0 – Introduction à la Logique

cours pdf

 

 

  • Implication- Equivalence.

 

1°) Proposition.

 

Définition 1.   On appelle proposition mathématique, une phrase ou un énoncé qui peut être vrai ou faux dans le cadre d’une théorie.

 

Exemple 1.

  •  « 1000>10 » est un énoncé vrai.
  • « 1000 est impair » est faux.
  • « 1000 est un grand nombre » ne veut rien dire car « grand » par rapport à quoi ?

 

2°) Implication.

 

Définition 2.   On dit que la proposition (P) implique la proposition (Q) et on note \(\left( P \right) \Rightarrow \left( Q \right)\), pour signifier que lorsque \(\left( P \right)\) est vraie, alors \(\left( Q \right)\) l’est aussi.

 

Remarque.

  • \(\left( P \right)\) s’appelle l’hypothèse et \(\left( Q \right)\) la conclusion.
  •  On dit aussi que \(\left( Q \right)\) est une conséquence de \(\left( P \right)\).
  • \(\left( P \right)\) est une condition suffisante pour \(\left( Q \right)\) et \(\left( Q \right)\) est une condition nécessaire pour \(\left( P \right)\) ce qui signifie qu’il faut que \(\left( Q \right)\) soit vraie pour que \(\left( P \right)\) le soit.

 

Exemples

  • Si (j’habite à Paris) alors (j’habite en France).

Il est nécessaire d’habiter en France pour habiter Paris ou bien encore, il est suffisant d’habiter Paris pour habiter en France.

  • Si \(\left( {x = 2} \right)\) alors \(\left( {{x^2} = 4} \right)\).
  • Si \(\left( {\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} } \right)\) alors (ABCD est un parallélogramme).

 

3°) Implication réciproque.

 

Définition 3.   Soit l’implication \(\left( P \right) \Rightarrow \left( Q \right)\) ; alors l’implication \(\left( Q \right) \Rightarrow \left( P \right)\) est appelée implication réciproque de la proposition \(\left( P \right) \Rightarrow \left( Q \right)\).

 

Exemple.

L’implication réciproque de si \(\left( {\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} } \right)\) alors (ABCD est un parallélogramme) est si (ABCD est un parallélogramme) alors \(\left( {\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} } \right)\).

Attention.        La réciproque d’une implication n’est pas toujours vraie.

  • En reprenant l’exemple de la proposition [Si (j’habite à Paris) alors (j’habite en France)], la réciproque qui est [Si (j’habite en France) alors (j’habite à Paris)] est fausse (on peut habiter en France sans habiter Paris).
  • Prenons comme implication : (L’entier naturel n est divisible par 6)Þ (l’entier naturel est divisible par 3) elle est vraie, mais (l’entier naturel est divisible par 3) Þ (L’entier naturel n est divisible par 6) est fausse. En effet 15 est divisible par 3 mais n’est pas divisible par 6.

 

Remarque. On vient de trouver un contre-exemple à notre proposition ; ainsi, lorsqu’on suppose qu’une proposition mathématique est fausse, on se doit d’exhiber un contre-exemple.

 

4°) Equivalence.

 

Définition 4. On dit que deux propositions \(\left( P \right)\) et \(\left( Q \right)\) sont équivalentes lorsque l’on a simultanément : \(\left[ {\left( P \right) \Rightarrow \left( Q \right)} \right]\) et \(\left[ {\left( Q \right) \Rightarrow \left( P \right)} \right]\). On note alors \(\left( P \right) \Leftrightarrow \left( Q \right)\).

 

Remarques.

  • On dit que [\(\left( P \right)\) équivaut à \(\left( Q \right)\)] ou bien encore que [\(\left( P \right)\) si et seulement si \(\left( Q \right)\)].
  • On dit que \(\left( P \right)\) (respectivement \(\left( Q \right)\)) est une condition nécessaire et suffisante pour \(\left( Q \right)\) (respectivement \(\left( P \right)\)).
  • Ne jamais utiliser les symboles Þ et Û dans un texte en français. Le premier a le sens de « donc » et non pas d’ « alors ».

 

Exemple.

(ABC est un triangle équilatéral) Û (\(\hat A = \hat B = \hat C = 60^\circ \)).

(J’habite le département 94) si et seulement si (j’habite le val de Marne).

 

  • Conjonction – Disjonction.

 

1°) « Et » ; « Ou ».

 

Définition 1 de la conjonction « et ».

Si (P) et (Q) sont deux propositions, leur conjonction est la proposition notée (P et Q) qui est vraie si et seulement si les deux propositions (P) et (Q) sont toutes les deux vraies.

 

Exemples.

  • « 1000>10 » et « 1000 est un entier pair » est vraie.
  • « j’habite à Brest » et « j’habite à Marseille » est fausse.
  • « Le triangle ABC est équilatéral » et « l’angle \(B\hat AC\) mesure 60 degré » est fausse.

 

Définition 2 de la disjonction « ou ».

Si (P) et (Q) sont deux propositions, leur disjonction est la proposition notée (P ou Q) qui est vraie si et seulement si l’une au moins des deux propositions (P) ou (Q) est vraie.

 

Exemples.

  • « 1000>10 » ou « 1000 est un entier pair) est une proposition vraie.
  • « 1000\( \le \)10 » ou « 1000 est impair » est une proposition fausse.
  • Si a et b sont deux réels, \(\left( {{a^2} + {b^2} = 0} \right) \Leftrightarrow \left( {a = 0{\rm{ \ et \ }}b = 0} \right)\) est une proposition vraie.
  • Si a et b sont deux réels, \(\left( {ab = 0} \right) \Leftrightarrow \left( {a = 0{\rm{  \ ou \  }}b = 0} \right) \Leftrightarrow \left[ {\left( {a = 0{\rm{ \ et \ }}b \ne 0} \right){\rm{ \ ou \ }}\left( {a \ne 0{\rm{ \ et \ }}b = 0} \right){\rm{ \ ou \ }}\left( {a = 0{\rm{ \ et \ }}b = 0} \right)} \right]\)