1 – Le Premier Degré

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I – FONCTION TRINOME DU SECOND DEGRE

1°) Définition et forme canonique d’un trinôme du second degré

Définition : On appelle fonction trinôme du second degré toute fonction définie sur \(\mathbb R\) qui à tout réel x associe l’unique réel \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) où (\(a;b;c) \in \mathbb R* \times \mathbb R \).

Avec la notation des fonctions : \(f(x)=ax^{2}+bx+c\)

Exemples: \(f(x)=x^{2} , f(x)=3x^{2}-1\) mais pas \(f(x)=(x-1)(x+3)-x^{2}\) car en développant, on obtient: \(f(x)=2x-3\) qui n’est pas du second degré.

2°) Forme canonique d’un trinôme du second degré

Considérons le trinôme du second degré \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) où \((a;b;c) \in \mathbb R* \times \mathbb R\).
Soit \(x \in \mathbb R\); comme \(a\neq 0 \), on a:

\(f(x)=a(x^{2}+ \frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=a(x^{2}+2\times \frac{b}{2a} \times x+ \frac{c}{a})\)
\(f(x)=a[(x^{2}+2\times \frac{b}{2a} \times x+(\frac{b}{2a})^{2})-\frac{b^{2}}{4a^{2}}+ \frac{c}{a}]\)
\(f(x)=a[(x+ \frac{b}{2a})^{2} – \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}]\)

Cette dernière expression est appelée forme canonique du trinôme du second degré.

Théorème: 
La forme canonique du trinôme \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) où \((a;b;c)\in\mathbb R* \times\mathbb R^{2}\) est pour tout réel \(x\)

\(f(x)=a[(x +\frac{b}{2a})^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}]\)

Définition: On appelle discriminant de l’équation du second degré, le réel noté \(\Delta\) et défini par \(\Delta=b^{2}-4ac\)

II – EQUATIONS DU SECOND DEGRE

On a vu qu’une fonction trinôme du second degré était définie sur \(\mathbb R\) sous la forme \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) où \((a;b;c) \in \mathbb R* \times \mathbb R\).
On peut alors s’intéresser à la résolution de l’équation \(f(x)=0\)

1°) Présentation de l’équation du second degré

Définition: On appelle équation du second degré toute équation de la forme  \(f(x)=ax^{2}+bx+c=0\) où \((a;b;c) \in \mathbb R^{3}\) avec \(a \neq 0\)

Exemples : 

  • \(4x^{2}-7x+1=0\)
  •  \(x^{2}+1=0\)

Remarque: \((x-1)^{2}+x^{2}=0\) est une équation du second degré, car en développant on obtient: \(2x^{2}-2x+1=0\);
En revanche, \((x-1)^{2}-x^{2}=0\) est un piège car si on développe on a : \(-2x+1=0\) qui n’est pas une équation du second degré mais du premier degré.

2°) Résolution de l’équation du second degré

Théorème: On considère l’équation du second degré \(f(x)=ax^{2}+bx+c=0\) où \((a;b;c) \in \mathbb R^{3}\) avec \( a \neq 0\).

i.    Si \(\Delta>0\), l’équation admet deux solutions distinctes \(x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\).
ii.   Si \(\Delta=0\), l’équation admet une solution double \(x_{0}=-\frac{b}{2a}\).
iii.  Si \(\Delta<0\), l’équation n’admet aucune solution réelle.

Démonstration:

D’après le paragraphe I, on a vu que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=a[(x+\frac{b}{2a})^{2}-\frac{\Delta}{4a^{2}}]\)
Or, \(f(x)=0\) équivaut à \(a[(x+\frac{b}{2a})^{2}-\frac{\Delta}{4a^{2}}]=0\leftrightarrow(x+\frac{b}{2a})^{2}-\frac{\delta}{4a^{2}}=0\) puisque \( a \neq 0\).
Donc \(f(x)=0\leftrightarrow(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{\Delta}{4a^{2}}\).
(Puis rappel de seconde sur l’équation \(x^{2}=a\))

i.   Si \(\Delta>0\), on a \(\frac{\Delta}{4a^{2}}=(\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})^{2}\) d’où \(x+\frac{b}{2a})^{2}=(\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})^{2}\) c’est-à-dire \(x=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) ou \(x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) ce qui donne bien deux solutions distinctes.
ii.  Si \(\Delta=0\),  \(x+\frac{b}{2a})^{2}=0\) d’où  \(x=-\frac{b}{2a}\) dite solution double.
iii. Si \(\Delta<0\) alors \(\frac{\Delta}{4a^{2}}<0\) et l’équation \((x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{\Delta}{4a^{2}}\) n’admet pas de solution car un carré n’est jamais négatif dans \(\mathbb R\).

Remarque:

  • Ces solutions sont aussi appelées racines de l’équation du second degré \(ax^{2}+bx+c=0\)
  • On retiendra que l’équation du second degré \(ax^{2}+bx+c=0\) avec \(a\neq 0\), admet deux racines distinctes ou confondues si et seulement si \(\Delta\geq 0\).
  • Si \(a\) et \(c\) sont de signes contraires alors \(\Delta\) est nécessairement strictement positif et l’équation admet deux solutions distinctes. Mais attention, \(\Delta\) peut être positif bien que \(a\) et \(c\) soient de même signe.
Exemple: \(5x^{2}-4x-1=0\). On a \(a=5\) et \(b=-1\) qui sont de signes contraires donc cette équation admet deux solutions distinctes. En effet, \(\Delta=36\) d’où \(x=1\) ou \(x=-\frac{1}{5}\) et \(S_{\mathbb R}=\{-\frac{1}{5};1\}\).
*  \(x^{2}-x+1=0\), \(\Delta =1-4=-3<0\) donc aucune solution réelle : \(S_{\mathbb R}=\emptyset\)
*  \(x^{2}-2x+1=0\),  \(\Delta =0\) donc une solution double \(x=1\) : \(S_{\mathbb R}=\{1\}\). On pouvait repérer une identité remarquable \((x-1)^{2}=0\).
*  \(2x^{2}-4x-6=0\) équation simplifiable par 2 et donne \(x^{2}-2x-3=0\),\( \Delta =4+12=4^{2}\) d’où: \(x=\frac{2+4}{2}\) ou \(x=\frac{2-4}{2}=-1\) ainsi \(S_{\mathbb R}=\{-1;3\}\).
Exercice:
Résoudre dans \(\mathbb R\) suivant les valeurs du paramètre \(m\) l’équation suivante:
\((m-1)x^{2}-2mx+m+3=0\)

Dans cette équation, \(a=m-1, b=-2m\) et \(c=m+3\). Cette équation est du second degré si et seulement si \(a\neq 0\) c’est-à-dire si et seulement si \(m\neq 1\). On envisage alors deux cas:

  • Si \(m=1\), [E]\(\Leftrightarrow(-2x+4=0) \Leftrightarrow (x=2)\)
  • Si \(m\neq 1\), l’équation est du second degré. On a \(\Delta=4m^{2}-4(m-1)(m+3)=-8m+12\).
    L’équation admet deux solutions si et seulement si \(\begin{cases} m\neq 1\\ \Delta \geq 0\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} m\neq 1 \\ m\leq \frac{3}{2}\end{cases}\).
    Si \(m\in]-\infty:1[\cup ]1;\frac{3}{2}[\) alors \(\Delta>0\) et l’équation admet deux solution distinctes
    \[x=\frac{2m-2\sqrt{3-2m}}{2(m-1)}\quad ou\quad x=\frac{2m+2\sqrt{3-2m}}{2(m-1)}\]
    C’est-à-dire \[x=\frac{m-\sqrt{3-2m}}{m-1}\quad ou\quad x=\frac{m+\sqrt{3-2m}}{m-1}\]
    Si \(m=\frac{3}{2}\) alors \(\Delta =0\) et l’équation admet une solution double \(x=3\)
    Si \(m\in ]\frac{3}{2};+\infty [\) alors \(\Delta <0\) et l’équation n’admet aucune solution réelle.

Conclusion:

  • Si \(m=1\), l’équation admet une unique solution, \(S_{\mathbb R}=\{2\}\);
  • Si \(m\in ]-\infty;1[\cup ]1;\frac{3}{2}[\), [E] admet deux solutions distinctes,
    \[S_{\mathbb R}=\{\frac{m-\sqrt{3-2m}}{m-1};\frac{m+\sqrt{3-2m}}{m-1}\}\]
  • Si \(m=\frac{3}{2}\), [E] admet une solution double, \(S_{\mathbb R}=\{3\}\)
  • Si \(m\in]\frac{3}{2};+\infty[\), \(S_{\mathbb R}=\emptyset\)

3°) Factorisation d’un trinôme du second degré

On sait que, pour tout réel \(x\),\(f(x)=a[(x+\frac{b}{2a})^{2}-\frac{\Delta}{4a^{2}}]\)

  • Si \(\Delta>0\), alors \(\frac{\Delta}{4a^{2}}>0\) et on peut écrire \(\frac{\Delta}{4a^{2}}=\frac{(\sqrt{\Delta})^{2}}{4a^{2}}=(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})^{2}\)
    Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f(x)=a[(x+\frac{b}{2a})^{2}-(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})^{2}]\)
    \(f(x)=a[(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})\times(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})]\)
    \(f(x)=a(x-\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a})(x-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a})\)
  • Si \(\Delta=0\), alors \(\frac{\Delta}{4a^{2}}=0\) et donc, pour tout réel \(x\), \(f(x)=a(x+\frac{b}{2a})^{2}\).
  • Si \(\Delta<0\), alors \(\frac{\Delta}{4a^{2}}=-\frac{-\Delta}{4a^{2}}\) avec \(-\frac{-\Delta}{4a^{2}}>0\) et donc, pour tout réel \(x\), \(f(x)=a[(x+\frac{b}{2a})^{2}+\frac{-\Delta}{4a^{2}}]\) et qui n’est pas une identité remarquable et ne peut donc pas se factoriser.

Conclusion:

Corollaire: On considère le théorème du second degré \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) où \((a;b;c) \in \mathbb R^{3}\) avec \( a \neq 0\).
i.   Si \(\Delta>0\), on a \(ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x-{2})\) où \(x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\).
ii.  Si (\Delta=0\), on a \(ax^{2}+bx+c=a(x-x_{0})^{2}\) où \(x_{0}=-\frac{b}{2a}\).
iii. Si (\Delta<0\), \(f(x)\) ne se factorise pas dans \(\mathbb R\) car l’équation n’admet aucune racine réelle.

Exemples:
*  \(x^{2}-2x+1=0\), on a vu \(S_{\mathbb R}=\{1\}\) d’où la factorisation \(x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}\)
* \(2x^{2}-4x-6=0\) avec \(S_{\mathbb R}=\{-1;3\}\) d’où \(2x^{2}-4x-6=2(x+1)((x-3)\).

4°) Une application à la simplification de certains quotients

On considère le nombre \(Q(x)=\dfrac{4x^{2}+4x-15}{6x^{2}+7x-20}\)\. Le but est de simplifier \(Q(x)\).

  • Recherche des contraintes. \(Q(x)\) existe si et seulement si \(6x^{2}+7x-20\neq 0\) . Pour trouver ces valeurs interdites, on résout \(6x^{2}+7x-20=0\). On a \(\Delta=23^{2}\) d’où \(x=\frac{4}{3}\) ou \(x=-\frac{5}{2}\); d’où \(Q(x)\) existe si et seulement si \(x\neq\frac{4}{3}\) et \(x\neq-\frac{5}{2}\).
  • On factorise numérateur et dénominateur à l’aide du corollaire.
    Pour le dénominateur, c’est pratiquement fait, on a :
    \(6x^{2}+7x-20=6(x-\frac{4}{3})(x+\frac{5}{2})=(3x-4)(2x+5\)
    Pour le numérateur, on résout \(4x^{2}+4x-15=0\), \(\Delta=16\) ce qui donne \(x=\frac{3}{2}\) ou \(x=-\frac{5}{2}\) ainsi \(4x^{2}+4x-15=4(x-\frac{3}{2})(x+\frac{5}{2})=(2x-3)(2x+5)\).

Conclusion: Pour \(x\neq\frac{4}{3}\) et \(x\neq-\frac{5}{2}\), \(Q(x)=\dfrac{(2x-3)(2x+5)}{(3x-4)(2x+5)}=\dfrac{2x-3}{3x-4}\)

4°) Somme et produit des racines

Théorème: Lorsque l’équation \(ax^{2}+bx+c=0\) avec \( a \neq 0\) admet deux racines, leur somme \(S\) et leur produit \(P\) vérifient \(S=-\frac{b}{a}\) et \(P=\frac{c}{a}\).

Démonstration:

i.   Si \(\Delta=0\), les deux racines sont confondues et on a \(x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}\) donc \(S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\).
De plus, \(P=(-\frac{b}{2a})\times(-\frac{b}{2a})=\frac{b^{2}}{4a^{2}}=\frac{c}{a}\).
ii  Si \(\Delta>0\), les deux racines sont distinctes avec \(x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\).
Ainsi, \(S=x_{1}+x_{2}=-\frac{2b}{2a}=-\frac{b}{a}\) et \(P=x_{1}x_{2}=\frac{b^{2}-\Delta}{4a^{2}}\). Puisque \(\Delta=b^{2}-4ac\), on a  \(P=\frac{4ac}{4a^{2}}=\frac{c}{a}\).

Application:

a) Résoudre une équation du second degré lorsqu’une solution est évidente