8 – Généralités sur les fonctions

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I- Fonctions et courbes représentatives.

1°) Relation fonctionnelle ou fonction.

Définition 1.

On appelle relation fonctionnelle d’un ensemble E vers un ensemble F, ou fonction de E vers F, toute relation qui à chaque élément de E associe au plus un élément de F.
Lorsque l’élément x de E est lié à l’élément y de F par une fonction f, on note :
\( \begin{array}{*{20}{c}} {f:} & {E\to } & F \\ {} & {x\mapsto } & {f\left( x \right)} \end{array}\)

  • le nombre \( f\left( x \right)\) est noté aussi y et appelé l’image de x par f.
  • x est appelé un antécédent de y.
  • L’ensemble E est appelé ensemble de départ ou source.
  • L’ensemble F est appelé ensemble d’arrivée ou but.

Définition 2.

On appelle ensemble de définition d’une fonction f de E vers F, l’ensemble noté \( {{D}_{f}}\), constitué des éléments de E pour lesquels \( f\left( x \right)\) existe.
On le note aussi : \( {{D}_{f}}=\left\{ {x\in E:f\left( x \right)\text{ existe}} \right\}\).

Exemple.  

Prenons E=F=IR.
La fonction \( f:x\mapsto x+\frac{1}{{x-1}}\) est définie si et seulement si \( x\ne 1\).
L’ensemble de définition est \( {{D}_{f}}=\left] {-\infty ;1} \right[\cup \left] {1;+\infty } \right[\).
Comme 4 est un élément de Df, on peut en calculer son image par f, ce qui donne : \( f\left( 4 \right)=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\) ; \( \frac{7}{3}\) est l’image de 4 par f.
Déterminons un antécédent de 5. On résout l’équation \( x+\frac{1}{{x-1}}=5\) avec \( x\ne 1\) qui est équivalente à \( {{x}^{2}}-6x+6=0\) et fournit les deux valeurs \( x=3+\sqrt{3}\) et \( 3-\sqrt{3}\) toutes deux distinctes de 1 et qui sont donc des antécédents de 5.

Définition 3.

Lorsque l’ensemble de définition est l’ensemble de départ E tout entier, on dit que f est une application de E vers F.
(Tous les éléments de E ont une image et une seule par f).

2°) Fonction numérique d’une variable réelle.

Définition 4.

Lorsque dans la définition 1, \( E=F=\mathbb R\), on dit que f est une fonction numérique de la variable réelle x.

3°) Courbe représentative d’une fonction.

Définition 5.

On suppose le plan rapporté à un repère orthonormal \( \left( {O;\overset{\to }{\mathop{i}}\,;\overset{\to }{\mathop{j}}\,} \right)\) et soit f une fonction définie sur une partie \( I\) de \(\mathbb R\) à valeurs dans \( \mathbb R\).
On appelle courbe représentative de la fonction f l’ensemble des points M du plan de coordonnées \( \left( {x;y} \right)\) tel que :\( \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x\in I} \\ {y=f\left( x \right)} \end{array}} \right.\).
On dit que \( y=f(x)\) est une équation de la courbe représentative de la fonction f, notée \( {{C}_{f}}\).

Remarque.

Cette définition fournit un critère d’appartenance d’un point à une courbe \( {{C}_{f}}\)
\( M\left( {x;y} \right)\in {{C}_{f}}\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x\in {{D}_{f}}} \\ {y=f\left( x \right)} \end{array}} \right.\).

Exemple :

  • La courbe représentative de la fonction :\( x\mapsto 2x+1\) est la courbe d’équation \( y=2x+1\) et cette courbe s’appelle une droite.
  • La courbe représentative de la fonction :\( x\mapsto -3{{x}^{2}}+x-1\) est la courbe d’équation \( y=-3{{x}^{2}}+x+1\) et cette courbe s’appelle une parabole.
  • La courbe représentative de la fonction \( f:x\mapsto \frac{1}{x}\) est la courbe d’équation \( y=\frac{1}{x}\) et s’appelle une hyperbole.

II- Parité – Périodicité.

1°) Fonction paire, fonction impaire.

Définition 1.

Soit f une fonction définie sur une partie I de \(\mathb R\) centrée en 0 et soit \( {{C}_{f}}\) sa courbe représentative sur I.

  1. On dit que f est une fonction paire sur I si et seulement si\( \forall x\in I\),\( \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x\in I\Rightarrow \text{ }-x\in I} \\ {f\left( {-x} \right)=f\left( x \right)} \end{array}} \right.\). Ce qui revient à dire que l’axe \( \left( {Oy} \right)\) est un axe de symétrie pour \( {{C}_{f}}\) dans un repère orthogonal.
  2. On dit que f est une fonction paire sur I si et seulement si\( \forall x\in I\),\( \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x\in I\Rightarrow \text{ }-x\in I} \\ {f\left( {-x} \right)=-f\left( x \right)} \end{array}} \right.\)C. Ce qui revient à dire que le point \( O\left( {0;0} \right)\) est un centre de symétrie pour \( {{C}_{f}}\) dans un repère orthogonal.

Exemples.

Fonction paire Fonction impaire
 chap 9 image 1  chap 9 image 2

Exercice.

Etudier la parité des fonctions suivantes :
a- \( f:x\mapsto {{x}^{3}}\)
b- \( f:x\mapsto \cos x\)
c- \( f:x\mapsto \sin x\)
d- \( f:x\mapsto {{x}^{2}}-x\)

Chacune de ces fonctions est définie sur \(\mathbb R\) qui est un intervalle centré en O donc pour \( x\in \mathbb R\) on a bien \( -x\in \mathbb R\).
a- \( f\left( {-x} \right)={{\left( {-x} \right)}^{3}}=-{{x}^{3}}=-f\left( x \right)\) donc f est une fonction impaire sur \( \mathbb R\).
b- \( f\left( {-x} \right)=\cos \left( {-x} \right)=\cos x=f(x)\)  donc f est une fonction paire sur \( \mathbb R\).
c- \( f\left( {-x} \right)=\sin \left( {-x} \right)=-\sin x=-f(x)\) donc f est une fonction impaire sur \( \mathbb R\).
d- Remarquons que \( f\left( 2 \right)=4-2=2\) et \( f\left( {-2} \right)=4+2=6\) Comme \( f\left( 2 \right)\ne f\left( {-2} \right)\) ou \( f\left( {-2} \right)\ne -f\left( 2 \right)\), la fonction f n’est ni paire ni impaire.
Il existe donc des fonctions paires, impaires, paire et impaire et ni paire ni impaire !

Remarque.

Soit \( a\in \mathbb R_{+}^{*}\) et f une fonction définie sur l’intervalle \( I=\left[ {-a;a} \right]\). Lorsque f est une fonction paire ou impaire, on peut limiter l’étude de la fonction f à l’intervalle \( \left[ {0;a} \right]\) et achever l’étude de f par une symétrie convenable.

2°) Fonction périodique.

Définition 2.

Soit f une fonction définie sur une partie I de \(\mathbb R\) et T un nombre réel non nul. On dit que f est périodique si il existe un nombre réel T non nul tel que :

  1. Pour tout nombre réel x de I, on a \( x+T\in I\)
  2. \( f\left( {x+T} \right)=f\left( x \right)\)

On prend comme période T, le plus petit nombre réel strictement positif vérifiant i et ii.

Remarque.

  • Lorsqu’une fonction est périodique de période T, sa courbe représentative est invariante par les translations de vecteurs \( T\overset{\to }{\mathop{i}}\,\), \( 2T\overset{\to }{\mathop{i}}\,\),…, \( kT\overset{\to }{\mathop{i}}\,\) avec \( k\in Z\).
  • La courbe est connue sur \(\mathbb R\) lorsqu’on connaît la courbe sur un intervalle de longueur T. Cela signifie que l’on peut restreindre l’étude de f à un intervalle de longueur T.

Exemples.

Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont périodiques de période \( 2\pi \).

\( y=\cos x\) \( y=\sin x\)
 chap 9 image 3  chap 9 image 4

Exercice.

Montrer que la fonction f définie ci-dessous est périodique de période T.

  • \( f\left( x \right)=\cos \left( {\frac{x}{3}} \right)\) avec \( T=6\pi \).
  • \( f\left( x \right)={{\sin }^{2}}x\) avec \( T=\pi \).
  • \( f\left( t \right)=\cos \left( {\omega t+\phi } \right)\) avec \( T=\frac{{2\pi }}{\omega }\), où \( \omega \) et j sont deux réels fixés avec \( \omega \ne 0\).

Exercice.

Parité et périodicité d’une fonction linéaire.
On considère une fonction f définie sur \(\mathbb R\) telle que :\( \forall \left( {x;y} \right)\in {{\mathbb R}^{2}}\), \( f\left( {x+y} \right)=f\left( x \right)+f\left( y \right)\).
1°) Montrer que \( f\left( 0 \right)=0\).
2°) Montrer que f est une fonction impaire sur \(\mathbb R\).
3°) Montrer que, dans le cas où la fonction f est périodique de période T, où \( T\in IR_{+}^{*}\), \( f\left( T \right)=0\).

Soit f une fonction définie sur \(\mathbb R\) par, pour tous réels x et y, \( f\left( {x+y} \right)=f\left( x \right)+f\left( y \right)\).
1°) En prenant en particulier\( x=y=0\), on a \( f\left( {0+0} \right)=f\left( 0 \right)+f\left( 0 \right)\) qui équivaut à \( f\left( 0 \right)=2f\left( 0 \right)\) ce qui donne \( f\left( 0 \right)=0\).
2°) Comme f est une fonction définie sur \(\mathbb  R\) qui est un intervalle symétrique par rapport à 0, si \( x\in \mathbb R\)alors on a aussi\( \left( {-x} \right)\in \mathbb R\).
Ainsi, en posant\( y=-x\) :
\( \left( {f\left( {x+\left( {-x} \right)} \right)=f\left( x \right)+f\left( {-x} \right)} \right)\Leftrightarrow \left( {f\left( 0 \right)=f\left( x \right)+f\left( {-x} \right)} \right)\Leftrightarrow \left( {0=f\left( x \right)+f\left( {-x} \right)} \right)\Leftrightarrow \left( {f\left( {-x} \right)=-f\left( x \right)} \right)\)ce qui montre que f est une fonction impaire sur \(\mathbb R \).
3°) Comme f est une fonction définie sur \(\mathbb R\),  si \( x\in \mathbb R\)alors on a aussi\( \left( {T+x} \right)\in \mathbb R\). De plus, par hypothèse f est périodique de période T donc, pour tout réel x, \( f\left( {T+x} \right)=f\left( x \right)\).

On a donc les deux relations suivantes :
\( \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\forall x\in \mathbb R} & {f\left( {x+T} \right)=f\left( x \right)} \\ {\forall x\in \mathbb R} & {f\left( {x+T} \right)=f\left( x \right)+f\left( T \right)} \end{array}} \right.\)donc, \( \forall x\in \mathbb R\), \( \left( {f\left( x \right)=f\left( x \right)+f\left( T \right)} \right)\Leftrightarrow f\left( T \right)=0\).
Si f est une fonction périodique de période T alors\( f\left( T \right)=0\).

III- Comparaison des fonctions.

1°) Egalité et restriction.

Définition 1.

Soit f et g deux fonctions de domaines de définition respectifs \( {{D}_{f}}\) et \( {{D}_{g}}\). On dit que f et g sont égales et on écrit \( f=g\) si.

i- \( {{D}_{f}}={{D}_{g}}\) ;

ii- \( \forall x\in {{D}_{f}}\), \( f\left( x \right)=g\left( x \right)\).

 

Remarque. Graphiquement, cela signifie que \( {{C}_{f}}\) et \( {{C}_{g}}\) sont confondues.

 

Exemple.

Soit f et g les deux fonctions de IR vers IR définies respectivement par \( f\left( x \right)=x-3\)et\( g\left( x \right)=\frac{{{{x}^{2}}-9}}{{x+3}}\).

On a f qui est une fonction polynomiale donc\( {{D}_{f}}=IR\) ;

g est une fonction quotient qui existe si et seulement si\( x+3\ne 0\)c’est à dire\( x\ne -3\)d’où \( {{D}_{g}}=IR-\left\{ {-3} \right\}\).

Comme\( {{D}_{f}}\ne {{D}_{g}}\)alors on peut conclure que\( f\ne g\).

Remarquons toutefois que, \( \forall x\in {{D}_{g}}\), \( g\left( x \right)=\frac{{{{x}^{2}}-9}}{{x+3}}=\frac{{\left( {x+3} \right)\left( {x-3} \right)}}{{x+3}}=x-3\). On a donc, \( \forall x\in {{D}_{g}}\), \( f\left( x \right)=g\left( x \right)\)mais cela ne suffit pas pour avoir\( f=g\)car\( {{D}_{f}}\ne {{D}_{g}}\).

 

Remarque.

Cet exemple montre combien il est important de commencer toujours par déterminer les ensembles de définition des fonctions étudiées et surtout de ne pas effectuer de simplification avant d’avoir déterminé l’ensemble de définition.

De plus, dans l’exemple précédent, bien que l’on ait pu écrire \( g\left( x \right)\)sous la forme \( g\left( x \right)=x-3\), la fonction g n’en reste pas moins définie sur\( IR-\left\{ {-3} \right\}\).

 

 

Définition 2.   Soit f et g deux fonctions de domaines de définition respectifs \( {{D}_{f}}\) et \( {{D}_{g}}\). On dit que g est une restriction de f et on note \( g={{\left. f \right|}_{{{{D}_{g}}}}}\) si :

i- \( {{D}_{f}}\subset {{D}_{g}}\).

ii- \( \forall x\in {{D}_{g}}\) :\( f\left( x \right)=g\left( x \right)\).

 

Remarque. Graphiquement, cela signifie que \( {{C}_{f}}\) et \( {{C}_{g}}\) sont confondues sur \( {{D}_{g}}\).

 

Exemple. La fonction \( f\) définie sur \( I{{R}_{+}}\) par \( f\left( x \right)={{\sqrt{x}}^{2}}\)est une restriction de la fonction g définie sur IR par \( g\left( x \right)=\sqrt{{{{x}^{2}}}}\) car :

\( \forall x\in IR,\sqrt{{{{x}^{2}}}}=\left| x \right|\)      et         \( \forall x\in I{{R}_{+}},{{\left( {\sqrt{x}} \right)}^{2}}=x\).

 

 

 

2°) Inégalités entre deux fonctions.

 

  • Cas général.

 

Définition 3.   Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle I inclus dans \( {{D}_{f}}\cap {{D}_{g}}\).

i-                    On dit que f est supérieure à g sur I ou que f majore g sur I et on note \( f\ge g\) lorsque \( \forall x\in I\) :\( f\left( x \right)\ge g\left( x \right)\). On dit que f est une majorante de g sur I.

ii-                  On dit que f est inférieure à g sur I ou que f minore g sur I et on note \( f\le g\) lorsque \( \forall x\in I\) :\( f\left( x \right)\le g\left( x \right)\). On dit que f est une minorante de g sur I.

 

Interprétation graphique.

Dans le cas i- cela signifie que dans un repère orthonormal \( \left( {O;\overset{\to }{\mathop{i}}\,;\overset{\to }{\mathop{j}}\,} \right)\), \( {{C}_{f}}\) est au dessus de \( {{C}_{g}}\) sur I.

 

Exemple. Soit \( f:x\mapsto x\) et \( g:x\mapsto \frac{1}{x}\). On a \( {{D}_{f}}=IR\) et \( {{D}_{g}}=\left] {-\infty ;0} \right[\cup \left] {0;+\infty } \right[\).

Etudier la position de \( {{C}_{f}}\) par rapport à \( {{C}_{g}}\) sur \( \left[ {1;+\infty } \right[\).

Soit . On a \( f\left( x \right)-g\left( x \right)=x-\frac{1}{x}=\frac{{{{x}^{2}}-1}}{x}=\frac{{\left( {x-1} \right)\left( {x+1} \right)}}{x}\)

 

x 1         +¥
x-1 +
x+1 +
x +
f(x)-g(x) +
On en déduit que sur \( \left[ {1;+\infty } \right[\) \( f\left( x \right)\ge g\left( x \right)\) ce qui signifie que \( {{C}_{f}}\) est au dessus de \( {{C}_{g}}\).

 

 

Propriétés.

i- \( \forall x\in \left[ {0;1} \right]\), \( \forall n\in IN\) :\( 0\le {{x}^{n}}\le \cdots \le {{x}^{3}}\le {{x}^{2}}\le x\le \sqrt{x}\le 1\).

ii- \( \forall x\in \left[ {1;+\infty } \right[\), \( \forall n\in IN\) :\( 1\le \sqrt{x}\le x\le {{x}^{2}}\le \cdots \le {{x}^{n}}\).

FAIRE LA DEM.

 

 

  • Cas particuliers : fonctions positives, fonctions bornées.

 

Définition 4.   On dit que f est positive sur un intervalle I inclus dans \( {{D}_{f}}\), et on note \( f\ge 0\) sur I si :\( \forall x\in I\), \( f\left( x \right)\ge 0\).

 

Interprétation graphique. Cela signifie que sur I, \( {{C}_{f}}\) est au dessus de l’axe des abscisses.

 

Définition 5.  

i-                    On dit que f est minorée sur un intervalle I inclus dans \( {{D}_{f}}\), s’il existe un réel m tel que :\( \forall x\in I\), \( m\le f\left( x \right)\).

ii-                  On dit que f est majorée sur un intervalle I inclus dans \( {{D}_{f}}\), s’il existe un réel M tel que :\( \forall x\in I\), \( f\left( x \right)\le M\).

iii-                On dit que f est bornée sur I si et seulement si f est à la fois minorée et majorée.

Graphiquement,

  • signifie que \( {{C}_{f}}\) est au dessus de la droite d’équation \( y=m\).
  • signifie que \( {{C}_{f}}\) est en dessous de la droite d’équation \( y=M\).
  • signifie que \( {{C}_{f}}\) est comprise entre les droites d’équation \( y=m\) et \( y=M\).

 

 

Remarque. m s’appelle un minorant de f sur I et M un majorant.

 

 

Exemple. La fonction \( f:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {1;+\infty } \right[\to I{{R}_{+}}} \\ {x\mapsto \frac{1}{x}} \end{array}} \right.\) est bornée sur \( \left[ {1;+\infty } \right[\) car pour tout réel \( x\ge 1\), on a \( 0<\frac{1}{x}\le 1\). Donc \( {{C}_{f}}\) sur \( \left[ {1;+\infty } \right[\) est comprise entre l’axe des abscisses et la droite d’équation \( y=1\).

 

 

 

 

 

  • Variations des fonctions.

 

1°) Fonction croissante, décroissante.

 

Définition 1.   Soit f une fonction définie sur un intervalle I inclus dans \( {{D}_{f}}\). On dit que :

i-                    f est croissante sur I si et seulement si \( \forall \left( {x;y} \right)\in {{I}^{2}}\) : \( x<y\Rightarrow f\left( x \right)\le f\left( y \right)\).

ii-                  f est décroissante sur I si et seulement si \( \forall \left( {x;y} \right)\in {{I}^{2}}\) : \( x<y\Rightarrow f\left( x \right)\ge f\left( y \right)\).

iii-                f est constante sur I si et seulement si \( \forall \left( {x;y} \right)\in {{I}^{2}}\) : \( f\left( x \right)=f\left( y \right)\).

 

 

Remarque.

Le symbole :   «  » » qui est le quantificateur universel est lu « pour tout ».

Le connecteur logique : « Þ » signifie « implique » et ne remplace pas un « donc » !

Lorsque dans i) et ii) les inégalités (après l’implication) sont strictes, on dit que f est strictement croissante (resp. décroissante).

On prendra garde qu’un intervalle de IR est une partie « sans trou » de IR (ce qui exclu en général le symbole union « È » car la réunion de deux intervalles n’est en général pas un intervalle).

 

Définition 2.  

i-                    On dit que f est monotone sur l’intervalle I si f est croissante ou décroissante sur I.

ii-                  On dit que f est strictement monotone sur l’intervalle I si f est strictement croissante ou strictement décroissante sur I.

iii-                On appelle intervalles de monotonie, les intervalles sur lesquels f est monotone. Les résultats sont alors consignés dans un tableau dit de variation(s).

 

 

 

2°) Etude des variations de quelques fonctions usuelles.

 

  1. La fonction carrée.

 

Définition.      On appelle fonction carrée, la fonction définie sur IR par \( f\left( x \right)={{x}^{2}}\).

 

 

Théorème.

La fonction \( f:x\mapsto {{x}^{2}}\) est :

i-                    strictement croissante sur \( \left[ {0;+\infty } \right[\),

ii-                  strictement décroissante sur \( \left] {-\infty ;0} \right]\).

 

Démonstration.

On va utiliser la définition de la monotonie.

Soit \( \left( {x;y} \right)\in I{{R}^{2}}\)avec \( x<y\) c’est à dire \( x-y<0\). On a \( f\left( x \right)-f\left( y \right)={{x}^{2}}-{{y}^{2}}=\left( {x-y} \right)\left( {x+y} \right)\).

  • Si \( \left( {x;y} \right)\in {{\left( {\left[ {0;+\infty } \right[} \right)}^{2}}\) avec \( x<y\), cela signifie que \( x+y>0\) donc \( f\left( x \right)-f\left( y \right)<0\) soit encore \( f\left( x \right)<f\left( y \right)\) et donc f est croissante sur \( \left[ {0;+\infty } \right[\).
  • Si \( \left( {x;y} \right)\in {{\left( {\left] {-\infty ;0} \right]} \right)}^{2}}\) avec \( x<y\), cela signifie que \( x+y<0\) donc \( f\left( x \right)-f\left( y \right)>0\) soit encore \( f\left( x \right)>f\left( y \right)\) et donc f est décroissante sur\( \left] {-\infty ;0} \right]\).

 

Propriétés.

  • La courbe représentative de la fonction f s’appelle une parabole, son équation est \( y={{x}^{2}}\), elle admet le point \( O\left( {0;0} \right)\) comme sommet.
  • Dans un repère orthogonal, l’axe des ordonnées est un axe de symétrie (f est paire).

 

Remarque.

Lorsque la fonction se présente sous la forme \( f\left( x \right)=a{{x}^{2}}\), avec \( a\ne 0\), c’est le signe de a qui donne la concavité de la courbe représentative de la fonction f.

  • Si \( a>0\), on dit que la parabole tourne sa concavité vers les ordonnées positives,
  • Si \( a<0\), la parabole tourne sa concavité vers les ordonnées négatives.

 

  1. La fonction inverse.

 

Définition.      On appelle fonction inverse la fonction définie sur \( \left] {-\infty ;0} \right[\cup \left] {0;+\infty } \right[\) par \( f\left( x \right)=\frac{1}{x}\).

 

Théorème.     La fonction inverse est :

i-                    Impaire sur \( \left] {-\infty ;0} \right[\cup \left] {0;+\infty } \right[\),

ii-                  Décroissante sur chacun des intervalles \( \left] {-\infty ;0} \right[\text{ et }\left] {0;+\infty } \right[\),

 

Démonstration.

  • Soit \( x\in \)\( \left] {-\infty ;0} \right[\cup \left] {0;+\infty } \right[\). Comme ce domaine est symétrique par rapport à O, \( -x\in \)\( \left] {-\infty ;0} \right[\cup \left] {0;+\infty } \right[\). On a ainsi, \( f\left( {-x} \right)=\frac{1}{{-x}}=-\frac{1}{x}=-f\left( x \right)\) donc f est une fonction impaire sur \( \left] {-\infty ;0} \right[\cup \left] {0;+\infty } \right[\) et cela signifie que sa courbe représentative admet le point \( O\left( {0;0} \right)\) comme centre de symétrie ;
  • Soit \( \left( {x;y} \right)\in {{\left( {I{{R}^{*}}} \right)}^{2}}\) avec \( x<y\) ce qui donne \( y-x>0\). \( f\left( x \right)-f\left( y \right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{{y-x}}{{xy}}\).
  • Si \( \left( {x;y} \right)\in {{\left( {\left] {-\infty ;0} \right[} \right)}^{2}}\) alors \( xy>0\) et donc \( f\left( x \right)-f\left( y \right)>0\) ce qui donne \( f\left( x \right)>f\left( y \right)\) ce qui prouve que f est strictement décroissante sur\( \left] {-\infty ;0} \right[\).
  • Si \( \left( {x;y} \right)\in {{\left( {\left] {0;+\infty } \right[} \right)}^{2}}\) alors \( xy>0\) et donc \( f\left( x \right)-f\left( y \right)>0\) ce qui donne \( f\left( x \right)>f\left( y \right)\) ce qui prouve que f est strictement décroissante sur \( \left] {0;+\infty } \right[\).

 

Propriétés.

i-                    La courbe représentative de la fonction f s’appelle une hyperbole. Son équation est \( y=\frac{1}{x}\) dans un repère orthogonal.

ii-                  Le point \( O\left( {0;0} \right)\) est centre de symétrie pour la courbe.

 

 

  1. La fonction racine carrée.

 

Définition.      On appelle fonction racine carrée la fonction définie sur \( \left[ {0;+\infty } \right[\) par \( f\left( x \right)=\sqrt{x}\).

 

Théorème.     La fonction racine carrée est strictement croissante sur\( \left[ {0;+\infty } \right[\).

 

Démonstration.

Soit\( \left( {x;y} \right)\in {{\left( {\left[ {0;+\infty } \right[} \right)}^{2}}\)avec \( x<y\). On a :

\( f\left( x \right)-f\left( y \right)=\sqrt{x}-\sqrt{y}=\left( {\sqrt{x}-\sqrt{y}} \right)\times \frac{{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}{{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}=\frac{{x-y}}{{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}\).

Or, \( \left( {x<y} \right)\Leftrightarrow \left( {x-y<0} \right)\) et \( \sqrt{x}+\sqrt{y}>0\)donc\( \frac{{x-y}}{{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}<0\) ainsi,

pour tout \( \left( {x;y} \right)\in {{\left( {\left[ {0;+\infty } \right[} \right)}^{2}}\), \( \left( {x<y} \right)\Rightarrow \left( {f\left( x \right)<f\left( y \right)} \right)\) ce qui prouve que f est strictement croissante sur\( \left[ {0;+\infty } \right[\).

 

Remarque.

Dans un repère orthogonal, la représentation graphique de la fonction f a pour équation\( y=\sqrt{x}\).

 

 

  1. La fonction valeur absolue.

 

Définition.      On appelle fonction racine carrée la fonction définie sur IR par \( f\left( x \right)=\left| x \right|=\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} x & {\text{si}} & {x\in \left[ {0;+\infty } \right[} \\ {-x} & {\text{si}} & {x\in \left] {-\infty ;0} \right]} \end{array}} \right.\).

 

 

Théorème.     La fonction valeur absolue est

i-                    une fonction paire sur IR ;

ii-                  strictement croissante sur\( \left[ {0;+\infty } \right[\) et strictement décroissante sur\( \left] {-\infty ;0} \right]\)

 

Démonstration.

  • parité.

On a \( {{D}_{f}}=\left] {-\infty ;0} \right]\cup \left[ {0;+\infty } \right[=IR\) ; comme IR est un intervalle symétrique par rapport à 0, si \( x\in IR\)alors\( \left( {-x} \right)\in IR\).

On a \( f\left( {-x} \right)=\left| {-x} \right|=\left| {-1} \right|\times \left| x \right|=\left| x \right|=f\left( x \right)\)donc f est une fonction paire sur IR.

Soit\( x\in IR\).

Si \( x\ge 0\)alors\( f\left( x \right)=x\)qui est une fonction linéaire croissante donc f est croissante sur\( \left[ {0;+\infty } \right[\) ;

Si \( x\le 0\)alors\( f\left( x \right)=-x\)qui est une fonction linéaire décroissante donc f est décroissante sur\( \left] {-\infty ;0} \right]\).

 

Propriétés.

i-                    Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction f a pour équation\( y=\left| x \right|\).

ii-                  Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

 

 

 

3°) Taux de variations d’une fonction.

 

Définition 3.   Soit f une fonction définie sur un intervalle I inclus dans \( {{D}_{f}}\) et soit \( {{x}_{0}}\in I\). On appelle taux de variation de la fonction f, et on note \( {{\tau }_{f}}\left( x \right)\) le quotient défini par :

Pour tout réel\( x\in I\)avec \( {{x}_{0}}\ne x\):\( {{\tau }_{f}}\left( x \right)=\frac{{f\left( x \right)-f\left( {{{x}_{0}}} \right)}}{{x-{{x}_{0}}}}\).

 

Théorème.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. \( \forall \left( {x;{{x}_{0}}} \right)\in {{I}^{2}}\) avec \( x\ne {{x}_{0}}\) :

i-                    Si \( {{\tau }_{f}}\left( x \right)\ge 0\) alors f est croissante sur I.

ii-                  Si \( {{\tau }_{f}}\left( x \right)=0\) alors f est constante sur I.

iii-                Si \( {{\tau }_{f}}\left( x \right)\le 0\) alors f est décroissante sur I.

 

Exemple.

  • Numériques.

1) Prenons la fonction \( f:\begin{array}{*{20}{c}} {IR\to IR} \\ {x\mapsto 2x+1} \end{array}\).

f est une fonction polynôme (du premier degré) elle est donc définie sur IR : \( {{D}_{f}}=IR\).

Soit x et \( {{x}_{0}}\) deux réels (bien sur de \( {{D}_{f}}=IR\)).

On a (par définition 3) : \( f\left( x \right)-f\left( {{{x}_{0}}} \right)=\left( {2x+1} \right)-\left( {2{{x}_{0}}+1} \right)\)

=\( 2\left( {x-{{x}_{0}}} \right)\).

Pour \( x\ne {{x}_{0}}\), il vient \( {{\tau }_{f}}\left( x \right)=\frac{{f\left( x \right)-f\left( {{{x}_{0}}} \right)}}{{x-{{x}_{0}}}}\)\( =2\) ; or 2>0 donc f est croissante sur IR.

Ce résultat était évident car la fonction f est une fonction affine dont la monotonie est donnée par le signe du coefficient directeur.

 

Prenons la fonction \( f:\begin{array}{*{20}{c}} {IR\to IR} \\ {x\mapsto 2{{x}^{2}}-4x} \end{array}\).

f est une fonction polynôme (du second degré) donc est définie sur IR : \( {{D}_{f}}=IR\).

Considérons les deux intervalles \( {{I}_{1}}=\left] {-\infty ;1} \right]\) et \( {{I}_{2}}=\left[ {1;+\infty } \right[\).

  • Pour \( {{I}_{1}}=\left] {-\infty ;1} \right]\).

 

Soit x et \( {{x}_{0}}\) deux réels (bien sur de \( {{I}_{1}}=\left] {-\infty ;1} \right]\)).

On a (par définition 3) : \( f\left( x \right)-f\left( {{{x}_{0}}} \right)=\left( {2{{x}^{2}}-4x} \right)-\left( {2x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}} \right)\)

= \( 2\left( {{{x}^{2}}-x_{0}^{2}} \right)-4\left( {x-{{x}_{0}}} \right)\)

= \( \left( {x-{{x}_{0}}} \right)\left[ {2\left( {x+{{x}_{0}}} \right)-4} \right]\)

Pour \( x\ne {{x}_{0}}\), il vient \( {{\tau }_{f}}\left( x \right)=\frac{{f\left( x \right)-f\left( {{{x}_{0}}} \right)}}{{x-{{x}_{0}}}}\)\( =2\left( {x+{{x}_{0}}} \right)-4\).

Or, x et \( {{x}_{0}}\) sont deux réels de \( {{I}_{1}}=\left] {-\infty ;1} \right]\), donc \( x\le 1\) et \( {{x}_{0}}\le 1\) ce qui implique \( 2\left( {x+{{x}_{0}}} \right)\le 4\) ; par suite \( {{\tau }_{f}}\left( x \right)\le 0\) sur \( {{I}_{1}}=\left] {-\infty ;1} \right]\).

On en déduit que f est décroissante sur \( {{I}_{1}}=\left] {-\infty ;1} \right]\).

 

  • Pour \( {{I}_{2}}=\left[ {1;+\infty } \right[\). A faire en exercice.

Vous devez trouver que la fonction f est croissante sur \( {{I}_{2}}=\left[ {1;+\infty } \right[\).

 

Prenons la fonction \( f:\begin{array}{*{20}{c}} {IR\to IR} \\ {x\mapsto \frac{a}{x}} \end{array}\)     où a est un réel fixé.

La fonction f existe si et seulement si \( x\ne 0\) ainsi \( {{D}_{f}}=\left] {-\infty ;0} \right[\cup \left] {0;+\infty } \right[\).

Ici \( {{D}_{f}}\) n’est plus un intervalle car il y’a un « trou » en 0.

Considérons alors les deux intervalles \( {{I}_{1}}=\left] {-\infty ;0} \right[\) et \( {{I}_{2}}=\left] {0;+\infty } \right[\)

  • Sur \( {{I}_{1}}=\left] {-\infty ;0} \right[\).

Soit x et \( {{x}_{0}}\) deux réels de \( {{I}_{1}}=\left] {-\infty ;0} \right[\). Par définition (du taux de variation)

\( f\left( x \right)-f\left( {{{x}_{0}}} \right)=\frac{a}{x}-\frac{a}{{{{x}_{0}}}}=-\frac{{a\left( {x-{{x}_{0}}} \right)}}{{x{{x}_{0}}}}\) et pour \( x\ne {{x}_{0}}\) on a \( {{\tau }_{f}}\left( x \right)=-\frac{a}{{x{{x}_{0}}}}\)

et comme x et \( {{x}_{0}}\) sont dans \( {{I}_{1}}=\left] {-\infty ;0} \right[\) on a \( x{{x}_{0}}>0\) et donc \( {{\tau }_{f}}\left( x \right)\) est du signe de (-a).

 

  • Sur \( {{I}_{2}}=\left] {0;+\infty } \right[\) on obtient le même résultat

Suivant le signe de a, on a :

Si \( a<0\) alors \( {{\tau }_{f}}\left( x \right)>0\) et la fonction f est strictement croissante sur \( \left] {-\infty ;0} \right[\) et sur \( \left] {0;+\infty } \right[\) (mais, surtout, ne pas mettre le symbole union entre les deux intervalles car leur réunion n’est pas un intervalle).

Si \( a>0\) alors \( {{\tau }_{f}}\left( x \right)>0\) et la fonction f est strictement décroissante sur \( \left] {-\infty ;0} \right[\) et sur \( \left] {0;+\infty } \right[\).

Tracer avec votre calculatrice des exemples où a=1 (classique), a=-1 et constater !

 

  • Théoriques.
    • Prenons \( f\left( x \right)=ax+b\) avec a et b deux réels.

\( {{D}_{f}}=IR\). Soit \( {{x}_{0}}\in IR\). Pour \( x\ne {{x}_{0}}\), on a :

\( {{\tau }_{f}}\left( x \right)=\frac{{f\left( x \right)-f\left( {{{x}_{0}}} \right)}}{{x-{{x}_{0}}}}=\frac{{\left( {ax+b} \right)-\left( {a{{x}_{0}}+b} \right)}}{{x-{{x}_{0}}}}=\frac{{a\left( {x-{{x}_{0}}} \right)}}{{x-{{x}_{0}}}}=a\).

Si \( a>0\) alors f est strictement croissante sur IR.

Si \( a=0\) alors f est constante sur IR.

Si \( a<0\) alors f est décroissante sur IR.

On retrouve que la représentation graphique de la fonction f est une droite dont la monotonie dépend du coefficient directeur a.

 

  • \( f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\) où a, b et c sont trois nombres réels avec \( a\ne 0\).

On a \( {{D}_{f}}=IR\). Soit \( {{x}_{0}}\in IR\). Pour \( x\ne {{x}_{0}}\), on a :

\( {{\tau }_{f}}\left( x \right)=\frac{{f\left( x \right)-f\left( {{{x}_{0}}} \right)}}{{x-{{x}_{0}}}}=\frac{{\left( {a{{x}^{2}}+bx+c} \right)-\left( {ax_{0}^{2}+b{{x}_{0}}+c} \right)}}{{x-{{x}_{0}}}}=\frac{{a\left( {{{x}^{2}}-x_{0}^{2}} \right)+b\left( {x-{{x}_{0}}} \right)}}{{x-{{x}_{0}}}}\)

\( =\frac{{a\left( {x-{{x}_{0}}} \right)\left( {x+{{x}_{0}}} \right)+b\left( {x-{{x}_{0}}} \right)}}{{x-{{x}_{0}}}}=a\left( {x+{{x}_{0}}} \right)+b\).

Si x et \( {{x}_{0}}\) sont dans \( \left] {-\infty ;-\frac{b}{{2a}}} \right]\) avec \( x<{{x}_{0}}\).

On a \( x\le -\frac{b}{{2a}}\) et \( {{x}_{0}}\le -\frac{b}{{2a}}\) d’où \( x+{{x}_{0}}\le -\frac{b}{a}\)

\( \therefore \)      Si \( a>0\) alors \( a\left( {x+{{x}_{0}}} \right)+b\le 0\) et donc d’après le théorème f est décroissante sur \( \left] {-\infty ;-\frac{b}{{2a}}} \right]\).

\( \therefore \)      Si \( a<0\) alors \( a\left( {x+{{x}_{0}}} \right)+b\ge 0\) et donc d’après le théorème f est décroissante sur \( \left] {-\infty ;-\frac{b}{{2a}}} \right]\).

Si x et \( {{x}_{0}}\) sont dans \( \left[ {-\frac{b}{{2a}};+\infty } \right[\) on procède de même.

La représentation graphique de la fonction f s’appelle une parabole.

 

 

3°) Panorama des fonctions usuelles.

 

1°) \( y=a{{x}^{2}}\)où \( a\in IR_{+}^{*}\).

\( a<0\) \( a>0\)

 

2°) \( y=\frac{a}{x}\) où \( a\in IR_{+}^{*}\).

\( a<0\) \( a>0\)

 

3°) \( y=\sqrt{x}\)

4°) Maximum, minimum.

 

Définition 4.   Soit f une fonction définie sur un intervalle I du domaine de définition \( {{D}_{f}}\) et soit \( {{x}_{0}}\in I\). On dit que :

i-                    f admet un maximum en \( {{x}_{0}}\) sur I si et seulement si \( \forall x\in I:f\left( x \right)\le f\left( {{{x}_{0}}} \right)\) ; ce maximum vaut alors \( f\left( {{{x}_{0}}} \right)\).

ii-                  f admet un minimum en \( {{x}_{0}}\) sur I si et seulement si \( \forall x\in I:f\left( x \right)\ge f\left( {{{x}_{0}}} \right)\) ; ce minimum vaut alors \( f\left( {{{x}_{0}}} \right)\).

iii-                On appelle extremum de f sur I un maximum ou un minimum de f sur I.

 

 

Exemple. \( f\left( x \right)={{x}^{2}}\) est définie sur IR et admet un minimum en \( {{x}_{0}}=0\) qui vaut \( f\left( 0 \right)=0\).

Remarque. Montrer que M est un maximum de f sur I, revient à étudier le signe de la différence \( f\left( x \right)-M\) et à montrer qu’elle est négative.

 

Montrer que la fonction \( f:x\mapsto {{x}^{2}}-2x+4\) admet un minimum égal à 3 sur IR.

D’après la remarque, soit xÎIR :        \( f\left( x \right)-3={{x}^{2}}-2x+1={{\left( {x-1} \right)}^{2}}\ge 0\) donc pour tout réel x, on a \( f\left( x \right)\ge 3\) ; attention, cela fait du réel 3 un minorant de f(x) sur IR mais pas encore un minimum.

Si maintenant il existe un réel x tel que l’égalité \( f\left( x \right)=3\) est vérifiée alors 3 sera bien le minimum de f sur IR.

Or \( f\left( x \right)=3\) donne x=1, ainsi en x=1, f admet comme minimum 3.

 

 

 

 

  • Opérations algébriques sur les fonctions.

 

1°) Somme et produit de deux fonctions.

 

 

Définition 1.   Soit f et g deux fonctions de domaines de définition respectifs \( {{D}_{f}}\) et \( {{D}_{g}}\).

i-                    On appelle somme des fonctions f et g et on note \( f+g\), la fonction définie par \( \forall x\in {{D}_{f}}\cap {{D}_{g}}\), \( \left( {f+g} \right)\left( x \right)=f\left( x \right)+g\left( x \right)\).

ii-                  On appelle produit des fonctions f et g et on note \( fg\), la fonction définie par \( \forall x\in {{D}_{f}}\cap {{D}_{g}}\), \( \left( {fg} \right)\left( x \right)=f\left( x \right)\times g\left( x \right)\).

iii-                Soit \( \lambda \in IR\). On définit la fonction \( \lambda \cdot f\) par \( \forall x\in {{D}_{f}}\), \( \left( {\lambda \cdot f} \right)\left( x \right)=\lambda \times f\left( x \right)\).

 

 

Exemple.

Soit \( f:x\mapsto 2x+1\) et \( g:x\mapsto \sqrt{x}\). \( {{D}_{f}}=IR\) et \( {{D}_{g}}=I{{R}_{+}}\). Donc \( f+g\) est définie sur \( IR\cap I{{R}_{+}}=I{{R}_{+}}\) par \( \left( {f+g} \right)\left( x \right)=f\left( x \right)+g\left( x \right)=2x+1+\sqrt{x}\).

 

2°) Différence, inverse et quotient de deux fonctions.

 

 

Définition 2.   Soit f et g deux fonctions de domaines de définition respectifs \( {{D}_{f}}\) et \( {{D}_{g}}\).

i-                    On appelle différence des fonctions f et g et on note \( f-g\), la fonction définie par \( \forall x\in {{D}_{f}}\cap {{D}_{g}}\), \( \left( {f-g} \right)\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)\).

ii-                  Si \( \forall x\in {{D}_{f}}\) : \( f\left( x \right)\ne 0\), on appelle inverse de la fonction f et on note \( \frac{1}{f}\), la fonction définie par \( \forall x\in {{D}_{f}}\) : \( \left( {\frac{1}{f}} \right)\left( x \right)=\frac{1}{{f\left( x \right)}}\).

iii-                Si \( \forall x\in {{D}_{f}}\cap {{D}_{g}}\) : \( g\left( x \right)\ne 0\), on définit le quotient de deux fonctions f et g et on note \( \left( {\frac{f}{g}} \right)\) par \( \forall x\in {{D}_{f}}\cap {{D}_{g}}\) : \( \left( {\frac{f}{g}} \right)\left( x \right)=\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\).

 

 

Exemple.

\( f\left( x \right)=2x+1\) et \( g\left( x \right)=\sqrt{x}\). On a \( {{D}_{f}}=IR\) et \( {{D}_{g}}=I{{R}_{+}}\). La fonction \( \left( {\frac{f}{g}} \right)\) sur \( IR_{+}^{*}\) par :

\( \frac{f}{g}\left( x \right)=\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}=\frac{{2x+1}}{{\sqrt{x}}}\).

 

 

 

3°) Composition des fonctions.

 

Définition de la notation \( g\circ f\).

Soit \( f\) une fonction définie de E vers F et g une fonction de F vers G. On appelle composée de f suivie de g et on note \( g\circ f\), lu g rond f , la fonction définie de E vers G par \( \forall x\in {{D}_{{g\circ f}}}\), \( \left( {g\circ f} \right)\left( x \right)=g\left[ {f\left( x \right)} \right]\).

 

Remarques.

  • Le domaine de définition de la fonction \( g\circ f\) est \( {{D}_{{g\circ f}}}=\left\{ {x\in {{D}_{f}};f\left( x \right)\in {{D}_{g}}} \right\}\).
  • On note aussi \( \begin{array}{*{20}{c}} E & {\overset{f}{\mathop{\to }}\,} & F & {\overset{g}{\mathop{\to }}\,} & G \end{array}\)

 

 

 

Propriété. La loi \( \circ \) est associative \( f\circ \left( {g\circ h} \right)=\left( {f\circ g} \right)\circ h\) mais n’est pas commutative en général puisque si \( f\left( x \right)=\cos x\) et \( g\left( x \right)={{x}^{2}}\), on a pour tout réel :

\( \left( {g\circ f} \right)\left( x \right)=g\left[ {f\left( x \right)} \right]=g\left( {\cos x} \right)={{\left( {\cos x} \right)}^{2}}={{\cos }^{2}}x\)

\( \left( {f\circ g} \right)\left( x \right)=f\left[ {g\left( x \right)} \right]=f\left( {{{x}^{2}}} \right)=\cos {{x}^{2}}\)                et donc \( g\circ f\ne f\circ g\).

 

On va d’ailleurs tracer leur représentation graphique.

\( y=\cos {{x}^{2}}\) \( y={{\cos }^{2}}x\)

 

On voit bien cette différence graphiquement.

 

 

 

 

  • Sens de variation des fonctions associées.

 

1°) Sens de variation d’une somme de fonctions.

 

Théorème 1.

La somme de deux fonctions croissantes sur un intervalle I (resp. décroissantes) est une fonction croissante (resp. décroissante) sur I.

 

Démonstration.

Soit f et g deux fonctions croissantes sur un intervalle I inclus dans \( {{D}_{{f\cap g}}}\) avec x et y deux réels de I tels que x<y.

Puisque f est croissante sur I, alors pour (;yI: x<y implique \( f\left( x \right)\le f\left( y \right)\).

De même, g est croissante sur I, alors pour (;yI: x<y implique \( g\left( x \right)\le g\left( y \right)\).

Par addition membre à membre de ces deux inégalités, on obtient pour (x;yI:

x<y implique \( f\left( x \right)+g\left( x \right)\le f\left( y \right)+g\left( y \right)\) soit encore \( \left( {f+g} \right)\left( x \right)\le \left( {f+g} \right)\left( y \right)\).

Ainsi, pour tout couple de réels x et y de l’intervalle I tels que x<y,

x<y implique \( \left( {f+g} \right)\left( x \right)\le \left( {f+g} \right)\left( y \right)\)

ce qui prouve que la fonction f+g est croissante sur l’intervalle I.

 

La démonstration s’adaptant parfaitement dans le cas ou f et g sont deux fonctions décroissantes sur l’intervalle I.

 

 

 

 

 

 

2°) Sens de variation de \( \lambda \cdot u\).

 

Théorème 2.

Soit \( \lambda \) un nombre réel non nul et f une fonction définie sur un intervalle I inclus dans \( {{D}_{f}}\).

i-                    Si \( \lambda >0\) alors f et \( \lambda \cdot f\) ont même sens de variation.

ii-                  Si \( \lambda <0\) alors f et \( \lambda \cdot f\) ont des sens de variations contraires sur I.

 

Démonstration.

Soit f une fonction croissante sur un intervalle I inclus dans \( {{D}_{f}}\) avec x et y deux réels de I tels que x<y.

Puisque f est croissante sur I, alors pour (x;yI: x<y implique \( f\left( x \right)\le f\left( y \right)\).

Soit l un réel non nul.

  • Dans le cas ou l>0, en multipliant les deux membres de l’inégalité qui reste inchangée, on a :

pour (x;yI: x<y implique \( \lambda \times f\left( x \right)\le \lambda \times f\left( y \right)\) soit encore \( \left( {\lambda f} \right)\left( x \right)\le \left( {\lambda f} \right)\left( y \right)\).

Ainsi, pour tout couple de réels x et y de l’intervalle I tels que x<y,

x<y implique \( \left( {\lambda f} \right)\left( x \right)\le \left( {\lambda f} \right)\left( y \right)\)

ce qui prouve que la fonction lf est croissante sur l’intervalle I.

  • Dans le cas ou l<0, le sens de l’inégalité change et on a :

pour (x;yI: x<y implique \( \lambda \times f\left( x \right)\ge \lambda \times f\left( y \right)\) soit encore \( \left( {\lambda f} \right)\left( x \right)\ge \left( {\lambda f} \right)\left( y \right)\) ce qui prouve que la fonction lf est décroissante sur l’intervalle I.

 

La démonstration s’adaptant parfaitement dans le cas ou f est une fonction décroissante sur l’intervalle I.

 

 

 

3°) Sens de variation d’un produit de fonctions.

 

Théorème 3.

Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle I inclus dans \( {{D}_{f}}\cap {{D}_{g}}\) et toutes deux à valeurs positives.

Si f et g sont croissantes (resp. décroissantes) sur I alors \( fg\) est croissante (resp. décroissante) sur I.

 

Démonstration.

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I inclus dans \( {{D}_{{f\cap g}}}\), telles que, pour tout réel xÎ: \( f\left( x \right)\ge 0\) et \( g\left( x \right)\ge 0\).

Supposons que f et g sont deux fonctions croissantes sur ; cela signifie que :

Pour tous réels x et y dans I, \( x<y\) implique \( f\left( x \right)\le f\left( y \right)\).

Mais g est positive sur I, ainsi pour x et y dans I : \( g\left( x \right)\ge 0\), ce qui permet d’écrire \( f\left( x \right)g\left( x \right)\le f\left( y \right)g\left( x \right)\).

Par ailleurs, g est croissante sur I, ainsi pour x et y dans I, \( x<y\) implique \( g\left( x \right)\le g\left( y \right)\) ; comme \( f\left( y \right)\ge 0\) sur I, il vient \( f\left( y \right)g\left( x \right)\le f\left( y \right)g\left( y \right)\).

On a donc : \( \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x \right)g\left( x \right)\le f\left( y \right)g\left( x \right)} \\ {f\left( y \right)g\left( x \right)\le f\left( y \right)g\left( y \right)} \end{array}} \right.\Rightarrow f\left( x \right)g\left( x \right)\le f\left( y \right)g\left( y \right)\).

C’est à dire que pour tous réels x et y dans I, \( x<y\) implique \( \left( {fg} \right)\left( x \right)\le \left( {fg} \right)\left( y \right)\) et prouve que la fonction fg est croissante sur l’intervalle I.

 

Remarque.

C’est tout ce que dit ce théorème, donc un faible résultat en ce qui concerne le sens de variation d’un produit de fonctions.

 

 

Exemple.

Etudier les variations de la fonction h définie sur \( \left[ {0;+\infty } \right[\) par \( h\left( x \right)=\left( {x+1} \right)\sqrt{x}\).

Posons pour \( x\in \left[ {0;+\infty } \right[\) : \( f\left( x \right)=x+1\) et \( g\left( x \right)=\sqrt{x}\).

Les fonctions f et g sont à valeurs positives sur \( \left[ {0;+\infty } \right[\) et y sont croissantes. Ainsi, la fonction produit fg=h est croissante sur \( \left[ {0;+\infty } \right[\).

 

Exercice.

Soient f et g les fonctions définies sur [1;3] par \( f\left( x \right)=\frac{1}{x}\) et \( g\left( x \right)=-2x+7\). Etudier le sens de variation sur [1;3] de la fonction produit notée h.

 

 

 

4°) Sens de variation d’une composée de fonctions.

 

Théorème 4.

Soit f et g deux fonctions (strictement) monotones, I un intervalle inclus dans \( {{D}_{f}}\) et J un intervalle inclus dans \( {{D}_{g}}\) tel que :\( \forall x\in I\),\( f\left( x \right)\in J\).

i-                    Si f et g ont même monotonie alors \( g\circ f\) est (strictement) croissante sur I.

ii-                  Si f et g sont de monotonie contraire alors \( g\circ f\) est (strictement) décroissante sur I.

 

Démonstration.

  • Cas i. Soit f définie et croissante sur I et g croissante sur J avec \( f\left( I \right)\subset J\).

Comme f est croissante sur I, par définition, pour tout couple \( \left( {x;y} \right)\in {{I}^{2}}\), \( x<y\) implique \( f\left( x \right)\le f\left( y \right)\).

Comme g est croissante sur J et que \( \left( {f\left( x \right);f\left( y \right)} \right)\in {{J}^{2}}\), \( f\left( x \right)\le f\left( y \right)\) implique \( g\left[ {f\left( x \right)} \right]\le g\left[ {f\left( y \right)} \right]\) c’est à dire \( \left( {g\circ f} \right)\left( x \right)\le \left( {g\circ f} \right)\left( y \right)\) ce qui prouve que \( g\circ f\) est croissante sur I.

Cette démonstration s’adapte dans le cas où les deux fonctions sont décroissantes sur J.

 

  • Cas ii. Soit f définie et croissante sur I et g décroissante sur J avec \( f\left( I \right)\subset J\).

Comme f est croissante sur I, par définition, pour tout couple \( \left( {x;y} \right)\in {{I}^{2}}\), \( x<y\) implique \( f\left( x \right)\le f\left( y \right)\).

Comme g est décroissante sur J et que \( \left( {f\left( x \right);f\left( y \right)} \right)\in {{J}^{2}}\), \( f\left( x \right)\le f\left( y \right)\) implique \( g\left[ {f\left( x \right)} \right]\ge g\left[ {f\left( y \right)} \right]\) c’est à dire \( \left( {g\circ f} \right)\left( x \right)\ge \left( {g\circ f} \right)\left( y \right)\) ce qui prouve que \( g\circ f\) est décroissante sur I.

 

 

Exemple. Etudier le sens de variation de la fonction f définie par \( f\left( x \right)=\frac{1}{{{{x}^{2}}+1}}\).

La fonction \( x\mapsto {{x}^{2}}\) est strictement décroissante sur \( \left] {-\infty ;0} \right]\) et strictement croissante sur \( \left[ {0;+\infty } \right[\). Il en est de même de la fonction g : \( x\mapsto {{x}^{2}}+1\) d’après le théorème 1. De plus, pour tout réel x, on a \( g\left( x \right)>0\).

La fonction  est strictement décroissante sur \( \left] {-\infty ;0} \right[\) et sur \( \left] {0;+\infty } \right[\).

On a \( f=h\circ g\) et donc d’après le théorème 4, f est croissante \( \left] {-\infty ;0} \right]\) et décroissante sur \( \left[ {0;+\infty } \right[\).

 

 

 

 

  • Représentation graphique des fonctions \( x\mapsto f\left( {x+k} \right)\) et \( x\mapsto f\left( x \right)+k\)\( k\in IR\).

 

1°) Fonction \( x\mapsto f\left( {x+k} \right)\) avec \( k\in IR\).

 

Définition.      Soit f une fonction de domaine de définition \( {{D}_{f}}\) et k un nombre réel. La fonction \( x\mapsto f\left( {x+k} \right)\) définie sur \( {{D}_{f}}\) est la composée de la fonction \( x\mapsto x+k\) suivie de la fonction f.

 

 

Théorème.     Dans un repère, la courbe représentative de la fonction \( x\mapsto f\left( {x+k} \right)\) est l’image de la courbe représentative de la fonction f par une translation de vecteur \( -k\overset{\to }{\mathop{i}}\,\).

 

Exemple.         Tracer la représentation graphique de la fonction \( x\overset{\phi }{\mathop{\mapsto }}\,\sqrt{{x+1}}\)

Soit \( f:x\mapsto \sqrt{x}\) alors \( \phi \left( x \right)=f\left( {x+1} \right)\). La courbe \( \left( {C\phi } \right)\)s’obtient en effectuant une translation de vecteur \( -\overset{\to }{\mathop{i}}\,\)sur celle de \( \left( {{{C}_{f}}} \right)\).

 

\( y=\sqrt{x}\) \( y=\sqrt{{x+1}}\)

 

 

 

2°) Fonction \( x\mapsto f\left( x \right)+k\) avec \( k\in IR\).

 

Définition.      Soit f une fonction de domaine de définition \( {{D}_{f}}\) et k un nombre réel. La fonction \( x\mapsto f\left( x \right)+k\) définie sur \( {{D}_{f}}\) est la composée de la fonction \( x\mapsto f\left( x \right)\) suivie de la fonction \( x\mapsto x+k\).

 

 

Théorème.     Dans un repère, la courbe représentative de la fonction \( x\mapsto f\left( x \right)+k\) est l’image de la courbe représentative de la fonction f par une translation de vecteur \( k\overset{\to }{\mathop{j}}\,\).

 

Preuve.

On suppose le plan muni d’un repère orthogonal \( \left( {O;\overset{\to }{\mathop{i}}\,;\overset{\to }{\mathop{j}}\,} \right)\).

Soit \( \left( {{{C}_{f}}} \right)\) la courbe représentative d’une fonction f et posons \( \phi \left( x \right)=f\left( x \right)+k\)où k est un nombre réel avec \( \left( {{{C}_{\phi }}} \right)\) la courbe représentative de la fonction j.

Soit \( M\)un point de \( \left( {{{C}_{f}}} \right)\) alors \( M\left( {x;f\left( x \right)} \right)\).

Posons \( {M}’\)le point de \( \left( {{{C}_{\phi }}} \right)\) de coordonnées \( \left( {x;f\left( x \right)+k} \right)\) alors \( \overrightarrow{{M{M}’}}\left( {x-x;f\left( x \right)+k+f\left( x \right)} \right)\) c’est-à-dire \( \overrightarrow{{M{M}’}}\left( {0;k} \right)\) d’où \( \overrightarrow{{M{M} »}}=k\overset{\to }{\mathop{j}}\,\).

On passe bien de M à M’ par une translation de vecteur \( k\vec{j}\).

 

 

 

Exemple.         Représentation graphique de la fonction\( x\overset{\phi }{\mathop{\mapsto }}\,\sqrt{x}+1\).

Soit \( f:x\mapsto \sqrt{x}\) alors \( \phi \left( x \right)=f\left( x \right)+1\). La courbe \( \left( {C\phi } \right)\)s’obtient en effectuant une translation de vecteur \( \overset{\to }{\mathop{j}}\,\)sur celle de \( \left( {{{C}_{f}}} \right)\).

 

 

 

Exercice.

On considère la fonction f définie sur IR par : \( f\left( x \right)=-{{x}^{2}}-4x+3\).

A partir de l’écriture de \( f\left( x \right)\) sous forme canonique, étudier le sens de variation de la fonction f.

 

Exercice 2.     Avec une valeur absolue.

On considère la fonction f définie sur IR par, pour tout réel :\( f\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+3\).

1°) Ecrire \( f\left( x \right)\)sous forme canonique.                                                                    [0,5 pt]

2°) Montrer que \( f\left( x \right)\)peut s’écrire comme la composée de trois fonctions usuelles.            [1 pt]

3°) Donner le sens de variation de f sur IR.                                                              [1 pt]

4°) On suppose le plan muni d’un repère orthonormal \( \left( {O;\overset{\to }{\mathop{i}}\,;\overset{\to }{\mathop{j}}\,} \right)\) et on note \( \left( {{{C}_{f}}} \right)\) la courbe représentative de la fonction f. Expliquer comment obtenir la courbe représentative de f sur IR.                                                                                                                                 [0,75 pt]

5°)

  • Déterminer le signe de \( f\left( x \right)\)sur IR. [0,75 pt]
  • On pose, pour tout réel x, \( g\left( x \right)=\left| {f\left( x \right)} \right|\). Expliquer comment obtenir la courbe \( \left( {{{C}_{g}}} \right)\) à partir de la courbe \( \left( {{{C}_{f}}} \right)\). [0,5]
  • Construire la courbe \( \left( {{{C}_{g}}} \right)\).             [0,5]

 

1°) Soit \( x\in IR\). On a              \( f\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+3\)

\( f\left( x \right)={{\left( {x-2} \right)}^{2}}-4+3\)

\( f\left( x \right)={{\left( {x-2} \right)}^{2}}-1\)

Pour tout réel x, \( f\left( x \right)={{\left( {x-2} \right)}^{2}}-1\).

2°) Posons \( u:x\mapsto x-2\), \( v:x\mapsto {{x}^{2}}\)et\( w:x\mapsto x-1\). On a, pour tout réel x,

\( f\left( x \right)=\left( {w\circ v\circ u} \right)\left( x \right)\).

En effet :

\( f\left( x \right)=\left( {w\circ v\circ u} \right)\left( x \right)=\left( {w\circ v} \right)\left[ {u\left( x \right)} \right]=\left( {w\circ v} \right)\left( {x-2} \right)=w\left[ {v\left( {x-2} \right)} \right]=w\left[ {{{{\left( {x-2} \right)}}^{2}}} \right]={{\left( {x-2} \right)}^{2}}-1\)

D’où                                                              \( f=\left( {w\circ v\circ u} \right)\)

 

3°) Faisons un tableau pour voir comment les choses se passent :

 

Regarder bien la première colonne !

 

x -¥                                 2                                +¥
 

\( u:x\mapsto x-2\)

 

0

 

 

 

 

\( v\circ u:x\mapsto {{\left( {x-2} \right)}^{2}}\)

 

0
 

 

 

 
\( f=w\circ v\circ u\)

 

-1

 

 

 

Rédaction.

La fonction \( u:x\mapsto x-2\) est croissante sur IR (et s’annule en 2) ; elle est donc croissante sur chacun des intervalles \( \left] {-\infty ;2} \right]\) et \( \left[ {2;+\infty } \right[\) et à valeurs dans \( \left] {-\infty ;0} \right]\) et \( \left[ {0;+\infty } \right[\).

La fonction \( v:x\mapsto {{x}^{2}}\)est décroissante sur \( \left] {-\infty ;0} \right]\) et croissante sur \( \left[ {0;+\infty } \right[\) à valeurs dans \( \left[ {0;+\infty } \right[\).

La fonction \( w:x\mapsto x-1\) est croissante sur\( \left[ {0;+\infty } \right[\) et à valeurs dans (on s’en moque car c’est la dernière fonction) donc on met IR.

D’après le théorème sur la monotonie des fonctions composées :

f est décroissante sur \( \left] {-\infty ;2} \right]\) et croissante sur \( \left[ {2;+\infty } \right[\).

 

4°) On a, pour tout réel x, \( f\left( x \right)={{\left( {x-2} \right)}^{2}}-1\) donc \( \left( {{{C}_{f}}} \right)\) s’obtient à partir de la courbe \( \left( {{{C}_{v}}} \right)\) en effectuant sur celle-ci une translation de vecteur \( 2\overset{\to }{\mathop{i}}\,-\overset{\to }{\mathop{j}}\,\).

5°)

  • Déterminer le signe de \( f\left( x \right)\)sur IR.

On a \( \Delta =16-12=4={{2}^{2}}>0\) ce qui donne \( x=1\) ou x=3.

D’après le théorème sur le signe d’un trinôme du second degré :

\( \left( {f\left( x \right)\ge 0} \right)\Leftrightarrow \left( {x\in \left] {-\infty ;1} \right]\cup \left[ {3;+\infty } \right[} \right)\) et \( \left( {f\left( x \right)\le 0} \right)\Leftrightarrow \left( {x\in \left[ {1;3} \right]} \right)\).

 

  • On pose, pour tout réel x, \( g\left( x \right)=\left| {f\left( x \right)} \right|\). Expliquer comment obtenir la courbe \( \left( {{{C}_{g}}} \right)\) à partir de la courbe \( \left( {{{C}_{f}}} \right)\).

Soit \( x\in IR\). Par définition de la valeur absolue, on a :

 

\( g\left( x \right)=\left| {f\left( x \right)} \right|=\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)\ge 0\Leftrightarrow x\in \left] {-\infty ;1} \right]\cup \left[ {3;+\infty } \right[} \\ {-f\left( x \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)\le 0\Leftrightarrow x\in \left[ {1;3} \right]} \end{array}} \right.\)

De cela, on peut dire qu’on obtient la courbe représentative de \( \left| f \right|\)en conservant la partie de \( \left( {{{C}_{f}}} \right)\) située au dessus de l’axe des abscisses et on complète par le symétrique de la partie qui est en dessous de l’axe des abscisses.

 

 

  • Axes de symétries – centre de symétrie.

 

1°) Changement de repère. (n’est plus du programme)

On suppose le plan muni d’un repère orthonormal \( \left( {O;\overset{\to }{\mathop{i}}\,;\overset{\to }{\mathop{j}}\,} \right)\) et on note \( {{C}_{f}}\) la courbe d’équation \( y=f\left( x \right)\). Soit M un point du plan. \( M\in {{C}_{f}}\Leftrightarrow M\left( {x;f\left( x \right)} \right)\). Soit \( \Omega \left( {\alpha ;\beta } \right)\) un point du plan ;alors le point M dans le repère \( \left( {\Omega ;\overset{\to }{\mathop{i}}\,;\overset{\to }{\mathop{j}}\,} \right)\) a pour coordonnées \( \left( {X;Y} \right)\).

D’après la relation de Chasles, on a :\( \overrightarrow{{OM}}=\overrightarrow{{O\Omega }}+\overrightarrow{{\Omega M}}\) ce qui donne avec les coordonnées :

\( x\overset{\to }{\mathop{i}}\,+y\overset{\to }{\mathop{j}}\,=\alpha \overset{\to }{\mathop{i}}\,+\beta \overset{\to }{\mathop{j}}\,+X\overset{\to }{\mathop{i}}\,+Y\overset{\to }{\mathop{j}}\,\) soit encore \( x\overset{\to }{\mathop{i}}\,+y\overset{\to }{\mathop{j}}\,=\left( {\alpha +X} \right)\overset{\to }{\mathop{i}}\,+\left( {\beta +Y} \right)\overset{\to }{\mathop{j}}\,\) et par unicité des coordonnées d’un point fournit le système :\( \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x=\alpha +X} \\ {y=\beta +Y} \end{array}} \right.\)   [S].

Les formules [S] constituent les formules de changement de repère. Elle conduisent à une nouvelle équation de la courbe \( {{C}_{f}}\) dans le repère \( \left( {\Omega ;\overset{\to }{\mathop{i}}\,;\overset{\to }{\mathop{j}}\,} \right)\). Notons \( Y=g\left( X \right)\) cette nouvelle équation de \( {{C}_{f}}\).

  • Si g est paire alors l’axe \( \left( {\Omega ;\overset{\to }{\mathop{j}}\,} \right)\) est axe de symétrie de \( {{C}_{f}}\).
  • Si g est impaire alors le point \( \Omega \left( {\alpha ;\beta } \right)\) est centre de symétrie de \( {{C}_{f}}\).

Exemple. Soit f la fonction définie par \( f\left( x \right)=\frac{{{{x}^{2}}-3x+1}}{{x-2}}\). Montrons que \( \Omega \left( {2;1} \right)\) est centre de symétrie de \( {{C}_{f}}\).

On a \( {{D}_{f}}=\left] {-\infty ;2} \right[\cup \left] {2;+\infty } \right[\). Effectuons le changement de repère \( \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x=2+X} \\ {y=1+Y} \end{array}} \right.\).

On a

\( 1+Y=\frac{{{{{\left( {2+X} \right)}}^{2}}-3\left( {2+X} \right)+1}}{X}=\frac{{{{X}^{2}}+X-1}}{X}=X+1-\frac{1}{X}\) c’est à dire \( Y=X-\frac{1}{X}\).

La fonction \( g:X\mapsto X-\frac{1}{X}\) est un fonction impaire donc \( \Omega \) est centre de symétrie de \( {{C}_{f}}\).

 

 

 

 

 

 

 

 

2°) Axe de Symétrie, centre de symétrie. (juste les formules à connaître).

 

Théorème.

Soit \( {{C}_{f}}\) la courbe représentative d’une fonction f dans un repère orthogonal.

i-                    La droite \( \Delta \) d’équation \( x=\alpha \) est axe de symétrie de \( {{C}_{f}}\) si pour tout nombre réel h tel que \( \alpha +h\in {{D}_{f}}\) on a \( \alpha -h\in {{D}_{f}}\) et \( f\left( {\alpha +h} \right)=f\left( {\alpha -h} \right)\).

ii-                  Le point \( \Omega \left( {\alpha ;\beta } \right)\) est centre de symétrie de \( {{C}_{f}}\) si pour tout nombre réel h tel que \( \alpha +h\in {{D}_{f}}\) on a \( \alpha -h\in {{D}_{f}}\) et \( f\left( {\alpha +h} \right)+f\left( {\alpha -h} \right)=2\beta \).

 

Démonstration. (n’est plus à traiter).

  i-    Soit \( M\left( {x;y} \right)\) un point du plan et \( {M}’\) son symétrique par rapport à la droite verticale d’équation \( x=a\).

Notons H le milieu de \( \left[ {M{M}’} \right]\).

Soit \( h\in IR\) et posons \( x=a+h\) alors :

\( M\left( {a+h;f\left( {a+h} \right)} \right)\).

Par ailleurs, \( \overrightarrow{{MM\text{ }’}}=2\overrightarrow{{MH}}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x’=x+2\left( {{{x}_{H}}-x} \right)} \\ {y’=y+2\left( {{{y}_{H}}-y} \right)} \end{array}\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x’=-x+2{{x}_{H}}} \\ {y’=-y+2{{y}_{H}}} \end{array}} \right.} \right.\).

Comme \( x=a+h\) et que les points M, H et M’ sont alignés ils ont donc même ordonnée ; puisque \( H\left( {a;y} \right)\) on a :

\( \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x’=-a-h+2a} \\ {y’=y} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x’=a-h} \\ {y’=y} \end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x’=a-h} \\ {f\left( {a-h} \right)=f\left( {a+h} \right)} \end{array}} \right.\).

 

Donc \( x=a\) est axe de symétrie de \( {{C}_{f}}\) si pour tout nombre réel h tel que \( a+h\in {{D}_{f}}\) on a \( a-h\in {{D}_{f}}\) et \( f\left( {a+h} \right)=f\left( {a-h} \right)\).

 

  ii-   Soit \( M\left( {x;y} \right)\) un point du plan et M’ son symétrique par la symétrie centrale de centre \( \Omega \left( {a;b} \right)\). On a donc W milieu de \( \left[ {MM’} \right]\) et donc \( \overrightarrow{{MM\text{ }’}}=2\overrightarrow{{M\Omega }}\) c’est à dire

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x’=x+2\left( {{{x}_{\Omega }}-x} \right)} \\ {y’=y+2\left( {{{y}_{\Omega }}-y} \right)} \end{array}\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x’=-x+2{{x}_{\Omega }}} \\ {y’=-y+2{{y}_{\Omega }}} \end{array}} \right.} \right.\) or pour \( h\in IR\) en posant \( x=a+h\) et \( {{x}_{\Omega }}=a\) on obtient \( \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x’=-a-h+2a} \\ {y’+y=2b} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x’=a-h} \\ {b=\frac{{f\left( {a+h} \right)+f\left( {a-h} \right)}}{2}} \end{array}} \right.\).

 

Donc Le point \( \Omega \left( {a;b} \right)\) est centre de symétrie de \( {{C}_{f}}\) si pour tout nombre réel h tel que \( a+h\in {{D}_{f}}\) on a \( a-h\in {{D}_{f}}\) et \( f\left( {a+h} \right)+f\left( {a-h} \right)=2b\).

 

 

 

Exemple.

On considère la fonction f définie sur IR par, pour tout réel :\( f\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+3\).

Montrer que la courbe \( {{C}_{f}}\) d’équation \( y={{x}^{2}}-4x+3\) admet la droite d’équation \( x=2\) pour axe de symétrie.

Soit h un nombre réel. La fonction f étant définie sur IR alors \( 2+h\in IR\) et \( 2-h\in IR\).

\( f\left( {2+h} \right)={{\left( {2+h} \right)}^{2}}-4\left( {2+h} \right)+3={{h}^{2}}+4h+4-8-4h+3={{h}^{2}}-1\)

et

\( f\left( {2-h} \right)={{\left( {2-h} \right)}^{2}}-4\left( {2-h} \right)+3={{h}^{2}}-4h+4-8+4h+3={{h}^{2}}-1\)

Pour tout réel h, on a\( f\left( {2+h} \right)=f\left( {2-h} \right)\).

On en déduit que la courbe \( {{C}_{f}}\) admet la droite d’équation \( x=2\)pour axe de symétrie.

 

Exercice          [5 points]

On considère la fonction f définie par \( f\left( x \right)=\frac{{2x+1}}{{x-1}}\) et on note \( {{C}_{f}}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormal \( \left( {O;\overset{\to }{\mathop{i}}\,;\overset{\to }{\mathop{j}}\,} \right)\).

1°) Déterminer le domaine de définition \( {{D}_{f}}\)de la fonction f.

2°)

  • Montrer que la courbe d’équation \( y=\frac{{2x+1}}{{x-1}}\) admet le point \( \Omega \) de coordonnées \( \left( {1;2} \right)\) comme centre de symétrie.
  • Qu’en déduire concernant l’étude de la fonction f.

3°)

  • Montrer qu’il existe trois réels a et b tels que, pour tout réel \( x\ne 1\), \( f\left( x \right)=a+\frac{b}{{x-1}}\).
  • A l’aide de la définition, étudier la monotonie de la fonction f sur \( \left] {1;+\infty } \right[\).
  • En déduire la monotonie de la fonction f sur \( \left] {-\infty ;1} \right[\).
  • Construire le tableau de variations de la fonction f.

4°) Construire Dans un repère d’unité graphique 1 cm sur chaque axe, les droites d’équation \( x=1\), \( y=2\) et la courbe \( {{C}_{f}}\). Placer le point W.

 

1°) \( f\left( x \right)\)existe si et seulement si \( \left( {x-1\ne 0} \right)\Leftrightarrow \left( {x\ne 1} \right)\) d’où \( {{D}_{f}}=\left] {-\infty ;1} \right[\cup \left] {1;+\infty } \right[\).

2°)

  • Soit \( h\)un nombre réel non nul. Comme \( {{D}_{f}}\)est un domaine symétrique par rapport à 1, si \( 1+h\in {{D}_{f}}\) alors \( \left( {1-h} \right)\in {{D}_{f}}\).

\( f\left( {1+h} \right)=\frac{{2\left( {1+h} \right)+1}}{{\left( {1+h} \right)-1}}=\frac{{2h+3}}{h}=2+\frac{3}{h}\) et \( f\left( {1-h} \right)=\frac{{2\left( {1-h} \right)+1}}{{\left( {1-h} \right)-1}}=\frac{{-2h+3}}{{-h}}=\frac{{2h-3}}{h}=2-\frac{3}{h}\).

Or \( f\left( {1+h} \right)+f\left( {1-h} \right)=\left( {2+\frac{3}{h}} \right)+\left( {2-\frac{3}{h}} \right)=4=\underbrace{{2\times \left( 2 \right)}}_{{2\times \text{ un truc}}}\).

Pour tout réel h non nul, \( \frac{{f\left( {1+h} \right)+f\left( {1-h} \right)}}{2}=2\).

On en déduit que la courbe \( {{C}_{f}}\) admet le point\( \Omega \left( {1;2} \right)\) pour centre de symétrie.

  • On peut en déduire que l’on peut restreindre l’étude de la fonction f à l’intervalle \( \left] {1;+\infty } \right[\).

3°)

  • Supposons qu’il existe deux réels a et b tels que, pour tout réel \( x\ne 1\), \( f\left( x \right)=a+\frac{b}{{x-1}}\).

\( f\left( x \right)\)est connue sous la forme \( f\left( x \right)=\frac{{2x+1}}{{x-1}}\), il faut donc ramener l’écriture \( f\left( x \right)=a+\frac{b}{{x-1}}\) à la forme connue.

Par réduction au même dénominateur, \( f\left( x \right)=\frac{{a\left( {x-1} \right)+b}}{{x-1}}=\frac{{ax+\left( {-a+b} \right)}}{{x-1}}\) d’où

\( \frac{{2x+1}}{{x-1}}=\frac{{ax+\left( {-a+b} \right)}}{{x-1}}\) et comme \( x\ne 1\) alors \( x-1\ne 0\) d’où :

\( \left( {\frac{{2x+1}}{{x-1}}=\frac{{ax+\left( {-a+b} \right)}}{{x-1}}} \right)\overbrace{\Leftrightarrow }^{{x\ne 1}}\left( {2x+1=ax+\left( {-a+b} \right)} \right)\).

Attention à bien comprendre la phrase suivante :

Par identification des coefficients des termes de même degré, on a, pour tout \( x\ne 1\),

\( \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a=2} \\ {-a+b=1} \end{array}\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a=2} \\ {b=3} \end{array}} \right.} \right.\).

Conclusion :

Il existe deux réels \( \left( {a;b} \right)=\left( {2;3} \right)\) tels que, pour tout réel \( x\ne 1\), \( f\left( x \right)=2+\frac{3}{{x-1}}\).

 

Remarque.

Dans le système, ne doit figurer que les coefficients a et b cherchés et pas l’inconnue !

 

  • Soit \( \left( {x;y} \right)\in {{\left( {\left] {1;+\infty } \right[} \right)}^{2}}\)tels que \( x<y\).

\( f\left( x \right)-f\left( y \right)=\left( {3+\frac{2}{{x-1}}} \right)-\left( {3+\frac{2}{{y-1}}} \right)=\frac{2}{{x-1}}-\frac{2}{{y-1}}=\frac{{2\left( {y-x} \right)}}{{\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)}}\)

Comme \( x<y\) alors \( y-x>0\). De plus,

\( \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x\ge 1} \\ {y\ge 1} \\ {x<y} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x-1\ge 0} \\ {y-1>0} \end{array}} \right.\Rightarrow \left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)>0\) d’après la règle des signes \( \frac{{2\left( {y-x} \right)}}{{\left( {x-1} \right)\left( {y-1} \right)}}>0\).

Ainsi, Pour tout\( \left( {x;y} \right)\in {{\left( {\left] {1;+\infty } \right[} \right)}^{2}}\), \( \left( {x<y} \right)\Rightarrow f\left( x \right)>f\left( y \right)\) ce qui prouve que

la fonction f est strictement décroissante sur \( \left] {1;+\infty } \right[\).

  • Comme \( {{C}_{f}}\) admet le point \( \Omega \left( {1;2} \right)\)pour centre de symétrie, on en déduit que

f est aussi strictement décroissante sur \( \left] {-\infty ;1} \right[\).

 

x -¥                                           1                                       +¥
 

 

f

 

5°)

 

Exemple 2 (exercice partiel).

On considère la fonction f définie par \( f\left( x \right)=\frac{{{{x}^{2}}-5x+7}}{{x-2}}\)

Montrer que la courbe d’équation \( y=\frac{{{{x}^{2}}-5x+7}}{{x-2}}\) admet le point \( \Omega \) de coordonnées \( \left( {2;-1} \right)\) comme centre de symétrie.

 

\( {{D}_{f}}=\left] {-\infty ;2} \right[\cup \left] {2;+\infty } \right[\). On veut h tel que \( h+2\ne 2\Leftrightarrow h\ne 0\) et \( 2-h\ne 2\Leftrightarrow h\ne 0\).

Soit alors \( h\in I{{R}^{*}}\),       \( f\left( {2+h} \right)=\frac{{{{{\left( {2+h} \right)}}^{2}}-5\left( {2+h} \right)+7}}{{\left( {2+h} \right)-2}}=\frac{{{{h}^{2}}-h+1}}{h}\)

\( f\left( {2-h} \right)=\frac{{{{{\left( {2-h} \right)}}^{2}}-5\left( {2-h} \right)+7}}{{\left( {2-h} \right)-2}}=\frac{{-{{h}^{2}}-h-1}}{h}\)

donc \( f\left( {2+h} \right)+f\left( {2-h} \right)=-\frac{{2h}}{h}=-2=2\times \left( {-1} \right)\) donc \( \Omega \)\( \left( {2;-1} \right)\) est centre de symétrie.

 

Pour vous entrainer.

On considère la fonction f de la variable réelle x définie par :

Pour tout réel x, \( f\left( x \right)=-2{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+3x+3\).

et on note \( {{C}_{f}}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormal \( \left( {O;\overset{\to }{\mathop{i}}\,;\overset{\to }{\mathop{j}}\,} \right)\).

Montrer que le point \( \Omega \left( {1;10} \right)\)est centre de symétrie de \( {{C}_{f}}\).