11 – Applications de la dérivation

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I- Dérivée et sens de variation d’une fonction.

1°) Sens de variation et dérivées.

Théorème liant monotonie de la fonction et signe de la dérivée.

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

  1. Si f est croissante sur I alors, pour tout réel \( x\in I\) on a \( {f}’\left( x \right)\ge 0\) ;
  2. Si f est décroissante sur I alors, pour tout réel \( x\in I\) on a \( {f}’\left( x \right)\le 0\) ;
  3. Si f est constante sur I, alors pour tout réel \( x\in I\) on a \( {f}’\left( x \right)=0\).

Démonstration.

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I que l’on va supposer croissante sur I avec \( a\in I\)et h un réel non nul tel que \( a+h\in I\). On va raisonner par disjonction des cas, en supposant dans un premier temps \( h>0\) puis dans second temps \( h<0\).

  • Si \( h>0\), comme f est supposée croissante sur I alors,

\( \left( {a+h\ge a} \right)\Rightarrow \left( {f\left( {a+h} \right)\ge f\left( a \right)} \right)\Rightarrow \left( {f\left( {a+h} \right)-f\left( a \right)\ge 0} \right)\)

Et puisque \( h>0\) alors \( \frac{{f\left( {a+h} \right)-f\left( a \right)}}{h}\ge 0\). De plus, f est dérivable en a donc \( {f}’\left( a \right)\) existe et on a \( \underset{{\begin{array}{*{20}{c}} {h\to 0} \\ {h>0} \end{array}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{f\left( {a+h} \right)-f\left( a \right)}}{h}={f}’\left( a \right)\ge 0\).

  • Si \( h<0\), comme f est supposée croissante sur I alors,

\( \left( {a+\underbrace{h}_{{h<0}}\le a} \right)\Rightarrow \left( {f\left( {a+h} \right)\le f\left( a \right)} \right)\Rightarrow \left( {f\left( {a+h} \right)-f\left( a \right)\le 0} \right)\)

Et puisque \( h<0\) alors \( \frac{{f\left( {a+h} \right)-f\left( a \right)}}{h}\ge 0\). De plus, f est dérivable en a donc \( {f}’\left( a \right)\) existe et on a \( \underset{{\begin{array}{*{20}{c}} {h\to 0} \\ {h>0} \end{array}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{f\left( {a+h} \right)-f\left( a \right)}}{h}={f}’\left( a \right)\ge 0\).

On vient de démontrer que pour tout \( a\in I\), \( {f}’\left( a \right)\ge 0\).

Si f est croissante sur I alors, pour tout réel \( x\in I\) on a \( {f}’\left( x \right)\ge 0\).

Remarque.

Les cas ii) et iii) se traitent de la même façon. (Entraînez-vous…).
Attention : Si la fonction f est strictement monotone sur I (strictement croissante ou strictement décroissante) alors les inégalités restent larges dans la dérivée (La fonction \( x\mapsto {{x}^{3}}\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\) et pourtant sa dérivée\( {f}’:x\mapsto 3{{x}^{2}}\) n’est que positive sur \(\mathbb R\) car la dérivée s’annule en 0 : \( {f}’\left( 0 \right)=3\times {{\left( 0 \right)}^{2}}=0\)).

Exemple.

Soit f une fonction dérivable sur \(\mathbb R\) dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.
En justifiant votre raisonnement donner le signe de la fonction dérivée de f selon les valeurs de x..
Pour moi : \( y=3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+5\)

chap 11 image 1
D’après le théorème liant monotonie de la fonction et signe de la dérivée, sur les intervalles où f est croissante, la dérivée est positive et sur les intervalles où la fonction est décroissante, la dérivée est négative.

  • Sur \( \left] {-\infty ;-2} \right]\) et sur \( \left[ {0;1} \right]\) la fonction est décroissante donc, pour tout \( x\in \left] {-\infty ;-2} \right]\cup \left[ {0;1} \right]\) on a \( {f}’\left( x \right)\le 0\).
  • Sur \( \left[ {-2;0} \right]\) et sur \( \left[ {1;+\infty } \right[\) la fonction est croissante donc, pour tout \( x\in \left[ {1;+\infty } \right]\cup \left[ {1;+\infty } \right[\) on a \( {f}’\left( x \right)\ge 0\).

On peut dresser le tableau suivant :
(tableau de variation)

2°) Le théorème réciproque liant signe de la dérivée et monotonie de la fonction.

Theorème de Lagrange.

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de \(\mathbb R\).

  1. Si la dérivée \( f\text{ }’\) est strictement positive sur I, sauf peut-être en un nombre fini de points où elle s’annule, alors f est strictement croissante sur I.
  2. Si la dérivée \( f\text{ }’\) est nulle sur I alors f est constante sur I.
  3. Si la dérivée \( f\text{ }’\) est strictement négative sur I, sauf peut-être en un nombre fini de points où elle s’annule, alors f est strictement décroissante sur I.

Remarques.

  • Ce théorème est admis.
  • Il permet d’étudier les variations d’une fonction dérivable à partir du signe de sa dérivée.
  • L’hypothèse I est un intervalle est essentielle, car si I n’est pas un intervalle mais une réunion disjointe d’intervalles, les conclusions peuvent ne plus être les mêmes ; donnons à ce titre l’exemple suivant : \( f:x\mapsto \frac{1}{x}\). f est définie sur \(\mathbb R*\) et a pour dérivée \( f »\left( x \right)=-\frac{1}{{{{x}^{2}}}}\) qui est strictement négative sur \(\mathbb R*\) ; cependant f n’est pas strictement décroissante sur \(\mathbb R*\) car par exemple \( -1<2\) mais \( f\left( {-1} \right)=-1\) n’est pas plus grand que \( f\left( 2 \right)=\frac{1}{2}\). On devra donc dire : f est décroissante sur \( \left] {-\infty ;0} \right[\) et sur \( \left] {0;+\infty } \right[\).

Exemple.

On donne ci-contre la courbe représentative de la dérivée d’une fonction f définie et dérivable sur \(mathbb R\). A la lecture de ce graphique, donner en justifiant votre raisonnement, les variations de la fonction f.

Si on ne veut que de la monotonie (au sens large) :chap 11 image 2
Pour tout réel \( x\in \left] {-\infty ;-1} \right]\cup \left[ {3;+\infty } \right[\) on a \( {f}’\left( x \right)\le 0\) et pour tout réel \( x\in \left[ {-1;3} \right]\) on a \( {f}’\left( x \right)\ge 0\).
D’après le théorème liant signe de la dérivée et monotonie de la fonction, la fonction f est décroissante sur les intervalles\( \left] {-\infty ;-1} \right]\) et \( \left[ {3;+\infty } \right[\) et est croissante sur \( \left[ {-1;3} \right]\).

Si on veut de la stricte monotonie, comme la dérivée s’annule en \( -1\) et 3, on a :
Pour tout réel \( x\in \left] {-\infty ;-1} \right[\cup \left] {3;+\infty } \right[\) on a \( {f}’\left( x \right)<0\) et pour tout réel \( x\in \left] {-1;3} \right[\) on a \( {f}’\left( x \right)>0\).
D’après le théorème liant signe de la dérivée et monotonie de la fonction, la fonction f est strictement décroissante sur les intervalles\( \left] {-\infty ;-1} \right]\) et \( \left[ {3;+\infty } \right[\) et est strictement croissante sur \( \left[ {-1;3} \right]\).

3°) Etude des variations d’une fonction.

a- Avec une fonction polynomiale.

Considérons la fonction \( f:x\mapsto {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+12\).

  • Domaine de définition.

La fonction f est une fonction polynomiale donc \( {{D}_{f}}=\mathbb R\).

  • Justification de la dérivabilité et calcul de la dérivée.

f est dérivable sur \(\mathbb R\) comme fonction polynomiale avec pour tout réel x, \( f\text{  }\!\!’\!\!\text{ }\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+9=3\left( {x+1} \right)\left( {x-3} \right)\).

  • Etude du signe de la dérivée.

On a, pour tout réel x, \( {f}’\left( x \right)=3\left( {x+1} \right)\left( {x-3} \right)\). D’après le théorème sur le l’étude du signe d’un trinôme du second degré :

Il y’a deux façons de lire le théorème :

Soit on veut de la monotonie, soit de la stricte monotonie.
Si on veut juste de la monotonie, on peut fermer les crochets en les valeurs ou la dérivée s’annule c’est-à-dire que l’on peut fermer les crochets en \( \left( {-1} \right)\) et 3. Dans ce cas, la dérivée peut donc s’annuler puisque \( {f}’\left( {-1} \right)=0\) et \( {f}’\left( 3 \right)=0\).

La conclusion est alors :
Si \( x\in \left] {-\infty ;-1} \right]\cup \left[ {3;+\infty } \right[\) alors \( {f}’\left( x \right)\ge 0\) et si \( x\in \left[ {-1;3} \right]\) alors \( {f}’\left( x \right)\le 0\).
Si on veut de la stricte monotonie, dans ce cas, on ouvre les crochets en les valeurs ou la dérivée s’annule. Comme\( {f}’\left( {-1} \right)=0\) et \( {f}’\left( 3 \right)=0\), dans ce cas on ouvre les crochets en \( \left( {-1} \right)\) et 3 dans \( {f}’\left( x \right)\).
La conclusion est alors :
Si \( x\in \left] {-\infty ;-1} \right[\cup \left] {3;+\infty } \right[\) alors \( {f}’\left( x \right)>0\) et si \( x\in \left] {-1;3} \right[\) alors \( {f}’\left( x \right)<0\).

  • Etude de la monotonie de f.

On cite le nom du théorème, en disant juste :
D’après le théorème liant signe de la dérivée et monotonie de la fonction :

Si on veut juste de la monotonie : (les crochets qui étaient fermés en \( \left( {-1} \right)\) et 3 dans la dérivée restent fermés) mais le symbole union « \(\cup\) » lui est interdit car la réunion de deux intervalles n’est pas forcément un intervalle.
On conclut :
La fonction f est croissante sur \( \left] {-\infty ;-1} \right]\) et sur \( \left[ {3;+\infty } \right[\) et est décroissante sur \( \left[ {-1;3} \right]\).

Si on veut de la stricte monotonie, dans ce cas, on ferme quand même les crochets en les valeurs ou la dérivée s’annule.
Pourquoi, car pour la stricte monotonie, ce que l’on ne veut pas, c’est que la dérivée s’annule ! mais pour la fonction f, qui est une autre fonction, celle-ci est définie sur \(\mathbb R\) (voir le domaine de définition) et les valeurs \( \left( {-1} \right)\) et 3 sont dans le domaine de définition de f.
Le symbole union « \(\cup\) » reste toujours interdit quand on parle de monotonie.
On conclut :
La fonction f est strictement croissante sur\( \left] {-\infty ;-1} \right]\) et \( \left[ {3;+\infty } \right[\) est strictement décroissante sur \( \left[ {-1;3} \right]\).

b- Avec une fonction rationnelle.

Considérons la fonction \( f:x\mapsto \frac{{{{x}^{2}}-2x+1}}{x}\) (Le faire).

  • Domaine de définition.

La fonction f existe si et seulement si \( x\ne 0\) donc \( {{D}_{f}}=\left] {-\infty ;0} \right[\cup \left] {0;+\infty } \right[\).

  • Justification de la dérivabilité et calcul de la dérivée.

f est dérivable sur\( \left] {-\infty ;0} \right[\cup \left] {0;+\infty } \right[\)comme quotient de deux fonctions dérivables sur \( \left] {-\infty ;0} \right[\cup \left] {0;+\infty } \right[\), le dénominateur ne s’annulant pas sur \( \left] {-\infty ;0} \right[\cup \left] {0;+\infty } \right[\).
Pour tout \( x\in \left] {-\infty ;0} \right[\cup \left] {0;+\infty } \right[\),
\( {f}’\left( x \right)=\frac{{\left( {2x-2} \right)\times x-\left( {{{x}^{2}}-2x+1} \right)\times \left( 1 \right)}}{{{{x}^{2}}}}\)
\( {f}’\left( x \right)=\frac{{2{{x}^{2}}-2x-{{x}^{2}}+2x-1}}{{{{x}^{2}}}}\)
\( {f}’\left( x \right)=\frac{{{{x}^{2}}-1}}{{{{x}^{2}}}}\). (on ne s’arrête pas là ! on factorise).

Pour tout \( x\in \left] {-\infty ;0} \right[\cup \left] {0;+\infty } \right[\), \( {f}’\left( x \right)=\frac{{\left( {x-1} \right)\left( {x+1} \right)}}{{{{x}^{2}}}}\).

  • Etude du signe de la dérivée.

On a, Pour tout \( x\in \left] {-\infty ;0} \right[\cup \left] {0;+\infty } \right[\), \( {{x}^{2}}>0\) donc, le signe de \( {f}’\left( x \right)\) sur \( \left] {-\infty ;0} \right[\cup \left] {0;+\infty } \right[\)est le même que le signe de \( \left( {x-1} \right)\left( {x+1} \right)\).
Pour tout réel x, \( {f}’\left( x \right)=3\left( {x+1} \right)\left( {x-3} \right)\).
D’après le théorème sur le l’étude du signe d’un trinôme du second degré, \( {f}’\left( x \right)\) est de signe positif à l’extérieur des racines que sont \( \left( {-1} \right)\) et 3.

Conclusion sur le signe de la dérivée  : (on fera attention que 0 est une valeur interdite !)

Pour de la monotonie :
Si \( x\in \left] {-\infty ;-1} \right]\cup \left[ {3;+\infty } \right[\) alors \( {f}’\left( x \right)\ge 0\) et si \( x\in \left[ {-1;0} \right[\cup \left] {0;3} \right]\)alors\( {f}’\left( x \right)\le 0\).
D’après le théorème liant signe de la dérivée et monotonie de la fonction :
La fonction f est croissante sur\( \left] {-\infty ;-1} \right]\) et \( \left[ {3;+\infty } \right[\) est décroissante sur \( \left[ {-1;0} \right[\) et \( \left] {0;3} \right]\).

Pour de la stricte monotonie :
Si \( x\in \left] {-\infty ;-1} \right[\cup \left] {3;+\infty } \right[\) alors \( {f}’\left( x \right)>0\) et si \( x\in \left] {-1;0} \right[\cup \left] {0;3} \right[\)alors\( {f}’\left( x \right)<0\).
D’après le théorème liant signe de la dérivée et monotonie de la fonction .
La fonction f est strictement croissante sur\( \left] {-\infty ;-1} \right]\) et \( \left[ {3;+\infty } \right[\) est strictement décroissante sur \( \left[ {-1;0} \right[\) et \( \left] {0;3} \right]\).

En 0, les crochets restent toujours ouverts car c’est une valeur interdite.

II- Extrema d’une fonction.

1°) Notion d’extrema locaux.

Définition.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenu dans \( {{D}_{f}}\) et soit \( {{x}_{0}}\in I\).
On dit que \( f\left( {{{x}_{0}}} \right)\) est un maximum (minimum) local de f sur I s’il existe un intervalle ouvert J avec \( {{x}_{0}}\in J\) et \( J\subset I\) tel que \( f\left( {{{x}_{0}}} \right)\) soit le maximum (minimum) de f sur J.

Remarque.

Ceci signifie que, « localement », au voisinage de \( {{x}_{0}}\), la fonction f ne prend que des valeurs inférieures (respectivement supérieures) à \( f\left( {{{x}_{0}}} \right)\).chap 11 image 3
On appelle extremum local un maximum ou un minimum local.

Exemple.

Sur le graphique ci-dessus, lorsqu’on reste proche de 0, les valeurs prises par f restent inférieures à 4.

 

Définition d’un extremum absolu.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit \( {{x}_{0}}\in I\). On dit que f admet un maximum absolu (respectivement minimum absolu) en \( {{x}_{0}}\)si, pour tout réel \( x\in I\), on a \( f\left( x \right)\le f\left( {{{x}_{0}}} \right)\) (respectivement \( f\left( x \right)\ge f\left( {{{x}_{0}}} \right)\)).
Sur le graphique tracé précédemment, la fonction f n’admet pas de maximum absolu.

2°) Lien avec la dérivée.

Théorème de Fermat : condition nécessaire.

Si f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I de \( {{D}_{f}}\) et si f admet un extremum local en \( {{x}_{0}}\in I\) alors \( f\text{  }\!\!’\!\!\text{ }\left( {{{x}_{0}}} \right)=0\).

Remarque 1.

La réciproque de ce théorème est fausse ; la dérivée peut s’annuler en un point qui n’est pas un extremum. Considérons la fonction \( f:x\mapsto {{x}^{3}}\). f est définie sur IR et y’est dérivable de dérivée, \( \forall x\in IR\) :\( f\text{ }’\left( x \right)=3{{x}^{2}}\) qui s’annule en \( x=0\) ; pourtant \( f\left( 0 \right)=0\) n’est pas un extremum de f car f est strictement croissante sur \(\mathbb R\).

Démonstration.

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert \( \overset{\circ }{\mathop{I}}\,\) de \( {{D}_{f}}\) et soit \( {{x}_{0}}\in \overset{0}{\mathop{I}}\,\)un point en lequel se produit l’extremum par exemple un extremum. Pour tout \( x\in I-\left\{ {{{x}_{0}}} \right\}\)

  • Si \( x\le {{x}_{0}}\), on a \( \frac{{f\left( x \right)-f\left( {{{x}_{0}}} \right)}}{{x-{{x}_{0}}}}\ge 0\)
  • Si \( x\ge {{x}_{0}}\), on a \( \frac{{f\left( x \right)-f\left( {{{x}_{0}}} \right)}}{{x-{{x}_{0}}}}\le 0\) et donc \( f\text{ }’\left( {{{x}_{0}}} \right)=0\).

Remarque 2.

Ce théorème signifie que si f admet un extremum local en \( {{x}_{0}}\in I\) alors la tangente au point de coordonnées \( \left( {{{x}_{0}};f\left( {{{x}_{0}}} \right)} \right)\) à la courbe représentative de la fonction f est horizontale.

Théorème condition suffisante.

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I de \( {{D}_{f}}\) contenant \( {{x}_{0}}\). Si la dérivée de f s’annule en \( {{x}_{0}}\) en changeant de signe alors \( f\left( {{{x}_{0}}} \right)\) est un extremum local de f sur I.chap 11 image 4

Remarque 3.

Une fonction non dérivable en un point peut avoir un extremum en ce point. Par exemple la fonction \( x\mapsto \left| x \right|\) n’est pas dérivable en 0 et pourtant \( \forall x\in IR\), \( f\left( x \right)\ge 0\) prouvant que 0 est un minimum de f sur \(\mathbb R\).

III- Résolution d’équations \( f\left( x \right)=k\). avec \(k \in \mathbb R\).

Lorsque l’on demande de résoudre une équation \( f\left( x \right)=0\), on ne sait pas toujours à l’avance si elle admet des solutions et comment les trouver ; par exemple : \( \sin x-x=0\).
Le problème de l’existence et de l’unicité de la solution sur un intervalle sont donnés par le théorème qui suit, quant à la résolution de l’équation, plusieurs méthodes peuvent être mises en jeu dont des méthodes d’approximation et notamment celle de la dichotomie.

1°) Localisation d’une solution.

Théorème.

Soit a et b deux réels avec a<b et f une fonction de domaine de définition Df.

  1. Si f est une fonction dérivable sur l’intervalle I=[a;b],
  2. Si f est strictement monotone sur un intervalle I=[a;b],

Alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), alors il existe un unique réel cÎ[a;b] solution de l’équation f(x)=c.

chap 11 image 5Observons le graphique ci-contre.
La condition i) du théorème implique (et non équivaut) à dire que l’on peut tracer la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [a;b] de façon « continue » c’est à dire sans « lever le crayon » ou encore que la courbe n’a pas de « trou » sur l’intervalle [a;b].
Ainsi, pour tout k réel tel que , \(f(a)\leqslant k \leqslant f(b)\), comme f est strictement croissante sur l’intervalle [a ;b], la droite d’équation y=k rencontre une fois et une seule la courbe Cf sur l’intervalle [a;b] en un point d’abscisse c avec \(c\in [a;b]\).

 

 

Remarques.

  • La condition i) du théorème implique (et non équivaut) à dire que la courbe représentative de la fonction f peut être tracer de façon « continue » sur l’intervalle [a;b] c’est à dire « sans lever le crayon » ou encore que la courbe n’a pas de « trou ». Avec la condition, pour tout k réel compris entre f(a) et f(b), ces deux conditions assurent l’existence de la solution.
  • La condition ii) du théorème assure l’unicité de la solution c.

Interprétation graphique.

Ce théorème signifie que la courbe représentative de la fonction f, notée \( {{C}_{f}}\) coupe la droite d’équation y=k en un unique point d’abscisse contenue dans [a;b].

Exemple.

On considère la fonction f définie par \( f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+1\).
1°) Déterminer le domaine de définition \( {{D}_{f}}\) de la fonction f.
2°) Etudier les limites de \( f\left( x \right)\) aux bornes du domaine de définition.
3°) Montrer que f est dérivable sur \( {{D}_{f}}\) et calculer sa dérivée ; en déduire les variations de f sur \( {{D}_{f}}\) puis construire le tableau de variations.
4°) Montrer que l’équation \( f\left( x \right)=0\) admet une unique solution sur l’intervalle \( \left[ {-1;1} \right]\).

1°) La fonction f est définie sur \(\mathbb R\) comme fonction polynomiale, ainsi \( {{D}_{f}}=\mathbb R\).
2°) En l’infini, la limite d’une fonction polynôme est égale à celle de son monôme de plus haut degré donc  \( \underset{{x\to -\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,f\left( x \right)=\underset{{x\to -\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{x}^{3}}=-\infty \) et \( \underset{{x\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,f\left( x \right)=\underset{{x\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{x}^{3}}=+\infty \).
3°) La fonction f est dérivable sur IR comme fonction polynomiale avec pour tout réel :
\( f\text{  }\!\!’\!\!\text{ }\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3=3\left( {x-1} \right)\left( {x+1} \right)\).
Comme pour tout réel x, \( f\text{  }\!\!’\!\!\text{ }\left( x \right)>0\), sauf pour un nombre fini de points (ici x=0), d’après le théorème liant signe de la dérivée et monotonie de la fonction, on en déduit que f est strictement croissante sur \(\mathbb R\).

On obtient alors le tableau de variations
(tableau de variation)

La courbe représentative de la fonction f est la suivante :chap 11 image 6

4°) Résolvons l’équation \( f\left( x \right)=\)0 (ici, k=0).
La fonction f est dérivable sur l’intervalle \( \left[ {-1;1} \right]\) et strictement décroissante sur \( \left[ {-1;1} \right]\).
On a \( f\left( {-1} \right)=3\) et \( f\left( 1 \right)=-1\), comme 0Î[-1;3], d’après le théorème de localisation des solution d’une équation, il existe une unique un unique réel c appartenant à l’intervalle \( \left[ {-1;1} \right]\) solution de l’équation \( f\left( x \right)=0\).
On a alors : \( -1<c<1\). Pourquoi peut-on prendre les inégalités strictes ?

2°) Valeur approchée d’une solution d’équation \( f\left( x \right)=0\) : méthode de la dichotomie.

On le fait sur l’exemple précédent.
L’unique solution notée c de l’équation \( f\left( x \right)=0\) étant située dans l’intervalle \( \left] {-1;1} \right[\), on cherche un intervalle plus petit contenu dans l’intervalle \( \left] {-1;1} \right[\).
Pour cela,\( {{x}_{1}}=\frac{{-1+1}}{2}=0\) or \( f\left( 0 \right)=1>0\) donc \( c\in \left] {0;1} \right[\),
\( {{x}_{2}}=\frac{{0+1}}{2}=0,5\) or \( f\left( {0,5} \right)=1,875>0\) donc \( \alpha \in \left] {0,5;1} \right[\),
\( {{x}_{3}}=\frac{{0,5+1}}{2}=0,75\) et \( f\left( {0,75} \right)=1,2031>0\) donc \( \alpha \in \left] {0,75;1} \right[\)
\( {{x}_{4}}=\frac{{0,75+1}}{2}=0.1875\) et \( f\left( {0,1875} \right)=3.5168>0\) donc \( \alpha \in \left] {0,1875;1} \right[\)
\( {{x}_{5}}=\frac{{1,375+1,436}}{2}\approx 1,406\) et \( f\left( {1,406} \right)\approx -0,0026<0\) donc \( \alpha \in \left] {1,406;1,436} \right[\).
On a une première valeur approchée à \( {{10}^{{-1}}}\) près de cette racine a avec \( \alpha \approx 1,4\).

chap 11 image 7