)=3\).
  • « Obtenir un multiple de trois » est un événement de \(\Omega\). Il est constitué des deux issues possibles « obtenir 3 » ou « obtenir 6 ». On peut le noter \(B=\{3;6\}\) ; on a alors \(Card(B)=2\)
  • « Obtenir un multiple de 3 plus petit que 2 » est un événement de \(\Omega\), dit événement impossible. L’événement impossible est noté, comme pour les ensembles, \(\emptyset\). Etant donné qu’il n’y a aucun élément dans l’ensemble vide, on a \(Card(\emptyset)=0\).

 

Définition : événement élémentaire : Un événement constitué d’une seule éventualité (ou d’une seule issue) est appelé un événement élémentaire.

Exemples 5

  • Dans le lancer d’une pièce de monnaie, il y’a deux événements élémentaires « obtenir pile » ou bien « obtenir face ».
  • Dans le lancer du dés, « obtenir un multiple de 3 plus grand que 4 » est un événement élémentaire qui est « obtenir 6 ».
  • Toujours dans le lancer du dés, « obtenir 2 » est un événement élémentaire.
  • Dans un jeu de 32 cartes, l’univers \(\Omega\) est constitué des 32 issues possibles :\(\Omega=\{7♥,8♥,9♥,10♥,V♥,D♥,R♥,7♦,8♦,…,V♦,D♦,R♦,7♠,8♠,…,R♠,7♣,8♣,…,R♣\}\)
  • L’événement « obtenir un valet », événement que l’on peut appeler \(C\), est : \(C=\{V♥,V♦,V♠,V♣\}\). \(C\) n’est pas un événement élémentaire car est constitué de quatre issues possibles de l’univers \(\Omega\).

 

Remarque. Il y’a autant d’événements élémentaires différents que d’issues dans l’univers \(\Omega\).

 

3°) Vocabulaire particulier

Le vocabulaire des probabilités est en fait celui des ensembles, mais les noms changent.

Au lieu de

Langage des probabilités

Notation

\(A\) est une partie (sous-ensemble) de \(\Omega\) \(A\) est un événement de \(\Omega\) \(A\subset\Omega\)
\(A\) est l’ensemble vide \(A\) est l’événement impossible \(A=\emptyset\)
\(A\) est égal à \(\Omega\) \(A\) est l’événement certain \(A=\Omega\)
\(C\) est la réunion de \(A\) et de \(B\) \(C\) est l’événement \(A\) ou \(B\) \(C=A\cup B\)
\(C\) est l’intersection de \(A\) et de \(B\) \(C\) est l’événement \(A\) et \(B\) \(C=A\cap B\)
\(A\) et \(B\) sont disjoints \(A\) et \(B\) sont incompatibles \(A\cap B=\emptyset\)
\(A\) et \(B\) sont complémentaires \(A\) et \(B\) sont contraires \(B=\bar A\)

Les quatre dernières lignes peuvent se comprendre par un schéma, mais donnons au préalable quelques définitions.

Définition.      Soit \(\Omega\) l’ensemble des éventualités d’une expérience aléatoire et soit \(A\) et \(B\) deux événements de cette expérience.

  1. On appelle événement \(C=A\cup B\) l’évènement constitué de toutes les éventualités qui sont dans à la fois dans \(A\) et dans \(B\).
  2. On appelle événement \(C=A\cap B\) l’événement constitué de toutes les éventualités qui sont dans l’un au moins des événements \(A\) ou \(B\).
  3. Deux évènements sont dits incompatibles s’ils ne peuvent être réalisés simultanément, c’est à dire \(A\cap B=\emptyset\).
  4. L’événement contraire de l’évènement \(A\), noté \(\bar A\), est constitué de toutes les éventualités qui ne sont pas dans \({A}\). On a \(A\cup \bar A=\emptyset\) et \(A\cap \bar A=\Omega\).

Pour i.

inter

 

Pour ii.

union

 

Pour iii.

 

incompatibles

 

On note que : \(A\cap B=\emptyset\) et que \(A\cap B\neq\Omega\)

Pour iv.

 

 

Contraires

On note que : \(A\cap B=\emptyset\) et que \(A\cap B=\Omega\)

Exemple 6

Dans un jeu de 32 cartes, l’univers \(\Omega\) est constitué des 32 issues possibles :

\(\Omega=\{7♥,8♥,9♥,10♥,V♥,D♥,R♥,7♦,8♦,…,V♦,D♦,R♦,7♠,8♠,…,R♠,7♣,8♣,…,R♣\}\).

Appelons \(A\) l’événement « obtenir un valet », \(B\) l’événement « tirer une carte noire » et \(C\) l’événement « tirer une figure ».

  • L’événement \(A\cup B\) est l’événement « tirer un valet de couleur noire » c’est à dire \(A\cup B=\{V♠,V♣\}\).
  • L’événement \(B\cap C\) est l’événement « tirer une figure ou une carte de couleur noire » ainsi,\(B\cup C=\{V♥,D♥,R♥,V♦,D♦,R♦,7♠,8♠,9♠,10♠,V♠,D♠,R♠,7♣,8♣,9♣,10♣,V♣,D♣,R♣\}\).
  • L’événement « ne pas tirer une figure » est l’événement contraire de l’événement \(C\) c’est à dire \(\bar C\). On a alors : \(\bar C=\{7♥,8♥,9♥,10♥,7♦,8♦,9♦,10♦,7♠,8♠,9♠,10♠,7♣,8♣,9♣,10♣,\}\).

 

II -NOTION DE PROBABILITÉ

1°) Loi de probabilité

Définition : Soit \(\Omega=\{x_{1};x_{2};…;x_{n}\}\) l’ensemble des résultats élémentaires associés à une expérience aléatoire. On dit que l’on définit une loi de probabilité \(\mathbb P\) sur \(\Omega\) lorsque :

  • A chaque \(x_{i}\), avec \(1\leqslant i\leqslant n\), on associe un nombre \(\mathbb P(x_{i})\) compris entre \(0\) et \(1\),
  • \(\mathbb P(x_{1})+\mathbb P(x_{2})+…+\mathbb P(x_{n})=1\)

Cette loi de probabilité est notée dans un tableau :

\(x_{i}\) \(x_{1}\) \(x_{2}\) \(x_{n}\)
\(\mathbb P(x_{i})\) \(p_{1}\) \(p_{2}\) \(p_{n}\)

La première chose à noter, c’est qu’une probabilité est une application définie sur un espace de départ qui est l’univers \(\Omega\) et qui est à valeurs dans l’intervalle \([0;1]\).

\(\mathbb P:\Omega\rightarrow [0;1]\)

\(\mathbb P:x_{i}\rightarrow\mathbb P(x_{i})=p_{i}\)

La deuxième c’est qu’une probabilité est toujours comprise entre \(0\) et \(1\) donc attention à vos résultats.

Par ailleurs, sur un plan pratique on donne toujours la probabilité sous la forme d’une fraction irréductible ou arrondi (précision indiquée par l’énoncé).

Exemple 7

  • Lors du lancer d’une pièce de monnaie, chaque face a la même probabilité de \(\frac{1}{2}\) d’apparaître, ainsi : \(\mathbb P(Pile)=\frac{1}{2}=\mathbb P(Face)\).
  • Lors du tirage d’une carte parmi les \(32\) cartes d’un jeu, chaque carte a la même probabilité de \(\frac{1}{32}\) d’être tirée.
  • En gardant l’exemple d’un jeu de \(32\) cartes, on a vu dans l’exemple I 3°) que l’événement \(A\) « obtenir un valet » était \(A=\{V♥,V♦,V♠,V♣\}\). La probabilité d’obtenir un valet est alors de \(\frac{4}{32}\) soit sous forme irréductible \(\frac{1}{8}\).
  • On s’intéresse à la somme des numéros obtenus lors du lancer de deux dés tétraédriques (dé à quatre faces)

 

On peut dresser un tableau où, dans la première ligne et première colonne figureront les résultats donnés par chacun des deux dés.

Les nombres en gras sont la somme des deux numéros affichés par les deux dés.

\(1\) \(2\) \(3\) \(4\)
\(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)
\(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\)
\(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\)
\(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\)

On obtient comme loi de probabilité :

\(x_{i}\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\)
\(p_{i}\) \(\frac{1}{16}\) \(\frac{2}{16}\) \(\frac{3}{16}\) \(\frac{4}{16}\) \(\frac{3}{16}\) \(\frac{2}{16}\) \(\frac{1}{16}\)

 

2°) La situation d’équiprobabilité

Définition : Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité de se produire, ont dit que l’on est dans une situation d’équiprobabilité ou que la loi de probabilité est équirépartie.

Ainsi, pour \(n\in\mathbb N^{\ast}\), si \(\Omega=\{x_{1};x_{2};…;x_{n}\}\) avec \(Card(\Omega)=n\) alors \(\mathbb P(\{x_{i}\})=\frac{1}{n}\).

Remarque : Dans la pratique, on sait que la loi est équirépartie, si l’énoncé précise, un dé non truqué, une pièce parfaitement équilibré, des boules indiscernables au toucher, un jeu de cartes bien battues, etc..

 

3°) Modélisation à partir de fréquences

Dans le cas ou aucune raison de symétrie ne permet d’attribuer des valeurs aux \(p_{i}\) mais que l’on peut répéter l’expérience de façon identique de nombreuses fois, le théorème suivant permet de modéliser l’expérience pour une loi de probabilité :

Théorème : la loi des grands nombres : 

Pour une expérience donnée, si le modèle est bon, les fréquences \(f_{i}\) calculées sur des séries de tailles \(n\), doivent se rapprocher des \(p_{i}\) lorsque \(n\) devient grand.

Remarque : Ce théorème permet aussi par une simulation de décider si un modèle donné à priori est acceptable ou non.

 

III – PROBABILITÉS DES ÉVÉNEMENTS PARTICULIERS

1°) Probabilité d’un événement

Définition : La probabilité d’un événement \(A\) de \(\Omega\) est la somme des probabilités élémentaires qui le composent.

On pose \(\mathbb P(\emptyset)=0\) et \(\mathbb P(\Omega)=1\)

Exemple 8 On lance un dé équilibré et on lit la face supérieure. Soit \(A\) l’événement « obtenir un multiple de 3 ».

On a \(A=\{3;6\}\) donc \(\mathbb P(A)=\mathbb P(\{3\})+\mathbb P(\{6\})=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\).

 

2°) Cas de l’équiprobabilité

Théorème : loi de Laplace dit théorème d’équiprobabilité :

Soit \(A\) un événement de \(\Omega\) (c’est à dire \(A\subset\Omega\). Si on est dans une situation d’équiprobabilité,

\(\mathbb P(A)=\frac{Card(A)}{Card(\Omega)}=\frac{nombre\ de\ cas\ favorables\ à\ la\ réalisation\ de\ A}{nombres\ de\ cas\ possibles}\)

Démonstration

Soit \(n\in\mathbb N^{\ast}\) et considérons l’univers \(\Omega=\{x_{1};x_{2};…;x_{n}\}\).

Puisque l’on est dans une situation d’équiprobabilité, on a \(\mathbb P(\{x_{1}\})=\mathbb P(\{x_{2}\})=…=\mathbb P(\{x_{n}\})\).

Par ailleurs, D’après la définition d’une probabilité (c.f. ii), on a :

\(\mathbb P(\{x_{1}\})+\mathbb P(\{x_{2}\})+…+\mathbb P(\{x_{n}\})=1\) ce qui donne pour \(1\leqslant i\leqslant n\) : \(n\mathbb P(\{x_{i}\})=1\Leftrightarrow\mathbb P(\{x_{i}\})=\frac{1}{n}\) .

Comme \(A\subset\Omega\), si \(A\) contient \(m\) événements élémentaires, avec \(m\leqslant n\), la probabilité de l’événement \(A\) est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent d’où

\(\mathbb P(A)=\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+…+\frac{1}{n}}=\frac{m}{n}\)

m fois

ce qui donne bien \(\mathbb P(A)=\frac{Card(A)}{Card(\Omega)}\).

Exemple 9

Quelle est la probabilité de tiret un valet dans un jeu de \(32\) cartes bien battues ?

L’univers \(\Omega\) est constitué de l’ensemble des \(32\) cartes du jeu d’où \(Card(\Omega)=32\).

Soit \(A\) l’événement « tirer un valet », on a :  \(A=\{V♥,V♦,V♠,V♣\}\) d’où \(Card(A)=4\).

Comme on est dans une situation d’équiprobabilité, puisque le jeu de carte est bien battu, on a \(\mathbb P(A)=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}\).

Notons que cette probabilité est la même que de tirer un paquet constitué de \(4\) cartes identiques (de même hauteur) parmi \(8\) paquets : \(1\) paquet contenant les \(4\) as, \(1\) paquet contenant les \(4\) rois etc.. ce qui constitue \(8\) paquets de \(4\)  cartes. On prélève alors \(1\) paquet (celui des valets) parmi les \(8\) paquets.

 

3°) Probabilité de l’événement \(A\cap B\)

Définition : On appelle événement « A et B », noté «\(A\cap B\)», l’événement constitué de toutes les éventualités qui sont à la fois dans \(A\) et dans \(B\).

Remarque : Si \(A\cap B=\emptyset\), on dit que \(A\) et \(B\) sont disjoints.

Exemple 10 Dans un jeu de \(32\) cartes, soit \(A\) l’événement « tirer un as » et \(B\) l’événement « tirer un carreau ». L’événement « A et B » est l’événement « tirer l’as de carreau ».