5 – Angles orientés de couples de vecteurs et repérage polaire

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Angles orientés et repérage polaire

I – Généralités

1°) Orientation du plan

Un cercle C de centre O et de rayon r, \(r \in IR_ + ^*\), étant donnés, il existe deux façons de parcourir ce cercle :
– dans le sens des aiguilles d’une montre, dit sens indirect ou rétrograde ou négatif,
– dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, dit sens direct ou positif ou trigonométrique.

C’est le dernier cas que nous privilégieront en mathématiques.

Définition 1:   On appelle cercle trigonométrique, tout cercle de centre O appelée origine, de rayon \(r = 1\) et muni du sens direct.

Ce sens étant celui de tous les cercles du plan, on dit que le plan est orienté.

2°) Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique.

Théorème: A tout point M du cercle trigonométrique, on associe une famille de nombres réels, appelées abscisses curvilignes de M.

i.  Si x est l’une d’entre elles, toutes les autres sont de la forme \(x + 2k\pi \) avec\(k \in Z\).
ii. Il existe une et une seule abscisse curviligne appartenant à l’intervalle \(\left] { – \pi ;\pi } \right]\) ; sa valeur absolue est égale à la longueur du « petit » arc géométrique d’extrémités I et M.

Remarques

  • Soit x un nombre réel; il existe un point M et un seul du cercle trigonométrique dont x est une abscisse curviligne. On dit alors que M est le point du cercle trigonométrique associé à x.
  • Pour exprimer que deux réels x et y diffèrent d’un multiple entier de\(2\pi \), on note \(x \equiv y\) \(\left[ {2\pi } \right]\), que l’on lit : x est congru à y modulo\(2\pi \), ce que l’on peut encore écrire\(\exists k \in Z:x = y + 2k\pi \). Ainsi les abscisses curvilignes d’un même point du cercle trigonométriques sont égales à \(2\pi \) prés.

Exemple:

On remarque que (AC) est perpendiculaire à (BD). Soit x l’abscisse curviligne du point A. Pour repérer le point B, il suffit d’enrouler d’un quart de tour la droite réelle dans le sens direct, ainsi l’abscisse curviligne du point B est \(x + \frac{\pi }{2}\), celle de C \(x + \pi \) et enfin celle de D \(x + \frac{{3\pi }}{2}\).

L’abscisse curviligne de l’arc \(A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} \) est \(x + \frac{\pi }{2} – x = \frac{\pi }{2}\).

Comment déterminer la mesure principale d’un angle ?

Déterminons la mesure principale de \(\frac{{23\pi }}{6}\). Soit \(\alpha \in \left] { – \pi ;\pi } \right]\) la mesure principale de \(\frac{{23\pi }}{6}\). On cherche un entier relatif k tel que : \(\alpha = \frac{{23\pi }}{6} + 2k\pi \).

On a \(\left( {\alpha = \frac{{23\pi }}{6} + 2k\pi } \right)\). Or,

\(\left( { – \pi < \alpha \le \pi } \right) \Leftrightarrow \left( { – \pi < \frac{{23\pi }}{6} + 2k\pi \le \pi } \right) \Leftrightarrow \left( { – \frac{{23\pi }}{6} – \pi < 2k\pi \le – \frac{{23\pi }}{6} + \pi } \right)\)\(\left( { – \frac{{29\pi }}{6} < 2k\pi \le – \frac{{17\pi }}{6}} \right) \Leftrightarrow \left( { – \frac{{29}}{{12}} < k \le – \frac{{17}}{{12}}} \right) \Leftrightarrow \left( { – 2 – \frac{5}{{12}} < k \le – 1 – \frac{5}{{12}}} \right)\)

Or, k est un entier relatif, donc \(k = – 2\).

Il vient alors \(\alpha = \frac{{23\pi }}{6} + 2\left( { – 2} \right)\pi = \frac{{23\pi }}{6} – \frac{{24\pi }}{6} = – \frac{\pi }{6}\)

La mesure principale de \(\frac{{23\pi }}{6}\) est \( – \frac{\pi }{6}\).

Attention, surtout ne pas écrire que « \(\frac{{23\pi }}{6}\)=\( – \frac{\pi }{6}\) » C’EST FAUX !

On écrit : \( – \frac{\pi }{6} = \frac{{23\pi }}{6} + 2k\pi \)avec\(k \in Z\).

Cela signifie que les points \(M\)d’abscisse curviligne \( – \frac{\pi }{6}\) et M’ d’abscisse curviligne \(\frac{{23\pi }}{6}\) sont confondus sur le cercle trigonométrique, mais pourtant ces deux points n’ont pas la même abscisse curviligne.

 

 

Comment savoir si deux points M et M’ d’abscisses curvilignes données sont confondus sur le cercle trigonométrique ?

C’est le ii) de la remarque du 2°). Deux points \({M_{\left( x \right)}}\) et \({M’_{\left( y \right)}}\)sont confondus sur le cercle trigonométriques si et seulement si \(x – y\)est un multiple entier de \(2\pi \).

 

Les points \(M\left( {\frac{{37\pi }}{{12}}} \right)\) et \({M’_{\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right)}}\) marquent-ils le même point sur le cercle trigonométrique.

On a \(\frac{{37\pi }}{{12}} – \frac{\pi }{{12}} = \frac{{36\pi }}{{12}} = 3\pi \). Comme \(3\pi \)n’est pas un multiple de \(2\pi \), les points M et M’ ne sont pas confondus sur le cercle trigonométrique.

 

 

 

3°) Rotation du plan.

 

Définition.      Soit O un point du plan et a un nombre réel. On appelle rotation de centre O et d’angle a, notée \(R\left( {O;\alpha } \right)\), la transformation du plan dans lui-même, qui à tout point M distinct du point O associe le point \(M{\rm{ ‘}}\) tel que :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{OM = OM{\rm{ ‘}}}\\{\left( {\overrightarrow {{\rm{OM}}} ;\overrightarrow {OM{\rm{ ‘}}} } \right) = \alpha }\end{array}} \right.\).

  • Angles orientés d’un couple de vecteurs.

 

1°) Mesures de l’angle orienté d’un couple de vecteurs non nuls.

 

i-   Soit \(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow v \) deux vecteurs non nuls et O un point du plan. Notons A’ et B’ les points tels que \(\overrightarrow {OA{\rm{ ‘}}} = \overrightarrow u \) et \(\overrightarrow {OB{\rm{ ‘}}} = \overrightarrow v \). Les demi-droites \(\left[ {OA’} \right)\) et \(\left[ {OB’} \right)\) coupent \(C\left( {O;1} \right)\) en A et B.ii-       Les mesures de l’arc orienté \(A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} \) sont les mesures de l’angle orienté du couple de vecteurs \(\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\) c’est à dire celles de\(\left( {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right)\).

 

 

 

2°) Propriétés des angles orientés.

 

  • Angles et colinéarité.

 

Théorème.     Soient \(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow v \) deux vecteurs non nuls.i-                    Soit \(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow v \) sont colinéaires de même sens équivaut à \(\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = 0{\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\).

ii-                  \(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow v \) sont colinéaires et de sens contraires équivaut à \(\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = \pi {\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\).

 

Démonstration.

Cela résulte de la définition. Puisque Soit \(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow v \) sont colinéaires, il existe un réel k tel que \(\overrightarrow v = k\overrightarrow u \) avec \(k < 0\) si \(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow v \) sont de sens contraires et \(k > 0\) s’ils sont de même sens.

On a alors \(\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow u } \right) = 0{\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\) et \(\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = \left( {\overrightarrow u ; – \overrightarrow u } \right) = \pi {\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\).

 

 

  • Relation de Chasles.

 

Théorème 1.  Relation de Chasles pour les angles orientés.

Pour tous vecteurs non nuls \(\overrightarrow u ,{\rm{ }}\overrightarrow v ,{\rm{ }}\overrightarrow w \) : \(\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) + \left( {\overrightarrow v ;\overrightarrow w } \right) = \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow w } \right){\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\).

 

Démonstration.

Sans restreindre au théorème, on peut supposer les vecteurs \(\overrightarrow u ,{\rm{ }}\overrightarrow v ,{\rm{ }}\overrightarrow w \) unitaires. Soit alors, A, B, et C les points de \(C\left( {O;1} \right)\) tels que \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u \), \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow v \) et \(\overrightarrow {OC} = \overrightarrow w \) et a, b et c les abscisses curvilignes des points A, B, et C.

On a alors : \(\left( {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right) = b – a\), \(\left( {\overrightarrow {OB} ;\overrightarrow {OC} } \right) = c – b\) et \(\left( {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OC} } \right) = c – a\). On vérifie que

\(\left( {b – a} \right) + \left( {c – b} \right) = \left( {c – a} \right)\) d’où le théorème.

 

 

 

Corollaire.Pour tous vecteurs \(\overrightarrow u \) et \(\overrightarrow v \) non nuls :

i-                    \(\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = – \left( {\overrightarrow v ;\overrightarrow u } \right)\) \(\left[ {2\pi } \right]\),

ii-                  \(\left( {\overrightarrow u ; – \overrightarrow v } \right) = \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) + \pi \) \(\left[ {2\pi } \right]\),

iii-                \(\left( { – \overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) + \pi \) \(\left[ {2\pi } \right]\),

iv-                \(\left( { – \overrightarrow u ; – \overrightarrow v } \right) = \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\) \(\left[ {2\pi } \right]\),

v-                  \(\forall \lambda \in I{R^*},\)\(\left( {\lambda \overrightarrow u ;\lambda \overrightarrow v } \right) = \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\) \(\left[ {2\pi } \right]\).

 

 

 

Démonstration.

  • D’après la relation de Chasles, \(\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = – \left( {\overrightarrow v ;\overrightarrow u } \right)\) \(\left[ {2\pi } \right]\); en prenant \(\overrightarrow w = \overrightarrow u \), on a \(\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) + \left( {\overrightarrow v ;\overrightarrow u } \right) = \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow u } \right){\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\) c’est à dire \(\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = – \left( {\overrightarrow v ;\overrightarrow u } \right)\) \(\left[ {2\pi } \right]\).
  • Toujours d’après la relation de Chasles, en prenant \(\overrightarrow w = – \overrightarrow v \), on a \(\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) + \left( {\overrightarrow v ; – \overrightarrow v } \right) = \left( {\overrightarrow u ; – \overrightarrow v } \right){\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\), mais \(\left( {\overrightarrow v ; – \overrightarrow v } \right) = \pi {\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\), d’où \(\left( {\overrightarrow u ; – \overrightarrow v } \right) = \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) + \pi \) \(\left[ {2\pi } \right]\).
  • Même démonstration qu’en ii)
  • De même qu’en ii), \(\left( { – \overrightarrow u ; – \overrightarrow v } \right) = \left( { – \overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) + \left( {\overrightarrow v ; – \overrightarrow v } \right){\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\). Or d’après iii) \(\left( { – \overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) + \pi {\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\) et \(\left( {\overrightarrow v ; – \overrightarrow v } \right) = \pi {\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\) donc \(\left( { – \overrightarrow u ; – \overrightarrow v } \right) = \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) + \pi + \pi {\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\) c’est à dire \(\left( { – \overrightarrow u ; – \overrightarrow v } \right) = \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\) \(\left[ {2\pi } \right]\).
  • A voir.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  • Lignes trigonométriques.

 

1°) Repère orthonormal direct.

 

Définition.      On dit qu’un repère \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) du plan est orthonormal direct (en abrégé noté ROND) lorsque :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\| {\overrightarrow i } \right\| = \left\| {\overrightarrow j } \right\| = 1}\\{\left( {\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right) = \frac{\pi }{2}{\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]}\end{array}} \right.\). Le couple de vecteurs \(\left( {\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) est appelé base orthonormale directe (et notée BOND).

2°) Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs.

 

 

  • Cosinus et sinus d’un réel x.

 

Définition.      Soit \(C\left( {O;1} \right)\) le cercle trigonométrique et A, B deux points distincts de ce cercle tels que \(\left( {O;\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right)\) forme un ROND. Soit M un point de C telle que x est une mesure en radian de l’angle \(\left( {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OM} } \right)\).

On appelle cosinus du réel x, et on note \(\cos x\) l’abscisse du point M dans le ROND \(\left( {O;\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right)\).

On appelle sinus du réel x, et on note \(\sin x\), l’ordonnée du point M dans le ROND \(\left( {O;\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right)\).

 

 

 

 

  • Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs.

 

En notant \(\overrightarrow u = \overrightarrow {OA} \) et \(\overrightarrow v = \overrightarrow {OB} \), on a \(\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = x\) et toute autre mesure de \(\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\) est de la forme \(x + 2k\pi \) avec \(k \in Z\). Ainsi, \(\cos \left( {x + 2k\pi } \right) = \cos x\) et \(\sin \left( {x + 2k\pi } \right) = \sin x\).

 

Définition.      Le cosinus (resp. le sinus) d’un angle orienté d’un couple de vecteurs \(\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\) est le cosinus (resp. le sinus) de l’une quelconque de ses mesures exprimée en radians.

 

 

 

 

  • Lien entre \(\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\) et \(\cos A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over O} B\) lorsque \(\overrightarrow u = \overrightarrow {OA} \) et \(\overrightarrow v = \overrightarrow {OB} \).

 

Théorème.     L’angle orienté du couple de vecteurs \(\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\) et l’angle géométrique formé par ces deux vecteurs on le même cosinus.

 

Démonstration.

Notons a l’angle géométrique \(A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over O} B\) et notons \(x = \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\) la mesure principale de l’angle orienté du couple de vecteurs \(\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\).

On a \(\alpha = \left| x \right|\) d’après I 2°) ii que :

  • Si \(x \ge 0\) alors \(\left| x \right| = x\) et donc \(\cos x = \cos \alpha \),
  • Si \(x \le 0\) alors \(\left| x \right| = – x\) et donc \(\cos \alpha = \cos \left( { – x} \right) = \cos x\).

D’où \(\cos \left( {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right) = \cos A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over O} B\).

 

 

 

3°) Premières relations trigonométriques et angles associés.

 

Propriétés.     \(\forall x \in IR\), \(\forall k \in Z\) :i-                    \(\cos \left( {x + 2k\pi } \right) = \cos x\),

ii-                  \(\sin \left( {x + 2k\pi } \right) = \sin x\),

iii-                \({\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1\)

iv-                \( – 1 \le \cos x \le 1\),

v-                  \( – 1 \le \sin x \le 1\).

 

Exercice.         Calculer \(\sin \alpha \) et \(\cos \beta \) sachant que :           * \( – \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\) et \(\cos \alpha = 0,6\)

* \(\frac{\pi }{2} < \beta < \pi \) et \(\sin \beta = 0,8\).

Que dire des points associés à a et b sur le cercle trigonométrique ?

 

De la relation \({\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1\), on a \({\sin ^2}\alpha = 1 – {\cos ^2}\alpha = 1 – {\left( {0,6} \right)^2} = 0,64 = {\left( {0,8} \right)^2}\)

Et                                                                   \({\cos ^2}\beta = 1 – {\sin ^2}\beta = 1 – {\left( {0,8} \right)^2} = 0,36 = {\left( {0,6} \right)^2}\)

Comme \( – \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\), on a \(\sin \alpha < 0\) et donc \(\sin \alpha = – 0,8\)

Puis de \(\frac{\pi }{2} < \beta < \pi \), on a \(\cos \beta < 0\) et donc \(\cos \beta = – 0,6\).

Ainsi les points \(A\left( {0,6; – 0,8} \right)\) et \(B\left( { – 0,6;0,8} \right)\) sont diamétralement opposés sur le cercle trigonométrique.

 

 

 

 

  • Repérage polaire.

 

1°) Coordonnées polaires d’un point.

 

Définition.      Soit \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) un ROND du plan. Soit M un point distinct du point O. Dire que \(\left[ {\rho ;\theta } \right]\) est un couple de coordonnées polaires du point M dans le ROND \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) signifie que \(\rho = OM\) et \(\theta = \left( {\overrightarrow i ;\overrightarrow {OM} } \right)\). On note \(M\left[ {\rho ;\theta } \right]\) dans cet ordre.

Le point O est appelé pole, q angle polaire et \(\left( {O;\overrightarrow i } \right)\) l’axe polaire.                       SCHEMA

Exemple.         Placer le point \(A\left[ {\sqrt 2 ;\frac{\pi }{4}} \right]\).

 

Remarques.

  • Si \(\rho = 0\) alors M et O sont confondus et q n’est pas défini.
  • Si M est un point du cercle trigonométrique avec \(\left( {\overrightarrow i ;\overrightarrow {OM} } \right) = x\) alors \(M\left[ {1;x} \right]\).
  • Réciproquement, la donnée d’un couple \(\left[ {\rho ;\theta } \right]\) avec \(r > 0\) et \(\theta \in IR\) détermine un point M et un seul tel que \(\rho = OM\) et \(\theta = \left( {\overrightarrow i ;\overrightarrow {OM} } \right)\).

 

Proposition.   Soit \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) un ROND du plan et M un point distinct du point O de coordonnées polaires \(\left[ {\rho ;\theta } \right]\). On a \(\overrightarrow {OM} = \rho \left( {\cos \theta {\rm{ }}\overrightarrow i + \sin \theta {\rm{ }}\overrightarrow j } \right)\).

 

Démonstration.

Soit \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) un ROND du plan et \(M \ne O\). \(\exists \left( {x;y} \right) \in I{R^2}\) :\(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j \). \(\left( {x;y} \right)\) est le couple de coordonnées cartésiennes de M dans \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\).Comme \(M \ne O\), on a \(OM \ne 0\). Soit N le point défini par \(\overrightarrow {ON} = \frac{{\overrightarrow {OM} }}{{\left\| {\overrightarrow {OM} } \right\|}}\).

Si C est le cercle trigonométrique de centre O alors \(N \in C\) (car \(\left\| {\overrightarrow {ON} } \right\| = 1\)) et on a d’après la définition :

\(\overrightarrow {ON} = \cos \theta \overrightarrow i + \sin \theta \overrightarrow j \) où \(\theta = \left( {\overrightarrow i ;\overrightarrow {ON} } \right){\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\). Ainsi, \(\overrightarrow {OM} = \left\| {\overrightarrow {OM} } \right\|\left( {\cos \theta \overrightarrow i + \sin \theta \overrightarrow j } \right)\) ce qui équivaut à \(\overrightarrow {OM} = \rho \left( {\cos \theta {\rm{ }}\overrightarrow i + \sin \theta {\rm{ }}\overrightarrow j } \right)\).

 

 

 

2°) Lien entre coordonnées cartésiennes et polaires.

 

Théorème.     Lorsque dans un ROND \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\), un point M distinct du point O a pour coordonnées cartésiennes \(\left( {x;y} \right)\) et coordonnées polaires \(\left[ {\rho ;\theta } \right]\), alors :

\(\rho = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \),     \(\cos \theta = \frac{x}{\rho }\)        \(\sin \theta = \frac{y}{\rho }\).

 

Démonstration.

On considère un ROND \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\), et soit C le cercle trigonométrique de centre O. Soit M un point distinct de O. La demi-droite \(\left[ {OM} \right)\) coupe C en un point N. Ainsi, \(\overrightarrow {OM} \) et \(\overrightarrow {ON} \) sont colinéaires et de même sens. Comme \(OM = \rho \) et \(ON = 1\), on a :\(\overrightarrow {OM} = \rho \overrightarrow {ON} \).

Or \(N\left( {\cos \theta ;\sin \theta } \right)\) car \(N \in C\) et \(\left( {\overrightarrow i ;\overrightarrow {ON} } \right) = \theta {\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\) donc \(M\left( {r\cos \theta ;r\sin \theta } \right)\).

Par unicité des coordonnées d’un point, on en déduit que \(x = \rho \cos \theta \) et \(y = \rho \sin \theta \). Par ailleurs, \(O{M^2} = {x^2} + {y^2} = {\rho ^2}\) et puisque , il vient \(\rho = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).

 

 

Exemple 1.      Soit \(M\left[ {2;\frac{\pi }{4}} \right]\) dans un ROND \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) donc ses coordonnées cartésiennes sont :

\(x = 2\cos \frac{\pi }{4} = \sqrt 2 \) et \(y = 2\sin \frac{\pi }{4} = \sqrt 2 \) c’est à dire \(M\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\).

 

Exemple 2.      Soit M un point de coordonnées cartésiennes \(\left( {1;\sqrt 3 } \right)\). Ses coordonnées polaires dans le ROND \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\) sont :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\rho = \sqrt {1 + 3} = 2}\\{\cos \theta = \frac{1}{2}}\\{\sin \theta = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}} \right.\)   Û        \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\rho = 2}\\{\theta = \frac{\pi }{3}{\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]{\rm{ ou }}\theta = – \frac{\pi }{3}{\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]}\\{\sin \frac{\pi }{3} > 0{\rm{ tandis que }}\sin \left( { – \frac{\pi }{3}} \right) > 0}\end{array}} \right.\)            d’où \(M\left[ {2;\frac{\pi }{3}} \right]\).

 

 

 

  • Equations et inéquations trigonométriques.

 

1°) Angles associés.

 

2°) Equations trigonométriques.

 

  • Résolution de \(\cos x = \cos a\) avec aÎIR.

 

Théorème.     Soit aÎIR ; \(\cos x = \cos a\)Û\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a + 2k\pi }\\{x = – a + 2k\pi }\end{array}} \right.{\rm{ }}{\rm{,}}k \in Z\).

 

Exemple.         Résoudre l’équation trigonométrique, \(\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

On sait que \(\cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), donc l’équation est équivalente à \(\cos x = \cos \frac{\pi }{4}\) c’est à dire \(x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi \) ou \(x = – \frac{\pi }{4} + 2k\pi \) avec \(k \in Z\).

Il y’a une infinité de solutions mais seulement deux images sur le cercle trigonométrique.

 

 

  • Résolution de \(\sin x = \sin a\), avec aÎIR.

 

Théorème.     Soit aÎIR ; \(\sin x = \sin a\)Û\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a + 2k\pi }\\{x = \pi – a + 2k\pi }\end{array}} \right.{\rm{ }}{\rm{,}}k \in Z\).

 

Exemple.         Résoudre l’équation trigonométrique, \(\sin \frac{x}{2} = – \frac{1}{2}\).

On sait que \(\sin \left( { – \frac{\pi }{6}} \right) = – \frac{1}{2}\), donc l’équation s’écrit \(\sin \frac{x}{2} = \sin \left( { – \frac{\pi }{6}} \right)\) ce qui équivaut à

\(\frac{x}{2} = – \frac{\pi }{6} + 2k\pi \) soit encore \(x = – \frac{\pi }{3} + 4k\pi \), \(k \in Z\), c’est à dire \(x \equiv – \frac{\pi }{3}{\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\),

ou

\(\frac{x}{2} = \pi – \frac{\pi }{6} + 2k\pi \) soit encore \(x = \frac{{5\pi }}{3} + 4k\pi \) avec \(k \in Z\), c’est à dire \(x \equiv \frac{{5\pi }}{3}{\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\).

Remarquons que cette dernière expression n’est pas la mesure principale, on a \(\frac{{5\pi }}{3} = \frac{{6\pi – \pi }}{3} = 2\pi – \frac{\pi }{3}\) ainsi la dernière solution est \(x \equiv – \frac{\pi }{3}{\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\).

On constate alors qu’il s’agit des mêmes solutions.

Conclusion :    \({S_{IR}} = \left\{ {x \equiv – \frac{\pi }{3}{\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]} \right\}\).

Une seule image sur le cercle trigonométrique.

  • Résolution de \(\sin U\left( x \right) = \cos V\left( x \right)\).

 

On sait que \(\cos X = \sin \left( {X + \frac{\pi }{2}} \right)\), ce qui donne :

\(\sin U\left( x \right) = \cos V\left( x \right)\)Û\(\sin U\left( x \right) = \sin \left( {V\left( x \right) + \frac{\pi }{2}} \right)\)

et l’on se reporte à b).

 

 

 

Exemple.         Résoudre \(\sin 3x = \cos x\).

 

Puisque \(\cos x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\), l’équation s’écrit \(\sin 3x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\) soit alors :

\(3x = x + \frac{\pi }{2} + 2k\pi \) ce qui donne \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \), \(k \in Z\),

ou

\(3x = \pi – \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) + 2k\pi \) ce qui donne \(4x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \) ou encore \(x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\), \(k \in Z\).

 

Conclusion :    \({S_{IR}} = \left\{ {\frac{\pi }{4}{\rm{ }}\left[ \pi \right]{\rm{ ; }}\frac{\pi }{8}{\rm{ }}\left[ {\frac{\pi }{2}} \right]} \right\}\).

 

Ce qui donne 2+4=6 images sur le cercle trigonométriques.

 

Lire le livre transmath page 281 + les 2 exos.

 

 

 

 

3°) Inéquations trigonométriques.

 

Il s’agit de résoudre des inéquations de la forme \(\cos x \le \cos a\) ou \(\sin x \le \sin a\) avec \(a \in IR\). Les solutions de ces inéquations se lisent sur le cercle trigonométrique.

 

  • Pour \(\cos x \le \cos a\).
  • On résout d’abord l’équation \(\cos x = \cos a\) qui admet les solutions \(x \equiv a{\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\) ou \(x \equiv – a{\rm{ }}\left[ {{\rm{2}}\pi } \right]\) qui s’écrit aussi \(x \equiv 2\pi – a{\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\).
  • Sur un cercle trigonométrique, on place les images solutions. En supposant \(a < 2\pi – a\) on a \(a \le x \le 2\pi – a\). Or on ne change pas le sens de l’inéquation en ajoutant ou retranchant tout multiple de \(2\pi \), c’et à dire en ajoutant \(2k\pi \) avec \(k \in Z\), ce qui donne \(a + 2k\pi \le x + 2k\pi \le 2\pi – a + 2k\pi \) avec \(k \in Z\).
  • L’ensemble S des solutions est la réunion des intervalles \(\left[ {a + 2k\pi {\rm{ ; }}2\pi – a + 2k\pi } \right]\) avec \(k \in Z\), que l’on note :

\({S_{IR}} = \bigcup\limits_{k \in Z} {\left[ {a + 2k\pi {\rm{ ; }}2\pi – a + 2k\pi } \right]} \).

 

 

 

  • Pour \(\sin x \le \sin a\).

 

  • On résout d’abord l’équation \(\sin x = \sin a\) qui admet les solutions \(x \equiv a{\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\) ou \(x \equiv \pi – a{\rm{ }}\left[ {{\rm{2}}\pi } \right]\) qui s’écrit aussi \(x \equiv \pi – a – 2\pi {\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\) c’est à dire \(x \equiv – \pi – a{\rm{ }}\left[ {2\pi } \right]\).
  • En supposant \( – \pi – a < a\) on a \( – \pi – a \le x \le a\) et on obtient :

 

\({S_{IR}} = \bigcup\limits_{k \in Z} {\left[ { – \pi – a + 2k\pi {\rm{ ; }}a + 2k\pi } \right]} \)

 

 

Exemple.         Résoudre sur \(I = \left[ { – \pi ;\pi } \right]\), l’inéquation trigonométrique \( – \frac{1}{2} \le \sin x \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

 

  • On résout l’équation \(\sin x = – \frac{1}{2}\) ce qui donne \(\sin x = \sin \left( { – \frac{\pi }{6}} \right)\) soit deux solutions \(x = – \frac{\pi }{6} + 2k\pi \) ou \(x = \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi \) avec \(k \in Z\).
  • On résout ensuite \(\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) ce qui donne \(x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi \) ou \(x = \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi \).

 

 

 

 

  • Relations trigonométriques.